Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

изображение, формируемое линзой, не является точной копией самого объекта, в нем отсутствуют наиболее мелкие детали структуры объекта.

Высказанные соображения становятся особенно наглядными, если в качестве объекта, изображение которого строит линза, рассматривать дифракционную решетку. Предположим, что в пределы апертуры линзы попадают только нулевой и первый порядки дифракции на решетке. Как будет в этом случае выглядеть изображение решетки? Согласно уравнению дифракционной решетки

d sin m ,

(1.379)

где m = 0, 1, 2, …, информация о периоде решетки содержится в угле отклонения от оси первого дифракционного максимума, поэтому она будет передана через линзу и будет содержаться в изображении. В то же время, мелкие детали структуры решетки будут искажены, так как информация о них содержится во втором и более высоких порядках дифракции, которые не попадают на линзу. Поэтому, если исходная решетка является, например, прямоугольной, то в изображении резкие края щелей будут смазаны и будет сформирована решетка, близкая к синусоидальной.

Рассмотренный пример позволяет оценить предел разрешающей способности линзы и микроскопа. Минимальный период решетки d, который может быть разрешен с помощью линзы, соответствует случаю, когда дифракционный максимум первого порядка направлен точно на край линзы. Чем больше диаметр линзы и чем ближе линза к решетке, тем более мелкая решетка может быть разрешена. Однако если угол отклонения первого дифракционного максимума близок к /2, то этот максимум неизбежно выходит за пределы апертуры линзы и, следовательно, решетка не может быть разрешена. Таким образом, можно записать

max
	2
и, в силу (1.379)
dmin .		(1.380)

Итак, разрешающая способность линзы, во всяком случае, ограничена длиной световой волны. Это и есть принципиальный предел разрешения в оптике.

Электронный микроскоп

Радикальный путь увеличения разрешающей способности лежит уже за пределами оптики – это электронная микроскопия.

Известно, что при определенных условиях электрон и другие микрочастицы проявляют волновые свойства. Яркий пример подобного рода – дифракция электронов, наблюдавшаяся Дэвиссоном и Дкермером в 1927 г. Длина волны электрона, называемая де-бройлевской длиной волны, зависит от энергии, и уже при энергиях в несколько электрон-вольт становится на несколько порядков меньше длины волны видимого света. Возникла идея построить микроскоп, в котором вместо видимого света использовались бы электронные волны. Поскольку электроны имеют очень малую длину волны, такой микроскоп мог бы иметь чрезвычайно высокую разрешающую способность. Реализация этой идеи и привела к созданию электронного микроскопа.

Оценим разрешающую способность электронного микроскопа. Будем считать, что как и в случае оптического микроскопа, она определяется формулой dmin = , где под следует теперь понимать де-бройлевскую длину волны электрона.

153

Рассмотрим для простоты нерелятивистский электрон, т.е. электрон, скорость которого значительно меньше скорости света,

c 31010 смс.

В этом случае импульс P и кинетическая энергия W электрона выражаются формулами

	P m				,
			m			2
	W					,
				2
а де-бройлевская длина волны
	h					h	,
	m					2mW
где h – постоянная Планка, m – масса				электрона, – его скорость. Сделаем
численную оценку. Полагая W = 100 эВ получим

		2W
		m

0,59 109

см/с и 1, 2 10 8 см 1, 2 A .

Таким образом, согласно нашей оценке, разрешающая способность электронного микроскопа на 3-4 порядка выше, нем у оптического микроскопа.

На практике современные электронные микроскопы позволяют достичь разрешающей способности порядка (1-10)Å при энергиях электронов (104-105) эВ. При микроскопии твёрдых тел это дает возможность наблюдать группы атомов или даже отдельные атомы.

x

f

Р и с. 4.45 К оценке разрешающей способности телескопа

Телескоп

Телескоп предназначен для наблюдения уделенных объектов – звезд, планет, астероидов и т.п. Одной из основных характеристик телескопа является разрешающая способность, под которой понимается минимальный угловой размер объекта, различимого в телескоп. Как и в случае микроскопа, принципиальное ограничение на величину разрешающей способности накладывает дифракция.

Оценим разрешающую способность телескопа. Предположим, что на входную линзу телескопа падает свет от двух удаленных точечных источников (звезд). Найдем величину угла между направлениями на звезды, при котором звезды еще различимы.

Пусть свет от одной звезда падает на линзу по нормали, а от другой – под некоторым углом . Ввиду большого расстояния до звезд, свет от каждой из них представляет собой почти параллельный пучок.

В приближении геометрической оптики параллельный пучок света, падающий на линзу, фокусируется ею в точку, расположенную в фокальной плоскости.

