Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

4.5Дифракция Фраунгофера

Как отмечалось, под дифракцией света понимают любое отклонение от прямолинейного распространения света, если оно не может быть истолковано как результат отражения, преломления или искривления световых волн в средах с непрерывно меняющимся показателем преломления. Дифракция приводит к огибанию световыми волнами препятствий и проникновению света в область геометрической тени.

Явления дифракции для своего истолкования и количественного рассмотрения не требуют никаких новых принципов. Любая дифракционная задача сводится к нахождению решения уравнений Максвелла, удовлетворяющего соответствующим граничным условиям. Однако проблемы, возникающие при изучении дифракционных явлений, относятся к наиболее трудным в оптике, и их редко удается довести до строгого решения. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, из-за математических трудностей приходится прибегать к приближенному методу, предложенному Френелем, который был рассмотрен раньше.

Наибольший практический интерес представляют дифракционные явления, наблюдаемые при падении на экран (или на отверстие в экране) параллельного пучка света. В результате дифракции пучок утрачивает параллельность, т.е. появляется свет, распространяющийся в направлениях, отличных от первоначального. Распределение его интенсивности на очень большом (в пределе - бесконечно большом) расстоянии от экрана соответствует дифракции Фраунгофера. Волны, возникающие в результате ограничения фронта падающей плоской волны при прохождении сквозь отверстие в экране, называют дифрагировавшими, а нормали к их волновым поверхностям – дифрагировавшими лучами. Они не существуют в рамках геометрической оптики. Возникновение дифрагировавших волн при прохождении через отверстие означает, что волна с ограниченной площадью поперечного сечения не может быть строго плоской. Разложение волны с ограниченным фронтом на сумму плоских волн (т.е. пространственное разложение Фурье) содержит слагаемые с волновыми векторами различных направлений. Эти слагаемые и соответствуют дифрагировавшим волнам.

Р и с. 4.21

Практически дифракцию Фраунгофера наблюдают не в "бесконечности", а в фокальной плоскости объектива или с помощью зрительной трубы, установленной на

123

бесконечность. Схема опыта показана на рис. 4.21. Падающий на экран параллельный пучок можно получить, если точечный источник S поместить в фокус линзы L1 (формирующая параллельный пучок линза L1 называется коллиматором). Каждый дифрагированный пучок параллельных лучей соберётся линзой L2 в маленькое пятнышко. Такие пятнышки – максимумы интенсивности – расположатся вдоль прямой, перпендикулярной к оси и лежащей в фокальной плоскости линзы L2. В этой плоскости и надо поместить экран для наблюдения.

Дифракция Фраунгофера на щели

Рассмотрим сначала простой, но практически важный случай, когда отверстие в экране имеет вид узкой длинной щели с параллельными краями (рис. 4.22). Будем считать, что размер волновой поверхности в направлении вдоль щели ограничен только диаметром объектива, и если вносимую им дополнительную дифракцию не принимать во внимание, то волны дифрагируют только в направлениях, перпендикулярных щели.

Р и с. 4.22

Распределение интенсивности в дифракционной картине можно найти с помощью принципа Гюйгенса-Френеля. Задача состоит в определении Ep в любой

точке Р за экраном. При том под E будем понимать любую из компонент векторов E

или H электромагнитного поля световой волны. Проведем мысленно поверхность, закрывающую отверстие в экране и ограниченную краями отверстия. Разделим эту поверхность на элементарные участки, малые по сравнению с размерами отверстия, но большие по сравнению с длиной волны. Эти элементарные участки представим в виде узких длинных полосок, параллельных краям щели. Если ширина полосок одинакова, то и площади их будут равными. Можно считать, что каждый из этих участков сам становится источником световой волны, распространяющейся во всех направлениях.

Напряженность, создаваемая элементарным участком в точке наблюдения Р, пропорциональна площади этого участка и напряженности на самом участке, которая создается первичным источником. Надо заметить, что при приближенном решении этой задачи по методу Френеля делается предположение, что напряженность в точках отверстия такова, какой она была бы в случае свободного распространения волны от источника при отсутствии какого бы то ни было экрана, и что в точках, находящихся непосредственно за экраном, напряженность поля равна нулю.

124

Так как ширина и площадь всех элементарных участков одинакова и все участки имеют одинаковый наклон к направлению наблюдения, то амплитуды вторичных волн равны. При вычислении вклада некоторого участка в результирующее поле E(p) нужно учесть изменение фазы вторичной волны при ее распространении от элемента к точке наблюдения. Соотношение фаз вторичных волн в точке Р будет таким же, как и в любой плоскости, перпендикулярной их направлению до линзы, например, в плоскости AB (рис. 4.22). Из рис. видно, что при нормальном падении света на щель начальные фазы всех вторичных источников одинаковы, так как вспомогательная поверхность, которой мы мысленно закрыли щель, совпадает с фронтом падающей волны.

