Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

Ðèñ. 2

S1

ñâåò	S

S2

ÝЭ

Р и с. 3.4

Для получения устойчивой во времени интерференционной картины необходимо, чтобы геометрия установки удовлетворяла определенным условиям, связанным со свойствами используемого излучения. Эти свойства, во-первых, задавались длиной когерентности, что связано с монохроматичностью источника.

Во-вторых – шириной когерентности.

Что представляет собой ширина когерентности рассмотрим на примере опыта Юнга, предположив, что излучение источника S монохроматично, но щель имеет конечную ширину. Расширение щели, как и уменьшение степени монохроматичности света, приводит к ухудшению (размытию) интерференционных полос и даже к полному их исчезновению.

Рис. 3			3		y	Рис. 4
				2
	S 1
			2	1
S	φ		1	0
			0	1
						I
	S 2		1
		ЭЭ		2
			2	3
	a	b	3
	Р и с. 3.5				Р и с. 3.6

Интерференционную картину на экране Э (рис.3.5 ) можно представить как наложение интерференционных картин от бесконечно узких щелей, на которые мысленно разобьем щель S. Пусть положение максимумов на экране от узкой щели, взятой около верхнего края щели S – точки 1 – таково, как отмечено сплошными отрезками на рис. 3.6. А максимумы от узкой щели, взятой около нижнего края щели S – точки 2 – будут смещены вверх, они отмечены пунктирными отрезками на этом же рисунке. Интервалы между этими максимумами заполнены максимумами от промежуточных узких щелей, расположенных между краями 1 и 2.

73

При увеличении ширины щели S расстояния между максимумами от ее крайних элементов будут увеличиваться, т.е. интервалы между соседними максимумами от одного края щели будут постепенно заполняться максимумами от остальных элементов щели. Если положить для простоты расстояния a = b = , тогда при ширине щели S, равной ширине интерференционной полосы x, интервал между соседними максимумами от края 1 будет целиком заполнен максимумами от остальных элементов щели, и интерференционные полосы исчезнут.

Но это явление можно объяснить и иначе, а именно, интерференционная картина исчезает вследствие того, что вторичные источники – щели S1 и S2 – становятся некогерентными. Это позволяет говорить о ширине когерентности (hcog) падающей на щели S1 и S2 световой волны от S, где отдельные участки волны в достаточной степени когерентны между собой.

Найдем формулу для вычисления hcog. В рассматриваемой схеме запишем условие, при котором щели S1 и S2 становятся некогерентными источниками:

hcog

d

,

(1.175)

где d – расстояние между щелями. Кроме того, выяснили, что картина исчезнет, когда ширина щели s x. Ширина полосы, как было показано, равна:

	x
		d

Из этих трех равенств получим:

h	d
cog		x

;

		s

,

(1.176)

(1.177)

где угловая ширина щели S относительно диафрагмы с двумя щелями (в опыте Юнга).

Если в качестве источника использовать непосредственно Солнце (его угловой размер 0,01 рад и 0,5 мкм), то ширина когерентности, согласно (1.177), hcog 0,05 мм. Поэтому для получения интерференционной картины от двух щелей с помощью такого излучателя расстояние между двумя щелями должно быть меньше 0,05 мм, что сделать практически невозможно.

Итак, для получения устойчивой интерференционной картины с использованием обычных (не лазерных) источников света необходимо исходную световую волну разделить подходящим способом хотя бы на две части, которые затем в области перекрытия и образуют систему полос, но лишь в том случае, если у

исходной световой волны:
1)	длина когерентности	cog превышает оптическую разность хода
	складываемых колебаний;
2)	ширина когерентности hcog превышает расстояние d между щелями.

Насколько большими должны быть эти величины, общепринятого соглашения нет. Это зависит от желаемого значения параметра видности.

Заметим также, что в разных интерференционных схемах под d надо понимать расстояния между некоторыми характерными лучами в месте расщепления исходной световой волны.

