Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

A(t) A(0)e	t

			t
	A(0)e

.

(1.122)

Длительность этого процесса характеризуется временем затухания амплитуды:= 1/ (время жизни колебаний), которое в два раза превышает время затухания энергии: = 2э. Принимая в формуле (1.121) для 0 = 2c/0 значение,

соответствующее 0 = 0,5 мкм (видимый свет), находим, что 108 с–1, поэтому время жизни возбужденного состояния атома, обусловленное радиационным затуханием, по порядку величины равно 10–8 с. Этот результат согласуется с опытными данными. Затухание колебаний излучающего электрона, описываемое формулой

			t
	x(t) A(0)e

cos	t
0

,

представлено на рис. 2.9 в искаженном масштабе. За время затухания осциллятор совершает около 107 полных колебаний, период которых T10–15 с. Время определяет продолжительность цуга волн, испускаемых возбужденным осциллятором (неподвижным изолированным атомом).

Зависимость поля излучения E(t) отдельного атома от времени подобна зависимости, показанной на рис. 2.9.

x(t)	Ðèñ. 4
A(0)	t /
	e
A(0)	T
e
	t

τ

Ри с. 2.9

Вфиксированной точке пространства поле излучения имеет вид модулированного колебания и его можно приближенно записать в виде

	t
		cos(	t ),
E(t) E e
0		0

(1.123)

где E0 и – начальные амплитуда и фаза колебаний электрического поля в точке наблюдения, 0 и – частота и время затухания свободных колебаний.

Рассмотрим спектральный состав модулированного колебания (1.123), т.е. спектральный состав излучения, представляющего собой одиночный затухающий волновой цуг конечной длительности.

Естественная ширина линии излучения

Полагая в (1.123) начальную фазу равной нулю, напряженность поля в волне, испускаемой затухающим осциллятором, представим в виде

53

			0, (t 0)
E(t)	E e	t	cos	t, (t 0)
	0		0

(1.124)

где постоянная = 1/ определяется соотношением (1.121). Для нахождения спектра излучения выполним обратное преобразование Фурье

E( ) E(t)e	i t	dt

		0
			t
		E e
	0

cos	te	i t	dt
0

.

(1.125)

Для вычисления интеграла (1.125) удобно cos0t выразить через показательные функции

		e	i t	e
			0
cos	t
0				2

i	t
0

,

			E			i( 0 ) t		E
		E( )					dt
	тогда		0		e			0
			2					2
				0

Рассчитаем первый интеграл

	i(		) t
e		0		dt
0

E1 ( )

E	( )
2

.

(1.126)

	E1	( )			E0 2
				i( 0 )
	и рассмотрим функцию E1		()E1		() S()
				*
	учетом только одного слагаемого
						E	2
				S( )
						0
						4			2

						E0		1
	e i( 0 ) t
						2	i( 0 )
					0
	– спектральную плотность энергии с
	1			.			(1.127)
	(		)
			2
		0

Согласно (1.127) S() имеет максимум в точке = 0. При << 0 максимум очень острый. Поэтому в интересующей нас области положительных частот вкладом второго слагаемого из (1.126) в функцию S() можно пренебречь. Описываемая выражением (1.127) форма спектральной линии излучения называется лоренцевским контуром (рис. 2.10).

S( )		Ðèñ. 5
S( )
0
S( )
0
2
0	0	ω

Р и с. 2.10

Пунктиром представлен контур линии в области отрицательных частот с максимумом при = – 0 , обусловленный вторым слагаемым формулы (1.126).

54

Как видно из рис. 2.10, кривая имеет максимум при = 0 (в области положительных частот), т.е. на частоте собственных колебаний в отсутствие затухания. Уширение спектра излучаемых частот обусловлено радиационным затуханием свободных колебаний осциллятора. Плотность энергии уменьшается вдвое для частот, отличающихся от 0 на = 1/. Отсюда для ширины линии на половине высоты находим = 2 = 2/. Это значит, что ширина полосы излучаемых частот связана с характерной длительностью цуга соотношением: ~1: чем меньше длительность процесса испускания, тем шире спектр частот. Так как = 2 <<0, то излучаемый свет можно назвать квазимонохроматическим.