154

Дифракция приводит к тому, что пятно фокусировки для каждого из пучков имеет конечный размер. Поэтому при достаточно малых угла изображения звезд начнут накладываться одно на другое и уже не будут разрешаться как отдельные элементы.

Как показано ранее, размер фокального пятна определяется формулой

d f , D

где f – фокусное расстояние, D – апертура линзы, – длина световой волны. Из рис. 4.45. видно, что условие разрешения звезд есть

xmin

где

xmin Отсюда

min



d ,

	f
		min
		,
	D

.

что совпадает с оценкой, полученной ранее.

Итак, разрешающая способность телескопа определяется формулой min = /D, где – длина световой волны, D – апертура телескопа. Например, зеленчукский

телескоп, главное зеркало которого	имеет		диаметр D = 6 м, характеризуется
разрешающей способностью порядка min	10	7	рад.

4.9Физические принципы голографии

Вобычной фотографии на фотопластинке фиксируется только часть информации о световом поле, а именно пространственное распределение интенсивности света. Весьма важная для оптики информация о пространственном распределении фазы поля полностью теряется. Возникает вопрос: нельзя ли так построить процесс записи светового поля, чтобы сохранить информацию и об амплитуде и о фазе? Оказывается, такая возможность существует. Соответствующий способ записи волновых полей получил название голография.

Основная идея голографии весьма проста. Она заключается в том, чтобы фотографировать не само световое поле, идущее от объекта, а картину интерференции этого поля с когерентной опорной волной. Картина интерференции предметной и опорной волн, записанная на фотопластинку, называется голограммой. Так как вид интерференционной картины зависит не только от амплитуд, но и от фаз интерферирующих полей, на голограмме оказывается записанной вся информация о предметной волне – и амплитуда, и фаза поля. Для восстановления предметной волны достаточно просветить голограмму опорной волной.

Из сказанного ясно, что для голографии существенна когерентность опорной волны, а также волны, освещающей объект, именно поэтому первые хорошие голограммы были получены лишь после создания лазера (Э. Лейт, Ю. Упатниекс,

1964), хотя основные идеи голографии были высказаны значительно раньше

(Д. Габор, 1948).

Схема записи и восстановления светового поля в голографии показана на рис. 4.46.

Для получения голограммы когерентный лазерный пучок делится на две части. Один пучок ("сигнальный") освещает объект, а другой пучок ("опорный") падает

155

непосредственно на фотопластинку. Свет, отраженный объектом, образует "объектный" пучок, который также направляется на фотопластинку, где интерферирует с опорной волной. Картина интерференции записывается на фотопластинку, и после проявления образует голограмму. Для восстановления светового поля, испускаемого объектом, голограмму просвечивают опорным пучком. Пучок дифрагирует на голограмме, в результате чего возникают дифрагированные волны, одна из которых точно повторяет по своей структуре объектную волну. Так происходит восстановление светового поля. Покажем теперь с помощью формул, как в голографии записываются и восстанавливаются световые поля.

Запись светового поля

Обозначим комплексную амплитуду предметной волны n, а опорной волны 0. Выделяя действительные амплитуды и фазы этих волн и считая опорную волну плоской, можно написать:

	n		n	x, y exp i	n	x, y ,

0 0 exp ik0 r .

Комплексная амплитуда поля в плоскости голограммы есть:

					n 0						,
а распределение интенсивности:															0
I x, y	c 0		2		c 0			2			2
								n		0			0
	2				2							n		n

.

(1.381)

(1.382)

(1.383)

Это распределение фиксируется на фотопластинке. Важно, что в этом выражении есть слагаемые, содержащие информацию о фазе предметной волны.

Восстановление поля

Для восстановления поля голограмму освещают опорной волной. При этом возникает несколько световых волн, одна из которых в точности повторяет поле предметной волны. Покажем это.

При освещении голограммы пробной волной на ее задней поверхности образуется поле с комплексной амплитудой.

1 0T x, y ,

(1.384)

где T(x,y) – коэффициент пропускания света голограммой. Запишем эту величину в виде

T x, y 1 D

где D x, y I

x, y x, y

.

,

(1.385)

(1.386)

D (x, y) – функция, пропорциональная распределению интенсивности излучения при экспонировании фотопластинки. Коэффициент зависит от чувствительности пластинки. Подставив (1.383), (1.385), (1.386) в (1.384) получим:

2	0	2	0	0	2	2
1 1 n						n 0 ,	(1.387)

156

где

	c
0
2

.