С учетом всего сказанного рассчитаем полное поле в точке Р как суперпозицию полей вторичных волн от всех элементов поверхности, закрывающей щель в экране. Обозначим ширину всей щели b, а ширину каждого элементарного участка dх, тогда b = Ndx, где N – число элементарных участков. Направление наблюдения зададим углом . Запишем вторичные волны от всех элементов щели. Пусть для самого крайнего элемента, расположенного вблизи края щели (точки А), имеем:

dE1 A0e	i t	,

где A0 – амплитуда вторичных волн. Вторичная волна от следующего элемента будет иметь такую же амплитуду, но она будет отставать по фазе по отношению к предыдущей волне на некоторую величину 0, т.е.

				dE2			i( t				)	.
					A0e					0
Аналогично для третьего элемента
				dE3	A0e		i( t 2				)	.
										0
и для N-ного
				dEN			i( t N						)	.
					A0e						0
Результат суперпозиции всех вторичных волн представится формулой:
E(P) dE dE		... dE		A e		i t		e	i 0						... e	i( N 1) 0		.
			N			1
1	2			0

(1.289)

В скобках получилась геометрическая прогрессия, знаменатель которой Формулу (1.289) перепишем в виде:

E

dE dE ... dE

A e

i t

1 e

i

0

... e

i( N 1)

0

.

p

1

2

N

0

Из	формулы (1.290) следует, что амплитуда результирующего
точке Р,	обусловленного вторичными волнами от всей щели
определяется выражением:
		sin N	2
	E0 ( ) A0	0		.
		sin 0	2

q e i 0 .

(1.290)

колебания в шириной b,

(1.291)

Преобразуем это выражение. Понятно, что N 0 = , где – сдвиг фаз вторичных волн от крайних элементов щели. Его можно представить, согласно рис. 4.22, так:

	k	2	b sin .	(1.292)

Если число элементов N, на которые мы разбили щель, очень велико, то

sin		0	sin				,
	2			2N		2N

125

Тогда формула (1.291) перепишется так:

E0 ( ) A0N		sin		2	E0		sinU	,
			2				U
где E0 = A0N амплитуда суммарного возмущения при
падающей волны а
U			kbsin				bsin
	2			2

Тогда зависимость интенсивности дифрагировавшего выражением:

(1.293)

= 0, т.е. по направлению

. (1.294)

света от определяется

I ( ) E		2
0

I	sinU
0		U

	2

,

(1.295)

где I0 – интенсивность света при = 0.

График распределения интенсивности по направлениям приведен на рис. 4.23.

В центре дифракционной картины интенсивность максимальна и равна		I0. При
U = m , где m = 1, 2, … интенсивность равна нулю. Направления	m	на эти
минимумы, как видно из (1.294), определяются условием
bsinm m .		(1.296)

Р и с. 4.23

Первый минимум дифракционной картины (m = ±1) соответствует направлению1, для которого sin 1 = /b. Это условие легко получить без всяких вычислений. Рассмотрим две одинаковые элементарные полоски, находящиеся на расстоянии b/2.

Вторичные волны от них, распространяющиеся под углом , имеют разность хода (b/2)sin. Если эта разность хода равна /2, т.е. sin = /b, то вторичные волны гасят одна другую в результате интерференции. Вся щель состоит из таких пар элементарных полосок, поэтому при sin =/b интенсивность дифрагировавшего света обращается в нуль.

Между минимумами интенсивности, определяемыми условием (1.296), находятся максимумы различных порядков. Их положение определяется уравнением tgU=U, имеющим корни: U0 = 0; U1 = 1,43 ; U2 = 2,46;… Практически можно считать, что максимумы находятся посередине между соседними минимумами, значения интенсивности в максимумах быстро убывают с увеличением порядка. Их отношения приближенно можно выразить в виде

1: 0,047 : 0,017 :	1: 2	2	: 2	2	:
		3		5

(1.297)

126

Таким образом, основная часть светового потока сосредоточена в центральной дифракционной полосе между минимумами порядков m = 1, т.е. в пределах углов –1< <1, где sin 1= /b. Угловая ширина максимумов уменьшается при увеличении ширины щели: если << 1, то 1= /b. Центральный максимум становится резче, первые минимумы придвигаются ближе к центру картины. При сужении щели картина расширяется, а ее яркость уменьшается. Когда b приближается к , центральный максимум охватывает все поле зрения; освещенность экрана уменьшается от центра к краям монотонно.

Если первичный источник точечный, то каждый дифрагированный под определенным углом пучок параллельных лучей соберется линзой в маленькое пятнышко. Такие пятнышки – максимумы и минимумы интенсивностей – расположатся вдоль прямой, перпендикулярной к оси щели и лежащей в фокальной плоскости линзы.