Рассмотренный пример позволяет оценить обусловленную радиационным затуханием естественную ширину спектральных линий излучения свободных атомов. Так как время жизни возбужденного состояния составляет около 10-8 с, то для естественной ширины получаем ~ 108 Гц. В шкале длин волн оценка естественной ширины спектральной линии дает ~ 10–5 нм.

Как видно из формулы (1.125) частотный спектр излучения определяется характером изменения во времени напряженности светового поля E(t). Вид этой зависимости, в свою очередь, определяется наряду с радиационным затуханием колебаний такими физическими факторами как тепловое движение осцилляторов (атомов), столкновения, сбивающие фазу колебаний, разброс осцилляторов по частотам и т.п. Каждый из этих факторов обусловливает свой механизм уширения спектральной линии: доплеровское, столкновительное.

2.3Уширение спектральных линий

Естественная форма линии излучения возникает в идеальных условиях, когда излучающий атом покоится и не подвергается в процессе излучения действию какихлибо внешних сил.

Однако в реальных условиях естественная форма линии не наблюдается, потому что всегда имеет место тепловое движение атомов и взаимодействие с другими атомами. Эти факторы, приводящие к уширению линий излучения, можно разделить на две группы. Одна группа вызывает в излучении каждого атома одинаковое изменение линии излучения. Такое уширение линий излучения называется однородным. Другая группа факторов вызывает в излучении отдельных атомов различные изменения линий излучения. В этом случае уширение линии, наблюдаемое в излучении совокупности атомов, происходит за счeт различных изменений линий излучения отдельных атомов. Такое уширение линий излучения называется неоднородным. Ударное уширение. Ударное уширение вызвано столкновениями излучающих атомов с окружающими их атомами и молекулами. В газе при комнатной температуре и нормальном атмосферном давлении время, в течение которого излучение атома не нарушается взаимодействиями, имеет порядок τ0 ~ 10-11 с. Если учесть, что время t естественного излучения имеет порядок 10-8 с, то в процессе излучения атом испытывает свыше сотни нарушений процесса излучения. При столкновении с другой частицей излучающий атом испытывает силовое воздействие, которое модулирует частоту и вызывает сбой фазы колебаний. Притом столкновения, быстро следующие одно за другим, приводят к случайной фазовой модуляции колебаний, что в свою очередь вызывает уширение спектральной линии излучения.

55

При оценке величины столкновительного (ударного) уширения примем естественную ширину линии излучения равной нулю. Ввиду случайного характера соударений время между последовательными столкновениями подчиняется распределению Пуассона, т.е. вероятность того, что время между последовательными столкновениями заключено между и + d равна:

	P d	1
			exp		d ,	(1.128)
		0		0

где 0 – среднее время между столкновениями. Между столкновениями затухание амплитуды колебаний электрона, и, следовательно, амплитуды напряжeнности испускаемой волны невелико. Поэтому в процессе излучения между столкновениями в моменты t0 и t0 + амплитуда напряжeнности электрического поля испускаемой волны примерно постоянна:

E t E0 exp[i( 0t )] , t0 t t0 ,

где случайная фаза.

Фурье-образ функции E(t), определяющий её спектральный состав, в рассматриваемый промежуток времени задаeтся формулой:

				t0		0	0
			i t
E( )		E(t)e		dt		E exp[i(		)t ]dt
				t
					0

E0

exp[i(	0		) ] 1	exp{i(
i(			)		0
		0

)t	0

}

.

Отсюда следует, что спектральное распределение энергии (или интенсивности), усреднeнное по периоду колебаний, задаeтся соотношением:

S() ~ E E	E
*		2
	0

sin	[(			)
2
	(		0	)
				2
		0

/ 2]

.