Формула (1.387) обосновывает высказанное выше утверждение. Согласно этой формуле, одна из волн, возникающих при дифракции опорной волны на голограмме, а именно волна с амплитудой, пропорциональной n точно повторяет волновое поле, исходившее от объекта съемки при экспонировании голограммы. Эта волна дает мнимое изображение объекта. Наблюдение мнимого изображения, как показано на рис. 4.46, создает полную иллюзию наблюдения реального объекта, который кажется находящимся за голограммой. В частности, меняя положение глаз относительно голограммы можно осмотреть "объект" с разных сторон и даже немного заглянуть за него – точно так же, как если бы мы наблюдали не голографическое изображение, а сам реальный объект.

Другая волна, амплитуда которой пропорциональна

n

, создаёт действительное

изображение объекта, которое можно наблюдать на экране. Кроме того, как видно из формулы (1.387), при дифракции опорной волны на голограмме возникают и другие волны, в частности проходящая в прямом направлении опорная волна. Эти волны создают помехи при наблюдении. На практике, однако, удается построить схемы записи и восстановления светового поля таким образом, что помехи не играют существенной роли.

Обратим внимание на то, что вид голограммы не имеет ничего общего с изображением снятого на ней объекта. При обычном некогерентном освещении голограмма выглядит как почти однотонная мутноватая пластинка. Однако в ней скрыто прекрасное голографическое изображение некоторого объекта. Это изображение проявляется при освещении голограммы когерентным лазерным пучком.

Классификация голограмм

Голограмма отображает практически все характеристики волновых полей – амплитуду, фазу, спектральный состав, состояние поляризации, изменение волновых полей во времени, а также свойства волновых полей и сред, с которыми эти поля взаимодействуют.

Внутри голографии определился ряд различных направлений ее развития, каждое из которых соответствует определенной разновидности голограмм и её свойствам.

Свойства голограмм весьма разносторонни и вовсе не сводятся к одной только способности записывать и восстанавливать волновые поля.

В зависимости от геометрической конфигурации светочувствительной среды, в которой зарегистрирована интерференционная картина, различают двумерные и трехмерные голограммы (объёмные). В первом случае толщина фотоматериала h много меньше пространственного периода d регистрируемой интерференционной картины. Отображающие свойства двумерной голограммы ограничены. В частности, она неоднозначно восстанавливает волновое поле излучения объекта: кроме истинной объектной волны и соответствующего ей истинного изображения объекта в этом случае восстанавливается ложная, так называемая сопряженная волна и соответствующее ей ложное сопряженное изображение. Источник света, с помощью которого восстанавливается двумерная голограмма, должен быть строго

157

монохроматичным, поскольку (в силу отсутствия селективных свойств) двумерная голограмма восстановит все соответствующие разным изображения, и, как следствие этого, результирующее изображение будет сильно размыто. Двумерные голограммы используются при решении задач радио-, акустической и цифровой голографии, при голографическом распознавании образцов, а также в некоторых других случаях.

Трехмерная голограмма, у которой толщина h много больше d, представляет собой наиболее общий случай голографической записи. Она однозначно восстанавливает волновое поле объекта. Особенностью такой голограммы является также способность воспроизводить не только фазу и амплитуду записанного на ней излучения, но и его спектральный состав. Если такую голограмму восстановить источником излучения со сплошным спектром, то она сама выберет из сплошного спектра те составляющие, которые участвовали в ее записи. Трехмерность записи особенно выявляется в оптическом диапазоне спектра, когда длина волны регистрируемого на голограмме излучения, как правило, намного меньше толщины светочувствительного материала.

Чтобы показать, как геометрия получения голограммы влияет на её дифракционные свойства, рассмотрим интерференцию сферической волны, исходящей из точечного источника S, находящегося на определенном расстоянии от регистрирующей среды, и опорной плоской волны, распространяющейся сверху вниз, как показано на рис. 4.47. Точечный источник представляет собой элементарный объект, а сферическая волна, исходящая из него, – предметную волну. Заметим попутно, что более сложный объект можно рассматривать как совокупность элементарных точечных источников, свет от каждого из них интерферирует с опорной волной.

4 h

3

S 2

1

Р и с. 4.47

На рис. 4.47 представлено одно из поперечных сечений семейства поверхностей максимальной интенсивности, образующихся при интерференции плоской опорной волны и предметной волны от точечного источника. В нашем случае следами поверхностей являются параболы.

