Chuprigin_O_A_-_Matematicheskiy_analiz_predel_nepreryvnost_differentsiruemost_pdf

1.1.6. Множество действительных чисел

В математическом анализе мы будем рассматривать только чи- словые множества, т. е. такие, элементами которых являются действительные* (èëè вещественные) числа. Изучение основных понятий анализа (таких как непрерывность, сходимость, дифференцирование и интегрирование), о которых мы будем говорить ниже, должно основываться на точно определенном понятии числа. Вряд ли читатель ответит на прямой вопрос «что такое действительное число?». Затрудняясь с ответом на поставленный вопрос, мы, тем не менее, умеем обращаться с числами, т. е. складывать их, умножать и сравнивать по величине.

Существуют разные подходы к построению теории действительных чисел, но каждый из них сам по себе является далеко не простым при первом знакомстве. При аксиоматическом подходе к построению теории действительных чисел определяют не отдельное действительное число, а сразу всю совокупность действительных чисел как множество элементов с установленными операциями сложения, умножения и отношением порядка (меньше, больше или равно), которые задаются определенной системой аксиом.

Полное аксиоматическое изложение теории действительных чисел, начинающееся с целых чисел, можно найти в книге Э. Ландау «Основы анализа», которая является, пожалуй, единственным во всей математической литературе учебником, где в связном виде и без пробелов обосновываются только действия над числами. В других «объемистых руководствах, где этому посвящены вводные главы, слишком многое оставляется (сознательно или бессознательно) на долю читателя» — утверждает Ландау. И далее он продолжает: «Я надеюсь, что долгие десятилетия подготовки позволили мне составить эту книжку так, что средний студент сможет прочесть ее в два дня. А тогда он может даже (так как с формальными правилами он ведь знаком со школы) забыть все содержание, кроме аксиомы индукции и основной теоремы Дедекинда».

Часто при построении теории действительных чисел исходным моментом считают систему рациональных чисел. Показыва-

* Прилагательное «действительные» помогает отличить эти числа от чи- сел другой природы — так называемых «комплексных», о которых речь пойдет ниже. Везде, где не оговорено это особо, мы будем иметь дело только с действительными числами.

12

ют, что в этой системе имеются некоторые пробелы*, несмотря на то, что между любыми двумя рациональными числами p è q

находится третье (ибо p p q q, åñëè p q). Путем заполне- 2

ния этих пробелов строят расширение исходной системы, вводя иррациональные числа. Естественно, более общая теория полу- чается, когда за исходную систему принимают множество целых чисел.

Для некоторых важных числовых множеств приняты стандартные обозначения:

а) множество натуральных чисел

{1, 2, 3, ..., n, ...};

б) множество целых чисел

{..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, ...};

в) множество рациональных чисел

m
		: m , n .
n

Всякое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби, и, обратно, всякая такая дробь представляет рациональное число. Конечную десятичную дробь удобно (для единообразия) рассматривать как бесконечную дробь с нулем в периоде.

Бесконечные непериодические десятичные дроби представляют собой новые числа, не являющиеся рациональными, эти числа называют иррациональными числами.

Произвольные числа — рациональные или иррациональные — называют действительными. Множество действительных чисел обозначают через .

Очевидно, что

.

*Например, не существует рационального числа ð, удовлетворяющего уравнению ð2 2. Действительно, предположим, что это не так. Тогда суще-

ствует число ð m / n (ãäå m è n — целые, причем хотя бы одно из них не- четно), удовлетворяющее уравнению m2 2n2. Òàê êàê m2 — четное число, значит, m четно (если бы m было нечетным, то и m2 было бы нечетным) и, следовательно, m2 делится на 4, поэтому 2n2 делится на 4. Отсюда следует, что n четно. Таким образом, мы получили, что оба числа m è n — четные, вопреки нашему выбору m è n.

13

Описанный выше способ (далеко не единственный) определения действительных чисел через бесконечные десятичные дроби является формальным, поскольку надо еще определить арифметиче- ские операции над ними, отношение порядка. Но это нелегкая задача, поэтому в качестве аксиомы мы примем тот факт, что над действительными числами можно производить все операции, согласно обычным формальным законам арифметических действий.