(1.129)

Формула (1.129) описывает интенсивность излучения в течение промежутка времениот отдельного атома. Одновременно другие атомы также излучают, причeм их времена свободного пробега распределены в соответствии с (1.128). Поэтому для нахождения спектрального состава полной интенсивности излучения от всех атомов надо (1.129) усреднить по с учeтом (1.128)

S ~	1		sin	2	(		) / 2					1	1
						0		2	exp		d ~		2			2
	0	0			0					0		2 0		1/ 0

. (1.130)

Следовательно, ударное уширение приводит к лоренцевой форме линии с шириной= 2/0.Ударное уширение является однородным, потому что оно характеризуется средним промежутком времени 0 между столкновениями, одинаковым для всех атомов, и нет экспериментальных способов отнести излучение с определeнной частотой к какой-либо определeнной группе атомов.

Хотя ударная ширина при нормальных условиях на два порядка больше естественной, но её абсолютное значение ( уд 0) во многих случаях пренебрежимо мало.

56

Доплеровское уширение

Доплеровское уширение спектральной линии обусловлено хаотическим тепловым движением атомов или молекул. Оно наиболее характерно для разреженных газообразных светящихся сред. Например, доплеровский спектр имеет излучение, испускаемое в боковых направлениях газоразрядной трубкой гелий-неонового лазера.

Оценим форму и ширину доплеровской спектральной линии, пренебрегая (для простоты) радиационным затуханием колебаний, т.е. будем считать, что неподвижные атомы излучают практически на одной частоте 0. Если в процессе излучения атом движется, то наблюдаемая частота не равна частоте излучения покоящегося атома. При этом имеет значение лишь проекция скорости атома на направление наблюдателя. Если эта проекция равна υ, то наблюдаемая частота излучения (при υ c) определяется формулой

0 1			,	(1.131)
		c

которая выражает эффект Доплера.

Доля атомов, скорости которых заключены между υ и υ + dυ, в соответствии с распределением Максвелла пропорциональна

~exp m 2

2kT

d

,

(1.132)

где m – масса атома, k – постоянная Больцмана, T – температура. Строго говоря, распределение справедливо только при тепловом равновесии. Тем не менее, отклонение от него для излучающих атомов в газовом разряде незначительно.

Подставляя в (1.132) υ из (1.131) получаем долю полного числа возбужденных

атомов источника, которые излучают в направлении наблюдения на частоте от до

+ d:

		mc	2
~ exp
		2kT

			0
		0

	2
		d

.

(1.133)

Акты спонтанного испускания различных атомов происходят независимо, т.е. их излучение некогерентное. Поэтому полная интенсивность излучения источника S( )d в интервале от до ( + d ) пропорциональна числу атомов, излучающих в этом интервале частот. Следовательно, доплеровское уширение приводит к распределению энергии в спектре, выражаемому формулой:

		mc	2					2
S( ) S0 exp						0				,	(1.134)
		2kT			0

где S0 – спектральная плотность интенсивности излучения в центре линии на частоте

0.

57

I( )
I( )
0
I( )
	äîï
0
2

Р и с. 2.11

Описываемый выражением (1.134) контур спектральной линии имеет колоколообразную форму с быстро (экспоненциально) спадающими крыльями (рис. 2.11). Он называется гауссовым, так как совпадает с кривой нормального закона

распределения Гаусса. Ширину доплеровской линии доп определяем из (1.134) как разность частот = 2 – 1, при которых интенсивность равна половине её максимального значения. Полагая S(1) = S(2) = S0/2, находим:

S	0
2

				mc	2
S		exp
	0
				2kT

					2				mc	2
							S0 exp
	1		0
		0							2kT

	2			0
			0

	2

  

.

Откуда находим, что доплеровская спектральная линия имеет вид гауссовой кривой с центром на частоте 0 и полной шириной на полувысоте

							1
			2		2kT		2	ln 2		8kT		ln 2.
		доп		0		2			0	mc	2
					mc

Подставляя в (1.135) числовые значения констант, получаем для оценки доплеровской ширины спектральной линии следующую простую формулу

(1.135)

	доп
	0

			7, 2 10	7	T
доп		доп
0					M
		0

.

