Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

Аналогично если E20 и E10 – комплексные амплитуды прошедшей и отраженной волн, то соответствующие компоненты электрического и магнитного векторов равны следующим величинам.

Поле волны отраженной:

Eотр

x

E		cos e	i	1
10	||	1

;

отр

1cos1

E10

i

;

Hx

e

1

E

отр

E

i

отр

1 E10

e

i 1

y

e

1

; H y

10

||

;

(1.444)

Eотр

z

E		sin e	i	1
10	||	1

;

отр

1sin1 E10

i

,

Hz

e

1

где

N1

r

x sin 1 z cos 1

1

t

t

1

1

Поле волны прошедшей:

пр

E20

i

;

Ex

cos 2e

1

||

пр

2 cos2

E20

e

i

;

Hx

2

пр

E20

e

i

;

пр

2

E20

i

;

Ey

2

H y

e

2

||

E

пр

E

sin

ei 2

;

z

20

||

2

пр

2 sin2

E20

e

i

,

Hz

2

где

N

2

r

x sin

2

z cos

2

2 t

t

2

2

.

	;

(1.445)

(1.446)

(1.447)

Тангенциальные составляющие векторов E Следовательно должны выполнятся соотношения:

и

H

должны быть непрерывны.

пад			отр			пр
Ex		Ex			Ex		;
H	пад		H	отр		H	пр
	x			x			x

	E	пад
		y

; H падy

	E	отр
		y

H yотр

пр	;
Ey

H yпр .

(1.448)

При этом условия для нормальных компонент B и D будут удовлетворяться автоматически. Подставляя в (1.448) значения всех компонент получим:

(*)

E		cos	E		cos
00	||	1	10	||	1

E		cos	2
20	||

;

(**) 1cos 1 E00 1cos 1 E10 2 cos 2 E20 ;

(**)

E00

E10

E20

;

E00 ||

E10 ||

E20 || .

(*)

1

1

2

(1.449)

Перепишем попарно формулы (1.449). В одной паре запишем только параллельные компоненты, а во второй – перпендикулярные:

183

	E									cos E												cos						E				20				cos					2
(I)				00				||					1							10 ||				1										||								;
						E														E									E
					1												1										2
										00		||									10	||										20			||
								cos					E	00										cos						E												2	co s	2	E
(II)						1						1											1				1					10													20
		E									E									E
					00								10									20
Преобразуем пару (I):
			E								E								E					cos						2
						00																20
										||			10			||							|| cos
(III)																														1											.
																																							n
	E										E								E								2			E
																																							2
						00				||			10			||						20	||												20		||		n
																											1												1
Сначала сложим левые и правые части (III):
													2 E								E										cos 2									n2		.
																			00		||			20			||				cos									n
																																				1					1
Приведем к общему знаменателю и выразим E20 || :
												E20					E00										2n cos															;
																															1					1
														||								|| n cos									2	n cos
																								1												2					1

получили первую формулу Френеля. Теперь вычтем обе части (III):

.

(1.450)

2 E					E			n				cos						n cos n cos						E
						20				2				2				2	1		1		2		20
	10	||					||		n			cos							n cos							||
										1				1					1		1
	n cos				n cos							2n cos							E			,
	2			1		1				2			1					1		00
			n cos								n cos				n cos						||
													2
				1		1					1						2	1

откуда сразу же получаем вторую формулу Френеля:

	E10	E00		n cos		n cos		.
				2	1	1	2
	||		|| n cos		2	n cos
				1		2	1

(1.451)

Эти соотношения пишутся обычно в другой форме, которую можно получить из (1.450) и (1.451), используя закон преломления (5.48), а именно в форме

E
10	||

E
00	||

tg 1 tg 1

2

2



;

(1.452)

E			E		2sin				cos
	20							2	1
		||	00	|| sin			cos
						2
				1					1		2

.

(1.453)

Выполняя аналогичные преобразования со второй парой формул (11), содержащих перпендикулярные компоненты, получим еще две формулы Френеля

E10

E20

E			n cos			n		cos
			1	1		2			2
00		n cos				n		cos
									2
			1	1		2
E				2n cos
						1		1
00			n cos			n		cos
				1	1		2

,

2

,

(1.454)

(1.455)

которые могут быть записаны в другой форме

184

E10

E20

E
00
E
00

sin 1 2

sin 1 2

2sin	cos
	2		1		.
sin
			2
1

,

(1.456)

(1.457)

Уравнения (1.450) – (1.457) называются уравнениями Френеля. Впервые они были введены Френелем в несколько менее общем виде в 1823 г. на основе его теории, рассматривавшей свет, как колебания упругой среды.