1.1.6.1. Числовая прямая

Между действительными числами и точками координатной прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие (напомним, что координатной прямой называют прямую, на которой выбрана начальная точка, масштабный отрезок и положительное направление). Поэтому множество действительных чисел называется также числовой прямой, èëè числовой осью, а сами числа отождествляются с точками, которые им соответствуют. Например, вместо того чтобы сказать «точка, соответствующая числу a», говорят «точка a»; вместо «число a меньше числа b» говорят «точка a лежит левее b». Изображение действительных чисел в виде то- чек прямой оказывается чрезвычайно полезным. При рассмотрении числовых множеств, как мы увидим в дальнейшем, удобно использовать их геометрическую интерпретацию.

Замечание. Нужно ли доказывать возможность установления взаимно однозначного соответствия между множеством действительных чисел и точками числовой оси? Если бы и захотели это сделать, мы должны были бы точно знать, что такое прямая и каковы ее свойства. Однако у нас о прямой есть только наглядное представление. Доказательство не имело бы к тому же и никакого смысла, поскольку отождествление действительных чисел с точками числовой прямой служит как раз только вспомогательным средством, геометрической интерпретацией, что во многих случаях весьма удобно. Все же доказательства в дальнейшем мы будем проводить без всякой ссылки на наглядность, лишь средствами логики.

1.1.6.2. Расширенная числовая прямая

Пусть (плюс бесконечность) и – (минус бесконечность) — два различных символа, ни один из которых не является действительным числом. Объединим множество с множеством M {– , }:

{ , }

14

и по определению положим – x õ , кроме того, пусть – .

Определение. Множество называется расширенной чи- словой прямой или замкнутой числовой прямой, а символы

– и — бесконечно удаленными точками прямой или бесконечными числами (в отличие от точек x , которые называют иногда конечными точками или конечными числами).

Подчеркнем, что – и не являются действительными числами. Какова «сущность» бесконечно удаленíых точек, нас не интересует. Все, что нужно знать о множестве содержится в неравенствах между – , и точками из .

1.1.6.3. Промежутки, окрестности

Среди подмножеств множества выделим следующие:

отрезок (сегмент) [a, b] {x : x a b}; интервал (a, b) {x : a x b}; полуинтервалы (полусегменты)

[a, b) {x : x a b}, (a, b] {x : x a b};

полупрямая [a, + ) {x : x a}.

Аналогично определяют полупрямые (a, ), (– , a], (– , a). Отрезки, интервалы, полуинтервалы (конечные или бесконеч-

ные) условились объединять под общим названием — промежутки. Приведенную выше терминологию нельзя считать установившейся. Иногда отрезок называют замкнутым интервалом, а интервал — открытым отрезком; полуинтервал [a, b) называют открытым справа и замкнутым слева. Для единства терминологии иногда точку также называют отрезком и пишут a [a, a]

{x : a x a}.

Произвольный интервал (a, b), содержащий точку c (a c b), будем называть окрестностью точки c. В частности, интервал (c , c ) ( 0) называют -окрестностью точки c.

1.1.6.4. Абсолютная величина числа

Понятием абсолютной величины действительного числа и неравенствами, связанными с абсолютными величинами, нам придется в дальнейшем пользоваться очень часто.

15

Определение. Åñëè a , то число

a ïðè à 0, | a |

à ïðè à 0

называется абсолютной величиной, èëè модулем, числа a.

Число | a | равно расстоянию между 0 и a на числовой прямой. Аналогично | a b | есть расстояние между точками a è b.

Непосредственно из определения модуля действительного числа легко получить следующие утверждения для любых a, b :

1.| a | | a |;

2.| a | a | a |;

3. Неравенство | a | b равносильно двум неравенствам b a b; 4. Неравенства | a b | è b a b равносильны;

5.| a b | | a | | b |;

6.| a b | | a | | b |;

7.| a b | | | a | | b | |;

8.| a b | | a | | b |;

a			| a |
9.				(b 0).
			| b |
b

1.1.7. Упражнение

Докажите приведенные выше утверждения 1—9.

1.2. НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ЛОГИКИ 1.2.1. Логические соотношения

Смысл любой теоремы состоит, вообще говоря, в том, что дается некоторое свойство , называемое условием, из которого вы-

водится свойство	, которое называется следствием èëè заклю-
чением.
Выражение «из	следует » записывается формулой	.
Обратная теорема, если она имеет место, запишется		тогда в

âèäå .