158

На рисунке обозначены некоторые характерные положения пластинки при регистрации голограммы. Габор, не имевший в своем распоряжении лазера и вынужденный максимально использовать свет от источников с низкой когерентностью при получении своих голограмм помещал пластинку в положение 1. Здесь направление света от точки S и направление опорной волны почти коллинеарны, поэтому полученные таким образом голограммы были названы голограммами с осевым опорным пучком, или осевыми голограммами. Разность хода предметной и опорной волн в этом случае минимальна, это позволяет использовать источники с низкой когерентностью. Относительно большое расстояние между соседними поверхностями максимумов снижает требования к разрешающей способности регистрирующей среды.

Лейт и Упатниекс получили внеосевые голограммы с таким взаимным расположением пучков, которое эквивалентно помещению голографической пластинки в положение 2.

Благодаря использованию лазерного света в их установке разность хода в предметном и опорном пучках могла иметь большую величину. Такое расположение позволяет преодолеть трудности, которые возникают при осевых голограммах, а большая когерентность лазерного света позволяет восстанавливать трехмерные изображения. Именно этот результат привлек внимание к голографии и способствовал ее возрождению.

В положении 2 среднее направление света от точечного источника образует острый угол с направлением опорной волны. Если толщина регистрирующей среды мала по сравнению с расстоянием между поверхностями максимумов, то голограмма, полученная в этом положении, действует как двумерная дифракционная решетка. Падающий луч может в этом случае взаимодействовать только с одной поверхностью при прохождении через среду. Следовательно, голограмма представляет собой систему линий на поверхности. То же самое справедливо и для габровских осевых голограмм.

Для голограмм получаемых в положении 3, угол между средним направлением света от точечного источника и направлением плоской волны составляет приблизительно 90° и расстояние между соседними поверхностями интерференционных максимумов имеет меньшую величину. Если толщина голограммы больше этого расстояния, то регистрирующую пластинку можно рассматривать как объемную дифракционную решетку. Такую решетку можно представить как ряд частично отражающих плоскостей, селективный отклик которых на падающий свет соответствует закону Брэгга. Голограммы, зарегистрированные в положении 3, получили название брэгговских. На рис. 4.48 показана (в разрезе) объемная дифракционная решетка, содержащая периодически расположенные рассеивающие (отражающие) плоскости, освещенные плоской волной.

	A			C
	q	B		q
A'	D		E	d
		B'

159

Р и с. 4.48

Интенсивность имеет максимальную величину в том направлении, в котором происходит синфазное сложение световых волн, рассеянных последовательными плоскостями. Условие образования главного максимума дифрагированной плоской волны, которое имеет вид

		(1.388)
DB	B E 2d sin ,

называется законом Брэгга по имени ученого, получившего его для случая дифракции рентгеновских лучей от атомных плоскостей в кристалле. Брэгг предположил, что дифракция в кристалле обусловлена отражением падающей волны от кристаллических плоскостей. Максимум дифракции возникает, когда углы, образованные падающим и отраженным лучами с кристаллической плоскостью равны, как показано на рис. 4.48, причем угол удовлетворяет условию (1.388).

На рис. 4.49 представим в разрезе плоскую дифракционную решётку. Решётка может состоять из ряда периодически расположенных прозрачных и непрозрачных линий на экране. Для плоской волны, падающей на решетку, условие синфазности дифрагированных пучков, ведущее к их взаимному усилению, является уравнением

решетки
BC CD d sin sin ,	(1.389)

где d – постоянная решётки, – угол падения и – угол дифракции. При выполнении условия (1.389) под углом образуется главный максимум дифрагированной плоской волны.

	Решетка
		B
	A
		C
		D

Р и с. 4.49

Сравнение выражений (1.388) и (1.389) показывает, что условие (1.388) накладывает более жесткие условия на наблюдение максимума дифракции. Для объемной решетки выбор угла падения определяет и угол дифракции, и длину волны. Для плоских решеток это не так, поскольку уравнение (1.389) допускает произвольный выбор и угла падения и длины волны.

Селективные свойства брэгговской дифракции дали возможность получить первые голограммы, дающие многоцветное изображение.

Вположении 4 (рис. 4.47) плоская волна падает на голографическую пластинку

содной стороны, а сферическая – с другой. Период интерференционной картины

составляет примерно /2, и поверхности максимальной интенсивности почти параллельны поверхности голографической пластинки. Получение голограмм в этом положении впервые описал Денисюк. Если интерференционная картина регистрируется в галоидосеребряной эмульсии, то в ней образуется большое число близко расположенных частично отражающих серебряных плоскостей, которые действуют как отражательный интерференционный фильтр. Даже в эмульсии с

160

толщиной лишь 12-15 мкм может образоваться около 50-100 серебряных слоев. Поскольку эти слои подобны слоям, образующимся в методе цветной фотографии Липмана, и, поскольку дифракция на них происходит в соответствии с законом Брэгга, такие голограммы называют голограммами Липпмана-Брэгга-Денисюка. Их еще называют отражательными. Селективность такой голограммы позволяет восстанавливать предметную волну в белом свете,

Заметим, что голограммы характеризуются не только углом, который составляет предметный и опорный пучки при их регистрации. Существуют голограммы Фурье, фраунгоферовские голограммы, голограммы сфокусированных изображений и другие разновидности голограмм.