5.6Анализ формул Френеля

Фазовые соотношения

Так как. 1 и 2 вещественны (случай полного внутреннего отражения пока исключен), то тригонометрические функции, стоящие в правой части уравнений Френеля), также вещественны. Следовательно фаза каждой компоненты отраженной и прошедшей волн либо равна фазе соответствующей компоненты падающей волны,

либо отличается от нее на . Т.к. знаки (E20)|| и (E20) совпадают со знаками (E00)|| и (E00) , фаза прошедшей волны равна фазе падающей. В случае же отраженной волны

фаза будет зависеть от относительных значений 1 и 2. Если оптическая плотность второй среды больше, чем первой ( 2 > 1), то 1 > 2; поэтому, согласно (1.456), знаки (E10) и (E00) различны и фазы отличаются друг от друга на . При тех же обстоятельствах значение tg(1 – 2) положительно, но знаменатель tg(1 + 2) становится отрицательным для 1 + 2 > /2, и в этом случае фазы (E10)|| и (E10)|| отличаются друг от друга на . Аналогичное рассмотрение можно привести для случая, когда вторая среда оптически менее плотна, чем первая.

Для нормального падения 1 = 0

и, следовательно,

2 = 0; тогда соотношения

(1.450), (1.451), (1.454) и (1.457) примут вид

E10 || E00 || n 1 / n 1 ,

E10

E00 n 1 / n 1

(1.458)

E20

E00

2

,

E20

E00

2

,

(1.459)

n

1

n 1

||

||

где n = n2/n1.

Отражательная и пропускательная способности. Поляризация при отражении и преломлении

Рассмотрим теперь, как энергия поля падающей волны распределяется между двумя вторичными волнами.

Интенсивность света согласно (1.398) равна

J S		E2		cn E2	(Гауссова система).	(1.460)
	t		0

Поэтому количество энергии в первичной волне, которая падает на единицу площади поверхности раздела за одну секунду, будет равно

J0

S cos
0	1

cn		E	2
0	1	00

cos 1

.

(1.461)

185

Для отраженной и преломленной волн энергия, покидающая единицу площади поверхности раздела за одну секунду, определяется подобными же выражениями, а именно

J	1	S cos
		1	1

cn		E	2
0	1	10

cos1

,

(1.462)

J2 S2cos 2 0cn2 E20 2 cos 2 .

Отношения

	R	J
		J

1			E		2
			10
0			E			2
		00

и

J J

		E	2	n cos
2			20			2
				2
			2	n cos
0		E
			00	1	1

(1.463)

называют соответственно отражательный и пропускательной способностью. Легко проверить, что в соответствии с законом сохранения энергии

R 1.

Отражательная и пропускательная способности зависят падающей волны. Их можно выразить через соответствующие отражательную и пропускательную способности для света, параллельно и перпендикулярно плоскости падения.

(1.464)

от поляризации отражательную поляризованного

Пусть вектор Тогда

E

падающей волны образует с плоскостью падения угол 0.

E
00	||

E	cos	0
00

,

E
00

E sin	0
00

.

(1.465)

Пусть, далее,

I	0				0	cn
						1

E		2	cos
00		||	1

I0

sin	2
		0

;

I0

0cn1

E00

2

cos1 I0 sin

2

0

;

и

I1

0cn1

E10

2

cos1

;

I1

0cn1 E10

2

cos1 .

||

||

(1.466)

(1.467)

Тогда
								I				I						I									I						2					I1							2
				R					1					1			||					1						1 ||		cos													sin
								I										I										I								0			I									0
									0											0									0												0
									R		cos				2						R					sin	2			,
																			0
									||																				0
где
I				E		2							2																													2					2
	1			10						tg																				I								E						sin
R|| I		||				||			tg2								1					2			,	R						1						10						sin2						1
				E		2																								I								E				2
	0	||															1					2										0																		1
				00 ||																																		00
Подобным же образом получим
																					I2							2									2
																							cos							0					sin				0	,
																					I0					||