(1.136)

Здесь М – атомная масса. Оценим доплеровскую ширину спектральной линии излучения гелий-неонового лазера, где излучающими атомами являются атомы Ne.

Полагая 0 = 632,8 нм, М = 20, Т = 300 К, получим по формуле (1.136)

		10
		9
	доп

Гц

или

	1, 610	3
доп

нм.

Это на два порядка превосходит естественную ширину спектральной линии и по порядку величины совпадает с шириной линии за счeт ударного уширения

(ест = 1,17 10 – 5 нм).

В отличие от радиационного и столкновительного уширений, которые относятся к однородным уширениям, доплеровский тип уширения называют неоднородным.

Форма составной линии излучения

При одновременном действии нескольких факторов уширение линии излучения результирующая линия связана с составляющими простой формулой:

58

F ()		F ()F (		0
		1	2

)d

.

в предположении, что F1() и F2() характеризуют две линии излучения с одинаковой центральной частотой 0. Центральная частота составной линии тоже равна 0.

При сложении лоренцевых линий с шириной 1 и 2 получается лоренцева линия с шириной = 1 + 2. При сложении гауссовых линий с шириной 1 и 2 получается

гауссова линия с шириной

		2		2
	1			2

.

2.4Волновые пакеты

Волновой пакет, образованный двумя волнами

Электромагнитные волны распространяются со скоростью света независимо от частоты только в вакууме. В среде скорость электромагнитной волны меньше скорости света и зависит от частоты. Зависимость скорости волны от частоты называется дисперсией.

Рассмотрим суперпозицию двух волн, частоты которых 1 и 2, а волновые числа k1 и k2:

E1 (z,t)

E cos( t
0	1

k1z)

,

E	(z,t)
2

E cos(		t
0	2

k	2	z)

,

(1.137)

считая, что они имеют одинаковую поляризацию и распространяются направлении. Фазовая скорость волны определяется из условия

t kz const .

в одном

(1.138)

Дифференцируя (1.138) по t, получим

				dz
				dt		k

(1.139)

(индекс “Ф” у фазовой скорости для упрощения в дальнейшем указывать не будем). Фазовую скорость в вакууме обозначим с. Фазовые скорости волн в (1.138), вообще говоря, могут быть и различными. Напряжeнность образовавшейся в результате суперпозиции волны описывается формулой (1.140). Форма такой волны показана на рис. 2.12.

E	Ðèñ. 1
	t
Р и с.	2.12

59

E(z,t) E E					2E cos		(				)	t
			1	2	0				1	2		2
cos		(1	2 )	t	(k1 k2 )	z			.
				2		2

Если дисперсия отсутствует, то напряжeнность имеет вид

E z,t 2E

cos

t

z

/ 2

cos

t

z

/

2

2

0

1

1

c

c

2

(

 

k1

,

k1

	k		)	z
		2		2

1 , c

(1.140)

k				2
	2		c

.

Волна без изменения формы распространяется со скоростью света в направлении положительных значений оси Z, причeм огибающая амплитуд, обозначенная на рис. 2.12 пунктирной линией, движется со скоростью света.

Групповая скорость

Суперпозиция двух или большего числа волн с различными частотами составляет группу волн или волновой пакет. Скоростью группы волн или групповой скоростью называется скорость движения максимума огибающей амплитуды группы волн. Из условия постоянства фазы огибающей амплитуды волны (1.140), записанного в виде

1	(		)	t	(k	k	)	z		const
		2
	1			2	1	2		2
2

(1.141)

после дифференцирования по t находим групповую скорость:

U	dz		(1	2 )		.	(1.142)
	dt		(k	k	)
			1	2

Если дисперсия отсутствует, то 1 = ck1, 2 = ck2, и из (1.142) получаем U = c, т.е. групповая скорость совпадает с фазовой. При наличии дисперсии групповая скорость отличается от фазовой. В результате огибающая амплитуд и слагаемые волны движутся с различными скоростями, что приводит к изменению формы огибающей в процессе распространения волны, т.е. при наличии дисперсии волновой пакет распространяется с изменением формы.