Если данная теорема и ее обратная одновременно справедливы, то условия è являются эквивалентными èëè равносильными, что записывают в виде .

16

Таким образом, запись			означает, что из			следует и
одновременно из	следует .
Очень часто утверждение				(«èç	следует	») мы будем
выражать другими словами, говоря, что					есть достаточное ус-
ловие и в свою очередь		— необходимое условие .
Подобным образом, запись				можно прочесть любым из
следующих способов:
необходимо и достаточно для				;
для того чтобы	..., необходимо и достаточно, чтобы ...;
тогда и только тогда, когда				;
, если и только если		;

эквивалентно .

Для выполнения какого-нибудь утверждения можно найти не одно, а несколько достаточных условий. Например, для того чтобы выпуклый четырехугольник был параллелограммом, достаточно одного из условий: 1) чтобы любые две его противоположные стороны были равными и параллельными; 2) чтобы его диагонали в пункте пересечения делились пополам; 3) чтобы этот четырехугольник имел центр симметрии.

В сложных математических исследованиях нахождение необходимых и достаточных условий (иной раз говорят критериев) является чрезвычайно трудной задачей. Если это не удается сделать, то стараются сблизить формулировку необходимых условий с формулировкой достаточных условий путем сужения одних и расширения других, чтобы подойти ближе к критерию.

Если имеют место одновременно свойства	è	, òî ýòî çàïè-
сывают в виде или же « и ».
Если же некоторый объект обладает свойством		или свойст-
вом , то пишут, что он удовлетворяет	, т. е. утверждение

считается справедливым, если справедливо хотя бы одно утверждение ( èëè ), при этом не исключается случай, когда имеют место оба утверждения.

Утверждение, противоположенное , записывается «не » или .

Всегда считается, независимо от конкретного смысла , ÷òî

«íå íå	» (иначе	), а также справедливо утвер-
ждение, называемое принципом исключенного третьего:
«èëè	, или не » (иначе	( )).

Приведем некоторые простые, но весьма важные соотношения, широко используемые в доказательствах различных утвер-

17

ждений. Эти соотношения можно кратко записать следующим образом:

à) (		)		;
á) (		)		;
â) (		)		;
ã) (	) ( ).

Первые три утверждения достаточно просты. Докажем последнее, наиболее сложное утверждение, подав его в виде теоремы.

Теорема 1. Утверждение справедливо тогда и только
тогда, когда справедливо утверждение	, или иначе го-
âîðÿ, для того чтобы имело место утверждение		, необхо-
димо и достаточно, чтобы имело место утверждение .
Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть дано, что		и одновремен-
но имеет место . Тогда утверждение	невозможно, ибо если

бы имело место , то имело бы место и (âåäü ), что противоречит тому, что мы имеем . Таким образом, поскольку невозможно, то мы имеем , а это и означает, что .

Äо с т а т о ч н о с т ь. Пусть справедливо утверждение

, тогда по доказанному выше (см. необходимость) будем иметь

. Осталось вспомнить, что , à . Проиллюстрируем практическое использование доказанной теоремы. Например, пусть требуется сформулировать утвержде-

ние, эквивалентное следующему:

«любая функция, непрерывная на отрезке [a, b], будет ограничена на этом отрезке».

Используя соотношение () ( ), легко полу- чить следующее утверждение, эквивалентное сформулированному (смысл è очевиден):

«любая функция, неограниченная на отрезке [a, b], не будет непрерывной (иначе говоря, будет разрывной) на этом отрезке».

Заметим, что мы смогли сформулировать эквивалентное утверждение, даже, может быть, не зная точного понятия непрерывности, ограниченности функции.

1.2.2. Кванторы и их использование

В формулировках многих математических утверждений, определений часто встречаются выражения: «для любого…» и «существует… такое, что…». Для сокращения записи будем вместо этих слов употреблять соответственно символы и , которые в

18

математической логике называют кванторами. Символ (перевернутая первая буква английского слова All — все) называется квантором общности, а символ (перевернутая первая буква английского слова Exists — существует) — квантором существования.

Таким образом, квантору общности соответствуют слова «для любого», «для всех», «для каждого» и т. д.; квантору существования — слова «существует», «найдется», «можно указать» и т. д. Слова «такое, что», «такой, что» будем заменять двоеточием (:).