Если в качестве источника света взять светящуюся линию или узкую освещаемую щель, то каждая точка источника даст на экране описанную выше дифракционную картину. В результате наложения таких картин каждое дифракционное пятнышко вытянется в полоску – образуется система дифракционных полос.

Дифракция на двух щелях

Если в непрозрачном экране проделаны две идентичные параллельные щели, то они дадут одинаковые накладывающиеся друг на друга картины, вследствие чего интенсивность каждой точки экрана увеличилась бы вдвое. Такое сложение интенсивностей произойдёт только при некогерентном освещении обеих щелей. При когерентном же освещении необходимо принять во внимание взаимную интерференцию волн, дифрагировавших на обеих щелях, что приведёт к более сложному распределению интенсивностей на экране. Найдём это распределение.

Пусть обе щели имеют ширину b, разделены непрозрачным промежутком a, так что a + b = d. Очевидно, что дифракционные минимумы будут на прежних местах.

bsin m	(1.298)
,

где m = 1, 2, … Ибо те направления, по которым ни одна из щелей не посылает света, не получат его и при двух щелях. Кроме того, возможны направления, по которым когерентные колебания, посылаемые двумя щелями, взаимно гасят друг друга. В этом случае говорят об интерференционных минимумах. Такие направления определяются, как видно из рис. 4.24, условием

MP NM sin , 3 ,... ,

2 2

т.е.

d sin 2m 1 2 ,

где m = 0, 1, 2, …

Наоборот, в направлениях, определяемых из условий

d sin m ,

(1.299)

(1.300)

где m = 0, 1, 2, … действие одной щели усиливается действием другой, так что этим направлениям соответствуют главные интерференционные максимумы.

127

Р и с. 4.24

Как видно из формул (1.299) и (1.300), между двумя интерференционными максимумами расположится один интерференционный минимум; если b << d, то между дифракционными минимумами может расположиться значительное число интерференционных максимумов и минимумов.

Обозначим через E1 и E2 возмущения, создаваемые первой и второй щелями в направлении, заданном углом . Амплитуды этих возмущений, согласно сказанному

в начале параграфа, будут одинаковы и равны

	определяется разностью хода = dsin , так что
	k	2	d sin	.

E	( ) E	sinU
0	0	U

, а сдвиг фаз

(1.301)

Суммарное возмущение, создаваемое по этому направлению обеими щелями, можно представить так:

E E E

2

E

e

i t

E

e

i( t )

1

0

0

E0 ( )e

i t

1 e

i

(1.302)

2E ( ) cos

e

i t

2

Ae

i t

2

,

0

2

где

A 2E ( )cos

e i / 2

2E

sinU

cos

kd sin

e i / 2

0

2

0

U

2

– комплексная амплитуда суммарного возмущения. Для интенсивности получаем

		sin kbsin		2		2		kd sin
*	] 4I0					cos	2
I ( ) [ AA			kbsin 2
									2

 

.

(1.303)

Из анализа соотношения (1.303) вытекают условия образования дифракционных минимумов (1.298), интерференционных минимумов (1.299) и интерференционных максимумов (1.300).

128

Р и с. 4.25

На рис. 4.25 сплошная кривая даёт действительное распределение интенсивности согласно формуле (1.303). Пунктирная кривая соответствовала бы сложению интенсивностей от обеих щелей, если бы обе щели освещались некогерентными между собой световыми пучками. Общие световые потоки сквозь щели, определяемые площадями, заключающиеся между этими кривыми и осью абсцисс, должны быть одинаковыми.

Угловая ширина основной дифракционной картины по-прежнему равна 2/b; так как и для двух щелей почти весь свет сосредоточен в области центрального дифракционного максимума.

Дифракционная решётка

Исследование дифракции на двух щелях показывает, что в этом случае дифракционные максимумы становятся более узкими, чем в случае одной щели. Увеличение числа щелей делает это явление ещё более отчётливым.

Рассмотрим сейчас правильную структуру, состоящую из множества (до сотен тысяч) одинаковых равноотстоящих параллельных щелей, сделанных в непрозрачном экране. Такая структура называется дифракционной решёткой. Пусть дифракционная решётка имеет N щелей, ширина каждой из них b, промежуток между щелями a, период решётки d = a + b. В решётке осуществляется многолучевая интерференция дифрагированных пучков света, исходящих от щелей решётки при ее когерентном освещении. Дифракционная картина наблюдается по методу Фраунгофера, т.е. либо на бесконечно удалённом экране, либо в фокальной плоскости линзы, поставленной на пути дифрагированного света.

Найдем в этой случае распределение интенсивности по углам дифракции . Предположим, что на решетку перпендикулярно к ее поверхности падает плоская монохроматическая волна (рис. 4.26).

