Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

лое число i удовлетворяет соотношению R(i). Если таких чисел i не существует, то сумму ai принимают равной нулю. Заметим,

R(i)

что число i может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Например:

3	0; a a
a		2	a	1	a a ;
i	i				0	1
i 1	2 i 2
	ai a1 a2;		ai 0.
	1 i2 9	1 sini 3

1.3.2. Индексы суммирования

Буква i, так называемый индекс суммирования, вводится только для того, чтобы сделать возможной указанную компактную запись.

Выбор буквы на роль индекса суммирования произволен, по-

n n n

скольку и ai, è ak, è ap суть одно и то же выражение —

i m k m p m

am am 1 am 2 ... an. Поэтому индекс суммирования обычно называют «немым индексом» или «фиктивным индексом».

Знак и немые индексы для сокращенной записи сумм

были предложены Лагранжем в 1772 г. Иногда подобную запись сумм называют сигма-символикой, поскольку в ней употребляется греческая буква .

Таким образом, сумму

xm xm 1 ... xn

можно записать в виде

n	n
xi, èëè xk, èëè		xi,
i m	k m	m i n

где неравенство m i n играет роль соотношения R(i).

Если под знаком расположено два или более условий, то счи- тается, что все эти условия выполняются одновременно. Например:

			n
ak a1 a2 a4 a5;	ai	ai ai.
1 k 5	1 i n	1 i n	i 1
k 3	i четное	i нечетное

22

1.3.3. Суммирование по нескольким индексам

Иногда приходится иметь дело с суммами, в которых суммирование производится не по одному, а по нескольким индексам. При этом обычно в записи используют единый знак , имея в

виду, что сумма распространяется на все комбинации индексов, удовлетворяющие заданным соотношениям. Например:

aij aij;	aij aij.
0 i n 0 j n 0 i,j n	0 i n 0 j i 0 j i n

В развернутом виде первая двойная сумма приобретает вид

n n n

aij aij (ai0 ai1 ain) 0 j,i n i 0 j 0 i 0

a00 a01 a02 ... a0n

a10 a11 a12 ... a1n ...

an0 an1 an2 ... ann.

Для второй двойной суммы имеем следующую развернутую запись:

aij a00

0 j i n

a10 a11

a20 a21

an0 an1

a22 ...

an2 ... ann.

Пример 1. Сколько слагаемых содержит следующая сумма, имеющая m индексов суммирования:

	ai i ...i
	12 m
i1	i2 ... im m
i1	i2 ... im 0
ïðè m 5? Указать эти слагаемые.
Ïðè m 5 эта сумма содержит 7 слагаемых:
a11111 a21110 a22100 a31100 a32000 a41000 a50000.

Замечание 1. Запись ai мы будем применять только в слу-

R(i)

чае, когда сумма конечна, т. е. лишь конечное число значе-

23

íèé i удовлетворяет условию R(i). Какой смысл придается бесконечным суммам, например ai a1 a2 a3 ..., здесь не

i 0

уточняется.

Замечание 2. Встречаются случаи, когда в записи суммы индекс суммирования определен нечетко. Например, из записи

ki не видно, ведется ли суммирование по k èëè ïî i. В таком

ik

случае в контексте должно быть указано, какая из переменных является немым индексом, а какая имеет самостоятельное зна- чение.

1.3.4. Простейшие операции над суммами

Известные правила сложения чисел можно записать с помощью сигма-символики. Следующие алгебраические операции над суммами играют важную роль при решении многих задач:

n		n	n
I. (ai bi) ai bi;
i m		i m	i m
n		n
II. c ai		c ai;
i m		i m
n
III. c c(n m 1);
i m
n		k	n
IV. ai	ai		ai;
i m		i m	i k 1
n		n k
V. ai		ai k (k — натуральное),
i m		i m k

переход от левой части равенства (V) к правой части иногда называют операцией уменьшения индекса суммирования на k единиц. Аналогично рассматривают операцию увеличения индекса на k единиц;

n	n k
VI. ai	ai k;
i m	i m k
VII. ai bj			aibj ,
R(i)	I(j)		R(i) I(i)

24

обычно скобки в правой части равенства (VII) не пишут, т. е. ра-

венство приобретает следующий вид: ai bi				aibj.
R(i)		I(j)		R(i) I(j)

В частности,
n			m
a		b a b					.
i 1	i		j 1	i		1 i n i j

1 j m

А теперь рассмотрим несколько характерных примеров, иллюстрирующих возможность получения интересных результатов посредством простейших алгебраических операций над суммами.

Пример 2 (сумма геометрической прогрессии).