Практические приложения голографии

На основе динамических голографических преобразований создаются логические элементы ЭВМ с быстродействием до 10–12 с, системы оперативной памяти, управляемые транспаранты, оптические реле, ответвители и другие устройства оптоэлектроники и интегральной оптики, так называемые голографические лазеры (квантовые усилители и генераторы, использующие накачку на частоте генерации), различные системы оптических корреляторов, служащих для голографического распознавания образов, приборы для исследования быстропеременных процессов и т.д.

Метод голографического распознавания образов и их идентификация основан на том, что если голограмму восстанавливать излучением зарегистрированного на ней объекта, то они в некотором приближении восстановят изображение точечного опорного источника. Так как незарегистрированные на голограмме объекты не восстановят изображения опорного источника, то появление точки

является сигналом того, что перед голограммой находится именно данный объект.

Заметим, что поскольку голография представляет собой общий метод записи и обработки информации, то практические приложения голографии очень разнообразны: с равным успехом она применяется в машиностроении, при исследовании плазмы, в медицине и т.п. Метод голографической интерферометрии позволяет измерять очень малые деформации деталей машин, поверхности человеческой кожи и т.д. В оптическом приборостроении широкое распространение получают голограммные оптические элементы (линзы, решетки и т.д.).

В случае голограммных дифракционных решеток, например, на голограмме так же записывается точка, а в качестве светочувствительной среды используется очень тонкий слой фоторезиста. Образующаяся при этом голограмма двумерна и в ней полностью отсутствует спектральная селективность. При реконструкции голограммы точечным источником, обладающим сложным спектральным составом, изображения точек на всех длинах волн восстанавливаются одновременно так, что результирующее изображение размазывается в спектр. Такие решетки по сравнению с нарезными обладают значительно меньшим уровнем рассеянного света, у них отсутствуют ошибки шага и поэтому не возникают так называемые «духи». Используя при записи волновой фронт сложной формы, у таких решеток можно скорректировать аберрации сформированного ими изображения спектра.

161

Следует упомянуть также об изобразительных голограммах, которые воспроизводят объемные изображения различных предметов искусств. Основное требование – возможность восстановления изображения обычным некогерентным источником излучения (например, лампой накаливания). Поэтому для изобразительной голограммы используются либо трехмерные отражательные либо так называемые радужные голограммы.

Голография используется для впечатывания специальных шифрующих рисунков в денежные знаки и кредитные карточки, для получения изображений местности сквозь туман и облака методами радиоголографии и т.д.

Свойства голограмм

Некоторые свойства голограмм, например, способность голограмм формировать обращенную волну, спектральная селективность трехмерных голограмм уже упоминались. Можно еще отметить способность восстановленного голограммой изображения изменять свой масштаб и расположение при изменении положения и длины волны восстанавливающего источника, а так же при изменении масштаба голограмм. Этим свойством обладают в основном двумерные голограммы.

Способность трансформировать в «полезное» восстановленное изображение ту или иную часть энергии падающей на нее волны характеризуется так называемой дифракционной эффективностью голограммы – отношение мощности светового потока, идущего в восстановленное голограммой изображение, к мощности светового потока восстанавливающей волны. Значение этого параметра колеблется от 100% для фазовых трехмерных голограмм до единиц % у амплитудных и поляризационных.

Любой фрагмент голограммы обладает свойством воспроизводить всю картину. При этом, чем больше размер фрагмента, тем выше точность воспроизведения. Ограничения голограммы по площади приводит к уменьшению разрешения мелких деталей, а ограничение по глубине снижает точность цветового воспроизведения. При регистрации объекта на объемной голограмме излучение каждой из точек объекта можно рассматривать как опорное по отношению ко всем остальным его точкам. Если полученную таким способом голограмму восстановить излучением части точек зарегистрированного на ней объекта, то это излучение восстановит изображение всех точек объекта, по отношению к которым оно являлось опорным, т. е. изображение объекта в целом. Таким образом, трехмерная голограмма, которой предъявлен фрагмент записанного на ней изображения способна «вспомнить по ассоциации» весь объект в целом.

162