Разность хода между дифрагированными волнами, исходящими из соседних щелей решетки, будет = dsin , а разность фаз – = k = kdsin, где – угол дифракции. Обозначим, как и раньше, через E1, возмущение, создаваемое в точке наблюдения первой щелью. Оно определяется формулой

E1 E0 sinU ei t . U

129

Возмущения, создаваемые

E	E e
2	1

Р и с. 4.26

остальными щелями, представятся выражениями:

i	, E3	E1e	2i	, ...,	EN E1e	( N 1)i	.

Полное поле, создаваемое по этому направлению всеми щелями, представится суммой

E E

E

2

... E

N

E (1 e i

... e ( N 1)i )

1

1

1 e

iN

sin N

2

i( N 1)

E

E

e

2

i

2

1

1

e

1

sin

sin

N

2

( N 1)

sinU

2

E0

sin

2

e

.

U

Выделим комплексную амплитуду А суммарного возмущения

		sinU sin(N / 2)				i( N 1)
	A E0				e	2	.
		U		sin( / 2)

Определим искомую интенсивность дифрагированного света как

(1.304)

(1.305)

			sinU			2	sin N				2			2
*
I [ A A	]	I0 U							sin		2			,
где
U			kb sin	,				kd sin		.
		2							2

(1.306)

Первых два сомножителя в (1.306) описывают дифракцию	на одной щели
(рис. 4.27а). Проанализировав его, получим условие главных	дифракционных
минимумов:
bsin m , m = 1, 2, ... .	(1.307)

130

Третий сомножитель в (1.306) определяет интерференцию параллельных пучков без учета дифракции (рис. 4.27б). Из него следуют условия главных максимумов

d sin m

(1.308)

и дополнительных интерференционных минимумов:

	d sin m	P	,	(1.309)
		N

m = 0, 1, 2, …; P = 1, 2, …, N – при каждом значении m)

График распределения пронормированной к единице относительной интенсивности, определяемой соотношением (1.306), представлен на рис. 4.27в. Формулы (1.306) – (1.309) – основные в теории дифракционной решетки.

Р и с. 4.27

Условие (1.308) определяет направления, в которых излучения от всех щелей решетки приходят в точку наблюдения в одинаковых фазах, а поэтому усиливают

131

друг друга. По этим направлениям получаются максимумы, интенсивность которых в N2 раз превосходит интенсивность волны от одной щели в том же направлении. Целое число m называют порядком главного максимума или порядком спектра. Из условия (1.308) видно, что угол , под которым наблюдается определенный максимум, зависит не только от параметра решетки, но и от длины волны света. Это позволяет использовать дифракционную решетку для разложения излучения на монохроматические составляющие, т.е. в спектр.

Когда dsin = m,

/2 = m и множитель

sin N		2		2
	sin	2

принимает

неопределённый вид. Раскрыв неопределенность, получим на основе (1.306) интенсивность m-го максимума:

Im I0N	2	sinU 2			(1.310)
				.
		U
Подставив sin = (m)/d в U = (bsin )/, перепишем					(1.310) следующим

образом:

							sin	2	m b d
I		I	N	2	d	2							.
	m								2	2		2
		0									m
										b

Анализ этой формулы приводит к следующим выводам:

(1.311)

1.Интенсивность в главных максимумах в N2 раз превосходит интенсивность, создаваемую по этим направлениям одной щелью.

2.Im ~ 1/m2 , т.е. с увеличением порядка максимума резко уменьшается его интенсивность.

3.Интенсивность в m-ом максимуме существенно зависит от отношения b/d. При (b/d)m= , где – целое число, выражение (1.311) обращается в нуль. т.к.

sin( )=0, т.е. интенсивность в этом максимуме равна нулю. В данном случае совпадают условия возникновения главного максимума интерференционной картины на N щелях и минимума дифракции на каждой щели. Так, например, при b/d = 1/3 выпадает каждый третий максимум в дифракционной картине, что и показано на рис. 4.27в.

Из выражения (1.306) следует, что между двумя главными максимумами

должно возникать (N – 1) интерференционных минимумов, когда sin(N/2) = 0, а sin( /2) 0, что и определяет условие минимумов (1.309). Между этими минимумами должны находится побочные, или дополнительные максимумы, в которых интенсивность света при достаточно большом N пренебрежимо мала по сравнению с интенсивностями главных максимумов.

Согласно формулам (1.308) и (1.309) угловое расстояние между любым главным максимумом и соседним минимумом определяется из требования, чтобы разность хода возросла на /N, т.е. (dsin ) = /N, откуда dcos = /N, так что= /(Ndcos). При не очень больших углах дифракции (cos 1) резкость главных максимумов не зависит от порядка спектра и равна

		.	(1.312)
	Nd

Из формулы (1.312) следует, что резкость главных максимумов тем больше, чем больше Nd, т.е. чем больше общая ширина решетки. При заданном периоде решетки

132