598	15 Fourier-Transformation

15.7 Aufgaben

Verständnisaufgaben

Aufgabe 15.1

Die skizzierte Funktion s im Zeitbereich besteht aus einem nach rechts verschobenen Rechteck. Verwenden Sie die Formel für die Fourier-Transformation des Standardrechtecks aus Beispiel 15.1 und bestimmen Sie damit die Fourier-Transformierte von s.

Aufgabe 15.2

Die skizzierte Funktion s im Zeitbereich kann man entweder als Di erenz von zwei Rechtecken oder durch Skalieren und Verschieben des Standardrechtecks erzeugen. Bestimmen Sie mithilfe der Korrespondenz für das Standardrechteck aus Beispiel 15.1 die FourierTransformierte von s auf zwei unterschiedliche Arten.

Aufgabe 15.3

Gegeben ist die skizzierte Funktion s im Zeitbereich. Verwenden Sie die bekannten Korrespondenzen für Rechtecke und für Dreiecke und bestimmen Sie damit die Fourier-Transformierte von s.

Aufgabe 15.4

a)Bestimmen Sie die verallgemeinerten Ableitungen s˙ und s¨ der skizzierten Funktion s im Zeitbereich.

b)Berechnen Sie die Fourier-Transformiertec s von s¨ mithilfe der Korrespondenz δ(t) 1.

c)Verwenden Sie den Di erenziationssatz zur Bestimmung der Fourier-Transformierten von s.

		1	s(t)
−2	−1	1	2	t

			2	s(t)
			1
−3	−2	−1	1	2	3	t

	6
	5
	4
	3	s(t)
	2
	1
−4 −3 −2 −1		1 2 3 4 t

			2
			1	s(t)
−3	−2	−1		1	2	3	t

15.7 Aufgaben

599

Aufgabe 15.5

Wir untersuchen die skizzierte Funktion s.

a)Stellen Sie die skizzierte Funktion s im Zeitbereich mithilfe der Heaviside-Funktion dar.

b)Berechnen Sie die Fourier-Transformierte von s mithilfe der Fourier-Transformation der HeavisideFunktion.

c)Berechnen Sie die Fourier-Transformierte der verallgemeinerten Ableitung s˙.

Aufgabe 15.6

Gegeben ist die skizzierteFourier-Transformierte S im Frequenzbereich. Berechnen Sie die inverse FourierTransformation von S mit dem Vertauschungssatz. Bestimmen Sie dabei die Fourier-Transformierte der entsprechenden Zeitfunktion mithilfe der Korrespondenzen von Dreiecken.

	s(t)
	1
−T	T	t
	−1

		A
			S(f)
−3f0	−f0	f0	3f0 f

Rechenaufgaben

Aufgabe 15.7

Wir betrachten die skizzierte Funktion s.

a)Welche Eigenschaften der Fourier-Transformierten S der skizzierten Funktion s im Zeitbereich kann man ohne Berechnungen vorhersagen?

b)Berechnen Sie S mithilfe einer Integralformel.

c)Welchen Einfluss haben die Parameter T und A auf die Spektralfunktion S?

	A	s(t)
−T	T	t

Aufgabe 15.8

Wir betrachten die für alle reellen Zahlen definierte Funktion s(t) = e−StS.

a)Skizzieren Sie die Funktion s.

b)Welche Eigenschaften der Fourier-Transformierten S von s kann man ohne Berechnungen vorhersagen?

c)Berechnen Sie die Fourier-Transformierte von s mithilfe einer Integralformel und skizzieren Sie

S.

600	15 Fourier-Transformation

Aufgabe 15.9

Wir untersuchen die skizzierte Funktion s.

a)Berechnen Sie die Fourier-Transformierte S der skizzierten Funktion s im Zeitbereich direkt mithilfe der Integralformel.

b)Skizzieren Sie für A = 1 und a = 1 die Amplitude der Spektralfunktion SS(f)S.

c)Was ergibt sich für A = a1 im Grenzfall a → 0?

	A	s(t)
−a		a	t

Anwendungsaufgaben

Aufgabe 15.10

Aus der Theorie elektrischer Schaltungen ist die Über-

tragungsfunktion des Hochpassfilters bekannt:

H(f) =

i 2 π f R C

C

1 i 2 π f R C .

Bestimmen Sie die+Impulsantwort h und damit die Aus-

u1(t)

R

u2(t)

gangsspannung u2 zur Eingangsspannung

u1

t

¢

1

für

0

t

<

t0

¨

0

für

t

0

¨

0

für

t

t0 .

¨

≤

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( ) = ¦

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