Пусть x 1, n 0, тогда, используя простейшие алгебраиче- ские операции над суммами, имеем:

a ax ax2 ... axn

axj (по определению)

0 j n

a axj (по свойству IV)

1 j n

a x axj 1 (по свойству II)

1 j n

a x axj (по свойству VI)

0 j n 1

a x axj axn 1 .

0 j n

Таким образом, получено равенство

axj a x axj axn 1,

0 j n 0 j n

следовательно,

(1 x) axj a axn 1

0 j n

и, окончательно, получаем формулу суммы геометрической прогрессии

	axj a	1 xn 1	.
0	j n	1 x

25

Пример 3 (сумма арифметической прогрессии).

Пусть n 0. Тогда, используя простейшие алгебраические операции над суммами и опуская подробные объяснения, имеем

a (a d) (a 2d) ... (a nd) (a dj)

			0 j n
[a d(n j)] [a d(n j)] [a dn dj]
0 n j n	0 j n		0 j n
[(2a dn) (a dj)]		(2a dn) (a dj)
0 j n		0 j n	0 j n
	(n 1)(2a dn) (a dj).
		0 j n
Таким образом,
	(a dj) (n 1)(2a dn)		(a dj),
0 j n			0 j n

откуда получаем

		(a dj)	2a dn	(n 1).
	0		2
		j n

n

Пример 4. Доказать, что [(k 1)2 k2 ] (n 1)2.

k 0

Используя приведенные выше свойства сумм, имеем

n n n n 1 n

[(k 1)2 k2 ] (k 1)2 k2 k2 k2

k 0		k 0	k 0	k 1	k 0
n	n	n			n

k2 (n 1)2 k2 k2 (n 1)2 k2 (n 1)2.

k 1 k 0 k 1 k 1

Рассмотрим теперь более общий случай, из которого, в частности, следует результат предыдущего примера.

Пример 5. Доказать, что для любой последовательности чи-

n

ñåë a0, a1, a2, ..., an, an 1 имеет место равенство (ak 1 ak)

k 0

an 1 a0.

26

Опуская подробные объяснения, имеем

n	n	n	n 1	n
(ak 1 ak) ak 1 ak ak 1 an 1 ak
k 0	k 0	k 0	k 0	k 0
n		n
ak an 1 ak a0 an 1 a0.
k 1		k 1

n

Пример 6. Найти k.

k 1

Можно сразу найти ответ, если использовать полученную выше формулу суммы членов арифметической прогрессии (пример 3). Однако в данном случае мы пойдем иным путем, применив прием, который будет полезен и в других ситуациях.

Поскольку

(k 1)2 k2 k2 2k 1 k2 2k 1, òî

n n n n n

[(k 1)2 k2 ] (2k 1) 2k 1 2 k (n 1).

k 0 k 0 k 0 k 0 k 0

Левая часть этого равенства найдена в примере 4. Таким образом,

n

2 k (n 1)2 (n 1) (n 1) n,

k 0

откуда окончательно получаем

	n		n		n(n 1)
	k k					.
					2
	k	0	k	1

n

Пример 7. Найти k2.

k 1

Чтобы найти указанную сумму квадратов, применим метод, рассмотренный при решении предыдущего примера.

В данном случае будем исходить из очевидного равенства (k 1)3 k3 3k2 3k 1.

Тогда

n n n n n n

[(k 1)3 k3 ] 3k2 3k 1 3 k2 3 k (n 1).

k 0 k 0 k 0 k 0 k 0 k 0

27

Поскольку левая часть равенства равна (n 1)3 (см. пример 5),

	n		n(n 1)
	а сумма k			(см. пример 6), то из последнего соотно-
			2
	k	0

шения путем простых арифметических преобразований получаем

	n		n		n(n 1)(2n 1)
	k2		k2			.
					6
	k	0	k	1

Легко видеть, что последовательное применение метода, использованного в примерах 6 и 7, позволит вычислить сумму

n

kp при любом натуральном p. Указанный метод принадлежит

k 1

Паскалю (1819).

Пример 8. Доказать, что при любых ai, bi (i 1, 2, ..., n) имеет

место неравенство Буняковского
n		2		n			n
a	b		a2			b2			.
i 1 i	i			i 1	i		i 1	i

В каком случае неравенство превращается в равенство?

n

Рассмотрим выражение (ai bix)2.

i 1

Это выражение является квадратным трехчленом относительно õ. Действительно, используя простейшие арифметиче- ские операции над суммами, получаем

n n n n n

(ai bix)2 (a2i 2aibix bi2x2 ) x2 bi2 2x aibi a2i .

i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

Поскольку данный квадратный трехчлен при всех ai, bi è x принимает, очевидно, только неотрицательные значения, то его дискриминант должен удовлетворять условию 0, т. е.

n			n			n
a b		a2			b2			0,
i 1	i i		i 1	i		i 1	i

откуда и следует неравенство Буняковского.