где

2 2



(1.468)

.(1.469)

(1.470)

186

			I2							E20	2	n cos										sin2 sin2
											||				2																2
							||						2														1								,
	||		I								2	n cos					sin2											cos2
										E
				0			||			00	||		1	1							1				2						1		2
			I							E20		2	n cos					sin2 sin2
					2																							2 .
			I										2			2		sin2				1
										E		2	n cos
					0								1		1								1				2
										00
Снова можно показать, что
												R		||	1		, R							1 .
													||

(1.471)

(1.472)

Для нормального падения различие между параллельной и перпендикулярной компонентами исчезает и из (1.458), (1.459) и (1.463) находим:

Отсюда следует, что

lim R 0	;	lim
n 1		n 1

Rn 1

n 1

1 .

2	;

4n

n 1 2

;

n

n2 n1

.

(1.473)

(1.474)

		Ðèñ. 1
1	1
		x
		2
z
	2
Р и с. 5.6

Аналогичные результаты получаются также для предельных значений || и R||, и R . Это легко увидеть из (1.469) и (1.471), если учесть, что, согласно закону преломления, 2 1 при n 1. Следовательно, чем меньше различия в оптической плотности обеих сред, тем меньше энергии уносится отраженной волной.

Знаменатели в (1.469) и (1.471) конечны, за исключением случая 1 + 2 = /2. Тогда tg(1 + 2) = и, следовательно, R|| = 0. В этом случае (рис. 5.6) отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу, а из закона преломления следует

(т.к. теперь sin2 = sin( /2 – 1) = cos1), что
tg 1 n .	(1.475)

Угол 1, определяемый этим выражением, называется углом полной поляризации или углом Брюстера. Его важность впервые была отмечена в 1815 г. Давидом Брюстером (1781 1868 г.г.). Если свет падает под этим углом, электрический вектор отраженной волны не имеет составляющей в плоскости падения.

187

Полученный выше результат, часто называемый законом Брюстера, можно пояснить следующим более прямым рассуждением. Поле падающей волны вызывает колебания электронов в атомах второй среды, которые совершаются в направлении

электрического вектора прошедшей волны (по направлению компоненты	E2		и
		||

E2

).

Колеблющиеся электроны вызывают отраженную волну, которая

распространяется обратно в первую среду. Но линейно колеблющийся электрон излучает в основном в направлении, перпендикулярном к направлению колебаний, а по направлению колебаний поток энергии излучения отсутствует. Отсюда следует, что когда отраженный и прошедший лучи перпендикулярны друг другу, то в отраженном луче энергия колебаний в плоскости падения равна нулю.

На рис. 5.7 показана зависимость отражательной способности стекла с показателем преломления 1,52 от угла падения 1. Числа над верхней горизонтальной линией относятся к углу преломления 2. Нулевое значение R|| в кривой (в) соответствует углу полной поляризации arctg(1,52) = 56 40 .

	6 34	19 12		30 16		38 11		41 8	Ðèñ. 2
1,0	13 0		25 1		34 44		40 23
									2
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4					56 40
0,3
0,2					(à)
0,1					(á)
						(â)
	10		30		50		70	90
									1

Ри с. 5.7

Воптическом диапазоне показатели преломления по отношению к воздуху обычно порядка 1,5, но в радиодиапазоне они значительно больше; поэтому там соответственно велики и углы поляризации. Например, для оптических длин волн

показатель преломления воды примерно равен 1,3 и угол поляризации 53 . В радиодиапазоне значение показателя преломления достигает примерно 9, а угол поляризации близок к 84.

188

Легко увидеть, что согласно (1.468), кривая (б) на рис. 5.7 соответствует α0 = 45. Как сейчас будет показано, та же кривая представляет также отражательную

способность

R

для естественного света, т.е. для света, испускаемого нагретым

телом. Направление колебаний в естественном свете быстро изменяется беспорядочным, случайным образом. Соответствующую отражательную способность

R	можно получить путем усреднения по всем направлениям. Т.к. среднее значение
sin2 0 и cos2 0 равны 1/2, то для средних значений
	I			I					1	I		.	(1.476)
		0			0						0
			||						2

Однако для отраженного света обе компоненты в общем случае неодинаковы. В самом деле, используя (1.476), найдем:

I				1	I	1
							||		I
	1			2	I					0
		||
						0
							||

1 2

R I	0
||

,

					1				1
I								I					I
					2	I
	1								0					0

1 2

R I	0

.