74

3.3Интерференционные схемы

Рассмотрим несколько интерференционных схем, отличающихся от схемы Юнга большей светосильностью.

Бипризма Френеля

В этой схеме для разделения исходной световой волны используют двойную призму Б (бипризму) с малым преломляющим углом (рис. 3.7). Источником света служит ярко освещенная узкая щель S, параллельная преломляющему ребру бипризмы.

Поскольку преломляющий угол бипризмы очень мал (порядка десятка угловых минут), то, как можно показать, все лучи отклоняются бипризмой на практически одинаковый угол n – 1 . В результате образуются две когерентные волны, как бы исходящие из мнимых источников S1 и S2 , лежащих в одной плоскости со щелью S.

		θ
2а				2а

			Р и с. 3.7
Ширину x интерференционных полос находим, используя формулу x							, и
						d
учитывая, что в данном случае = a + b и расстояние между изображениями S1							и S2
щели S равно d ≈ a 2 . Таким образом,
x				b	(1.178)
		1		.
	2			a

Видно, что ширина полос тем больше, чем больше расстояние b от бипризмы до экрана.

Если же на бипризму падает плоская волна, т.е. a , то

	x
		2

.

(1.179)

Откуда следует, что ширина полосы в этом случае не зависит от положения экрана (расстояния b).

При наблюдении в белом свете центральный максимум (нулевого порядка, m = 0) получается белым, остальные окрашенными, поскольку x .

Максимальное число N возможных полос интерференции на экране, где ширина зоны интерференции x = b2 (см. рис. 3.7), определяется условием Nmax = x/x. Отсюда следует с учетом (1.178), что

75

			4	2	ab
N	max				a b

.

(1.180)

Как было показано, условия, подобные рассмотренным нами сейчас для случая бипризмы Френеля, являются необходимыми, но еще не достаточными для получения интерференционной картины. Следует обязательно учесть роль ширины s

щели (она связана с шириной когерентности) и степень монохроматичности /

используемого света(которая связана с длиной когерентности). Оказывается для получения интерференционной картины с достаточно хорошей видностью нужно,

чтобы ширина s щели удовлетворяла условию

s

а степень монохроматичности – условию



		1		a	,
4				b

4 2ab

a b

,

(1.181)

(1.182)

где = (n – 1).

Следует обратить внимание на то, что для увеличения ширины x интерференционных полос нужно, согласно (1.178), увеличивать отношение b/a. А чтобы использовать более широкую щель S, т.е. добиться большей светосильности установки, надо, как видно из (1.181), наоборот – увеличивать обратное отношение а/b. Компромисс между этими двумя противоположными требованиями решается обычно экспериментально.

Бизеркала Френеля

Здесь две когерентные световые волны получают при отражении от двух зеркал, плоскости которых образуют между собой небольшой угол (рис. 3.8). Источник – узкая ярко освещенная щель S, параллельная линии пересечения зеркал. Отраженные от зеркал пучки падают на экран Э и там, где они перекрываются (зона интерференции), возникает интерференционная картина в виде полос, параллельных щели S. Отраженные от зеркал волны распространяются так, как если бы они исходили из мнимых источников S1 и S2, являющихся изображениями щели S.

	а
2а	2а

	Р и с. 3.8
Найдем	ширину x интерференционных полос на экране Э. Воспользуемся
формулой x	= /d. В нашем случае = a + b и d = 2a, поэтому

76

x

2

1

b a

 

.

(1.183)

Видно, что ширина полос растет с увеличением расстояния b. Если же на бизеркала падает плоская волна, т. е. a , то

	x
		2

,

(1.184)

значит ширина полос в этом случае не зависит от расстояния b – положения экрана. Число возможных полос на экране N = х/x, где х – ширина зоны

интерференции на экране, х = b2. Следовательно,

	4	2	ab
N			a b

.