Заметим, что в неравенстве Буняковского знак равенства будет иметь место только в том случае, когда числа ai è bi пропорциональны, т. е. ai k bi (i 1, 2, ..., n). Действительно, если не-

28

равенство Буняковского превращается в равенство, то дискриминант 0. Следовательно, квадратный трехчлен имеет один

n

(двукратный) корень x k. Но выражение (ai bix)2 может

i 1

превратиться в нуль при x k только тогда, когда каждое сла-

гаемое ai bik 0.

1.3.5. Произведения и факториалы

Аналогично сокращенной записи для сумм употребляют сокращенную запись произведений чисел

ai,

R(i)

которая обозначает произведение всех чисел ai таких, что целое число i удовлетворяет условию R(i). Если таких целых чисел не существует, то произведение ai считают равным 1 (а не нулю).

R(i)

Например, произведение n чисел a1, a2, ..., an можно сокра-

щенно записать в виде

n

ai èëè ai.

1 i n i 1

Индекс i, как и при суммировании, является «немым» индексом. Действительно,

n n n

ai ak aj è ò. ä.

i 1 k 1 j 1

n

Произведение 1 2 3 ... n i называют «n факториал» и

i 1

записывают следующим образом:

n

n ! i.

i 1

Название «факториал» произошло от английского слова factor — множитель.

В соответствии с договоренностью относительно пустых произведений имеем равенство

0

0! i 1,

i 1

29

отсюда следует справедливость для всех натуральных n основного тождества

n ! (n 1) ! n.

Для факториалов использовались самые разные обозначения. Например, Эйлер применял обозначение [n], Гаусс писал (n), в Англии пользовались символом n.

Обозначение n!, которое повсеместно используется и в настоящее время, было введено малоизвестным математиком К. Крампом в пособии по алгебре в 1808 г.

Наряду с факториалами встречаются следующие обозначения для произведений натуральных чисел одинаковой четности:

n

(2n 1) !! 1 3 5 ... (2n 1) èëè (2n 1) !! (2i 1);

i 0

n

(2n) !! 2 4 6 ... (2n) èëè (2n) !! 2i.

i 1

Отметим несколько первых факториалов:

1! 1, 2! 2, 3! 6, 4! 24, 5! 120, 10! 3 628 800.

Факториалы растут с увеличением n очень быстро. Например, 100! представляет собой число с более чем 2500 десятичными знаками. Нахождение n!, åñëè n — достаточно большое число, требует выполнения соответствующего числа умножений. Возникает вопрос: а нельзя ли для приближенного значения факториала найти более простую формулу? Ответ на этот вопрос был дан Д. Стирлингом в 1730 г. Стирлинг получил приближенное равенство

n n

n ! 2 n , ãäå e 2,7...,

e

и дал оценку погрешности приближения.

В качестве примера использования этой формулы можно под- считать

			8		8
40 320 8! 4					226 e 8
		e

(67 108 864)(1,77245)(0,00033546) 39 902

(в данном случае относительная погрешность составляет около 1 %).

30

Формула Стирлинга дает достаточно хорошие приближенные значения, однако с ее помощью нельзя найти точное значение n!.

Отметим также, что понятие факториала распространено и на случай нецелого n (Эйлер, Стирлинг). Но в этом случае вместо обозначения n! используется обозначение, предложенное Лежандром, n ! Ã(n 1) nÃ(n), где функция Г(õ) называется гаммафункцией, или интегралом Эйлера.

1.3.6. Упражнения

1. Запишите следующие суммы с помощью сигма-символики:

à) 1								3				5				7				9;
á)		1				1				1				1				1			1	;
2				6				10				14				18					22
â) 1				– 8 27								– 64 125 216;
ã)	1				1				5				7				3		;
3				2				9				12				5

ä) 1 1 3 1 3 5 1 3 5 7 ; 1 1 4 1 4 7 1 4 7 10

å) 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 . 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8

2.Докажите равенства I—VII (ï. 1.3.4).

3.Найдите суммы

1

è

1

.

2k 1

2k2

0 k 5

0 k2 5

1

Почему эти суммы разные, вопреки свойству xk

xi ?

0 k 5

0 i 5

4. Верны ли равенства:

à) ai a2i a2i 1;

n

n

0 i n

0 i

0 i

2

2

á) (a bk) (a bn bk)?

0 k n

0 k n

5. Найдите следующие суммы:

5

k

4

à)

;

á) i !;

k 2 k

1

i 0

31