(1.477)

При этом говорят, что отраженный свет частично поляризован, и степень его поляризации P можно определить следующим образом:

		R R
	P	||		.
		R	R
		||

Отражательная способность определится теперь выражением

	I				I		I						1	R|| R ,
					1	||			1
R		1
	I						I						2
		0						0

(1.478)

(1.479)

и поэтому она по-прежнему будет поляризации теперь можно выразить

P

описывается

ввиде

1 1 R||

R 2

кривой (б) на рис. 5.7. Степень

R ,

выражением в фигурных скобках определяют иногда поляризованную часть отраженного света.

Аналогичные результаты можно получить и для проходящего света. Для естественного света мы также найдем

R 1.

(1.480)

Возвращаясь к случаю линейного поляризованного падающего света, мы видим, что отраженный и прошедший свет остается линейно поляризованным, т.к. их фазы либо не изменяются, либо изменяются на . Однако направления колебаний в отраженном и проходящем свете изменяются относительно направления колебаний в падающем свете в противоположные стороны. Это можно показать следующим образом.

Угол, который обозначили через 0, т.е. угол между плоскостью колебаний и

плоскостью падения, называют азимутом колебаний.

Можно предполагать, что азимут изменяется в пределах от – /2

до /2. Для

падающей, отраженной и прошедшей электрических компонент волн имеем:

tg

0

E00

, tg

E10

, tg

2

E20

.

(1.481)

1

E10 ||

E20 ||

E00 ||

Используя формулы Френеля, найдем

189

		cos				2
tg			1					tg
		cos							0
1
						2
			1
tg 2 cos 1				2 tg 0 .
Т.к. 0 1 /2 и 0 2 /2, то
	tg 1		tg 0			,

,

(1.482)

(1.483)

(1.484)

tg 2

tg 0

.

(1.485)

Знак равенства в соотношении (1.484) справедлив лишь при нормальном или скользящем падении (1 = 2 = 0 или 1 = /2); в соотношении (1.485) лишь при нормальном падении. Эти неравенства показывают, что при отражении угол между плоскостью колебаний и плоскостью падения увеличивается, тогда как при

преломлении он уменьшается. На рис. 5.8 показано поведение 1 и 2 для n = 1,52 и0 = 45. Мы видим, что когда 1 равно углу Брюстера 5640, то 1 = 90. В самом

деле, согласно (1.482) tg1 = (т.е 1 = /2) для 1 + 2 = /2 при любом значении угла 0.

Ðèñ. 4

140
120			1
100
80
60
			2
40
20			56 40
0					1
0	20	40	60	80

Ри с. 5.8

5.7Рассеяние света

Рассеяние света это явление изменения какой-либо характеристики потока оптического излучения при его взаимодействии с веществом. Этими характеристиками могут быть:

1)пространственное распределение интенсивности;

2)частотный спектр;

3)поляризация света.

Последовательное описание рассеяния света возможно в рамках квантовой теории взаимодействия излучения с веществом, основанной на квантовой

190

электродинамике и квантовых представлениях о строении вещества. В этой теории единичный акт рассеяния света рассматривается как поглощение частицей вещества

падающего фотона с энергией h , импульсом		hk		и поляризацией ,	а затем
испускание фотона с энергией h , импульсом	hk и поляризацией . Здесь					и
частоты падающего и рассеянного излучений;	k	и k		волновые векторы.
Если энергия испущенного фотона равна		энергии поглощенного			(т.е.	при

), рассеяние света называют рэлеевским или упругим. При рассеяние света сопровождается перераспределением энергии между излучением и веществом и его называют неупругим.

Во многих случаях оказывается достаточным описание рассеяния света в рамках волновой теории излучения. С точки зрения этой теории ,как отмечалось выше, падающая световая волна возбуждает в частицах среды вынужденные колебания электрических зарядов, которые становятся источниками вторичных световых волн. Эти волны рассеивают в стороны часть энергии, переносимой падающей волной. Но поскольку вторичные волны когерентны между собой, то при расчете интенсивности света, рассеянного в стороны, надо принимать во внимание их взаимную интерференцию.