Удобство использования кванторов проиллюстрируем следующим примером. Рассмотрим определение ограниченного чи- слового множества X.

Определение 1. Множество X называется ограниченным, если существует число M такое, что для любого элемента x, принадлежащего множеству X, выполняется неравенство | x | M.

С помощью кванторов это определение приобретает следующий компактный вид.

Множество X называется ограниченным, åñëè

M : x X | x | M.

Таким образом, для сокращения записей в дальнейшем будем использовать следующую таблицу логических символов (табл. 1.1).

			Таблица 1.1
	Символ	Заменяет слова
		Для любого
		Существует
			A B èç A следует B;
		Следует	A — достаточное условие B;
			B — необходимое условие A
		Равносильно	A B
			A необходимо и достаточно для B
	:	Такой (такая), что

Удобство использования кванторов заключается не только в сокращении записей. С помощью кванторов просто формулируются отрицания определений, утверждений. Например, пусть требуется дать определение неограниченного числового множе-

19

ñòâà X, причем определение в положительном смысле, т. е. формулировка не должна содержать отрицаний.

Неограниченность множества X означает, что не существует такого числа M, чтобы для любого x X выполнялось неравенство | x | M, т. е. (в положительном смысле) для любого числа M

найдется элемент x X такой, что выполняется неравенство | x | M. Таким образом, имеем:

Определение 2. Множество X называется неограниченным, åñëè:

M x X : | x | M.

Сравнивая первое и второе определения, приходим к заклю- чению, что для формулировки отрицания определения 1 нужно квантор заменить квантором , и наоборот, квантор заменить на , а неравенство, стоящее после символа , заменить на противоположное. Указанное правило имеет место и в общем случае.

Правило де Моргана. Отрицание утверждения, содержащего кванторы , и свойство P, получается заменой каждого квантора на , каждого квантора на , а свойство P на его отри-

цание P.

Указанное правило позволяет автоматически формулировать отрицание утверждений, содержащих кванторы и путем соответствующей замены кванторов.

Подтвердим сказанное выше еще одним примером. Дадим краткую запись определения того, что множество A является подмножеством B:

A B a A a B.

Утверждение, что A не является подмножеством B, означает, что не любой элемент, принадлежащий множеству À, принадлежит множеству Â, иначе говоря, найдется некоторый элемент множества A, который не принадлежит множеству B, ò. å.

( A B) a A : a B.

Последнюю запись мы могли бы сделать и формально, пользуясь правилом де Моргана.

Используя последнее соотношение, легко получить утверждение, что пустое множество является подмножеством любого множества.

20

Пример. Доказать, что B B.

В самом деле, если бы данное включение не имело места, то

a : a B, но такого не может быть, так как пустое множество не содержит элементов.

Кстати, если приведенное доказательство не удовлетворяет чи- тателя, то можно воспользоваться теоремой 1, согласно которой утверждение: «если a , òî a B», равносильно утверждению:

«åñëè a B, òî a ». А последнее утверждение очевидно. Заключительное замечание. Математическая логика (содержащая теорию множеств) является ветвью современной математики. Мы же рассматривали теорию множеств и логику с «наивной» точки зрения. Слова «любой», «существует», «влечет» и т. д. употреблялись в том смысле, какой они имеют в разговорной речи. Совершенно ясно, что при этом не проводилось никакого серьезного математического обоснования смысла этих понятий. В подобном обосновании нет нужды, поскольку символы ,, , , будут в дальнейшем только знаками, подчиняющимися некоторым правилам, удобными при записи и формулировке

различных утверждений.

1.3. СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1.3.1. Сигма-символика

Весьма часто приходится рассматривать суммы вида am am 1... an. Для таких сумм используют более компактную запись

n

am am 1 ... an ai (читается: «сумма всех ai ïî i îò m äî n»).

i m

Например:

3	p 1	1
ai a1 a2 a3,	ai a1 a2 ... ap 1,	ai a1.
i 1	i 1	i 1

n

Если в записи ai число n m, то значение суммы считают

i m

равным нулю, т. е.

n

ai 0 n m .

i m

Вообще говоря, если R(i) есть какое-то соотношение относительно i, то символ ai означает сумму всех тех ai, у которых це-

R(i)

21