Если частоты слагаемых волн близки друг к другу ( 1 2), то для групповой скорости из (1.142) получается формула

U

d dk

.

(1.143)

Она справедлива не только для двух волн с бесконечно близкими частотами, но и для произвольного волнового пакета, образованного суперпозицией бесконечного числа волн с близкими частотами, поскольку является дифференциальной.

60

Суперпозиция колебаний с эквидистантными частотами

Пусть происходит N колебаний одинаковой амплитуды E0, частота которых различается на . Результат суперпозиции этих колебаний представляется формулой:

E(t) E	cost E	cos( )t ... E cos( (N
0	0	0

1))t

.

(1.144)

Суммирование этого ряда можно произвести в экспоненциальном представлении гармонических функций:

E0

N 1

N 1

1 e

iN t

E(t) Re

E

e

i( t n t )

E Re e

i t

e

in t

E Re

e

i t

i t

0

0

0

1 e

n 0

n 0

iN t

iN t

iN t

exp

2

exp

2

exp

2

E Re e

i t

0

i t

i t

N t

exp

exp

exp

2

2

2

Re

sin(N t / 2)

e

i t ( N 1) t / 2

E0 Re

sin(N t / 2)

cos( t)

,

sin(t / 2)

sin(t / 2)

(1.145)

где < > = + (N – 1)/2 средняя частота волнового пакета.

Принимая во внимание, что N = – полная ширина частот волнового пакета, выражение (1.145) можно представить в виде

E(t) E0

sin(t / 2) sin(t / 2N )

cos( t)

.

(1.146)

E

Ðèñ. 2

t

Р и с. 2.13
В большинстве случаев, представляющих практический интерес,	N >>1 и поэтому в

течение многих периодов изменения аргумента t/2 у синуса в числителе формулы аргумент у синуса в знаменателе формулы остаeтся малым ( t/ 2N <<1), так что

можно считать sin[ t /(2N)] t /(2N).

Поэтому (1.146) можно записать в виде

61

E(t) E0 N

sin(t / 2)t / 2

cos t

.

(1.147)

График этой функции приведeн на рис. 2.13.

Огибающая пунктирная кривая представляет изменяющуюся амплитуду колебаний в волновом пакете, основная частота которых < > . Энергия такого волнового пакета сосредоточена в сравнительно небольшом интервале частот. Поэтому волновые пакеты называются также импульсами. Мы будем использовать оба эти названия в зависимости от обстоятельств. Максимальная амплитуда образуется в точке t = 0, когда все колебания складываются в одинаковой фазе. Через промежуток времени t, определяемый условием

	t
	2

(1.148)

амплитуда колебаний обращается в нуль. Это время принимается за меру длительности центрального импульса. Поэтому между частотным интервалом слагаемых колебаний = 2 и временной продолжительностью импульса существует соотношение

t 1,

(1.149)

где использован знак приблизительного равенства, что учитывает произвольность в определении продолжительности импульса. Такое соотношение уже было получено при анализе спектрального состава прямоугольного импульса. Ввиду универсальности соотношения (1.149) его часто называют теоремой о ширине частотной полосы.

2.5Модулированные волны

Гармоническое колебание, описывающее волну, характеризуется амплитудой, частотой и фазой. Изменение этих параметров в процессе колебания называется модуляцией, а волны, получающиеся в процессе модуляции, называются модулированными.

Модуляция амплитуды

Колебание с модулированной амплитудой может быть представлено в виде

f (t) [a0 a(t)]cos t ,	(1.150)
где a(t) описывает модуляцию; – частота гармонического колебания;	a(t) A0 .
Прежде всего, рассмотрим случай, когда а(t) является гармонической функцией
a(t) a0 cos t	(1.151)
с частотой <<. Тогда равенство (1.150) примет вид:
f (t) (A0 a0 cos t)cos t .	(1.152)
График этого колебания изображeн на рис. 2.14.

62