Количественной характеристикой процесса рассеяния является сечение рассеяния. Дифференциальное сечение рассеяния d определяется как отношение потока излучения dФ рассеянного в малый элемент телесного угла d , к величине

плотности потока dФ0 падающего:
d	d	.	(1.486)
	d 0

Полное сечение рассеяния есть сумма d по всем направлениям, т.е. по всем d . Сечение имеет размерность см2. При упругом рассеянии можно считать, что размер площадки, "не пропускающий свет" в направлении его первоначального распространения.

Неполной, но наглядной характеристикой рассеяния света служит индикатриса рассеяния кривая, графически отображающая зависимость интенсивности рассеянного света от угла рассеяния.

Вследствие разнообразия факторов, определяющих рассеяние света, трудно развить единый детальный способ описания для различных случаев. Поэтому рассматривают идеализированные ситуации.

1. Рассеяние света отдельным электроном с большой точностью является упругим процессом, для которого не зависит от частоты падающего света (т.н. томсоновское рассеяние света):

8			2
	3	r0 .

Сечение рассеяния пропорционально площади круга радиусом r0. По этой при-

чине

	e	2			13
r0				2,8 10		см
	mc		2

191

называют классическим радиусом электрона, много меньшим длины волны света. Индикатриса рассеяния в этом случае такова, что интенсивность света, рассеянного

вперед или назад (под углами 0

или 180 ) вдвое больше, чем под углом 90 .

2. Основная особенность рассеяния света отдельными атомами сильная зависимость от частоты . Такое рассеяние можно наблюдать в разреженных газах. Если частота падающего света мала по сравнению с частотой 0 собственных колебаний атомных электронов, то ~ 4 или ~ -4. Эта зависимость, найденная на основе представлений об атоме как об электрическом диполе, колеблющемся в поле

световой волны, называется законом Рэлея. При 0		сечение резко возрастает,
достигая при резонансе 0	очень больших значений: ~		2	~ 10	10	2
						см .

Индикатриса рассеяния неполяризованного света атомами аналогична описанной для свободных электронов.

3. При рассеянии света молекулами наряду с рэлеевскими (несмещенными) линиями в спектре рассеяния появляются линии неупругого рассеяния (смещенные

по частоте). Относительное смещение частоты	/ порядка	10 – 3 10 – 5, а
интенсивность смещенных линий составляет	лишь 10-3 10-6	интенсивности

рэлеевской линии. Неупругое рассеяние света молекулами называют комбинационным рассеянием.

4. Рассеяние света мелкими частицами обуславливает класс явлений, которые можно описать на основе теории дифракции света на диэлектрических частицах. Характерные особенности этого вида рассеяния можно проследить в рамках строгой теории, разработанной для сферических частиц английским ученым А. Лявом и немецким ученым Ми.

Когда радиус частицы меньше длины волны света в веществе n, рассеяние света на ней аналогично нерезонансному рассеянию света атомом. Сечение и интенсивность рассеянного света в этом случае сильно зависят от r и от разности диэлектрических проницаемостей и 0 рассеивающего вещества и окружающей среды:

~ 4r6
n

		2
	0

.

С увеличением r до r ~ и более в индикатрисе рассеяния появляются резкие максимумы и минимумы вблизи т.н. резонансов Ми (2r = m, m = 1, 2, …) сечения сильно возрастают и становятся равными 6 r2; рассеяние вперед усиливается, назад ослабевает. Значительно усложняется зависимость поляризации от угла рассеяния.

Рассеяние большими частицами (r n) рассматривается на основе законов геометрической оптики с учетом интерференции лучей, отраженных и преломленных на поверхности частиц. Важная особенность этого случая – периодический (по углу) характер индикатрисы рассеяния и периодическая зависимость сечения от параметра r/n. Рассеяние света на крупных частицах обуславливает ореолы, радуги, гало и другие явления, происходящие в аэрозолях, туманах и др.

5. Рассеяние света средами, состоящими из большого числа частиц, существенно отличается от рассеяния света отдельными частицами. Это связано, вопервых, с интерференцией волн, рассеянных отдельными частицами, между собой и с падающей волной; во-вторых, во многих случаях важны эффекты многократного рассеяния (переизлучения), когда свет, рассеянный одной частицей, вновь

192