(1.185)

Но чтобы все эти полосы были действительно видны (и достаточно хорошо), нужно удовлетворить определенным требованиям. Не вдаваясь в детали вывода, получим, что ширина s щели S должна быть

s			1	a
	4			b

а степень монохроматичности используемого света

,

(1.186)



	4	2	ab
			a b

.

(1.187)

Обращает на себя внимание то, что полученные формулы полностью идентичны с формулами для бипризмы Френеля.

Билинза Бийе

Обычную собирательную линзу разрезают пополам по диаметру, удаляя слой небольшой толщины, и обе половинки ее сдвигают (или немного раздвигают)» Такую систему и называют билинзой. Рассмотрим билинзу, у которой толщина удаленного слоя равна , а источник – ярко освещенная щель S расположен в плоскости, соединяющей обе половинки билинзы, и находится в ее фокальной плоскости на расстоянии f от билинзы (рис. 3.9). В этом случае оптический центр О1 верхней половинки 1 билинзы и оптический центр О2 нижней половинки 2 расположены как показано на рисунке, и расстояние между этими оптическими центрами равно толщине удаленного слоя, т. е. . Изобразив пунктиром побочные оптические оси, проходящие через щель S и оптические центры обеих половинок билинзы, можно построить ход лучей через эти половинки.

Таким образом, билинза расщепляет падающую на нее световую волну на две части, которые затем частично перекрываются (зона интерференции). На экране Э в области перекрывания волн должна возникнуть при определенных дополнительных условиях интерференционная картина.

77

Р и с. 3.9

Ширину x интерференционной полосы можно найти с помощью формулыx = /, для этой цели она более удобна. Имея в виду, что угол между направлениями распространения двух плоских волн, как видно из рис. 3.9, равен= /f, получим:

	x	f

.

(1.188)

Отсюда следует, что ширина полосы в данном случае не зависит от расстояния между экраном и билинзой.

Для подсчета числа полос на экране надо учесть, что зона интерференции здесь имеет вид вытянутого ромба, максимальная ширина хmax которого равна половине диаметра D билинзы: xmax = D/2. Поэтому важно знать, в каком месте этого "ромба" находится экран. Если он расположен ближе места, где х = xмакс (обычно так и бывает), то ширина зоны интерференции на экране будет х = b = b /f. И число N возможных полос интерференции окажется N = х/х, т.е.

N

b

f

2 2

.

(1.189)

Остается выяснить дополнительные условия, которым должны удовлетворять ширина s щели S и степень монохроматичности / используемого света, чтобы интерференционную картину можно было получить, причем с достаточно хорошей видностью. Эти условия мы найдем с помощью соотношений hcog 2d и m / . Выпишем их для нашего случая, когда щель находится в фокальной плоскости билинзы:

s		f	,
		b
	m				b 2		,
		max			2 f	2

(1.190)

(1.191)

где mmax – максимальный порядок интерференции на экране, отстоящем на расстояние b от билинзы (он равен отношению полуширины зоны интерференции к ширине интерференционной полосы).

В заключение следует заметить, что обзор интерференционных схем на этом, разумеется, не ограничивается. На трех рассмотренных схемах мы продемонстрировали общность подхода к расчету интерференционных картин, получаемых подоб-

ными схемами. Из существующих в настоящее время интерференционных схем

78

можно назвать еще и такие: зеркало Ллойда, интерферометр Рэлея, звездный интерферометр Майкельсона, интерферометр Маха-Цендера и др. Некоторые из них нашли широкое применение при проведении очень тонких и высокочувствительных измерений.

3.4Интерференция немонохроматического света

Понятие о временной когерентности

При количественном исследовании значения немонохроматичности света в интерференционных явлениях нужно найти, как кривая видности полос связана со спектральным распределением интенсивности источника. Пусть излучение немонохроматично, имеет непрерывный спектр, и спектральное распределение характеризуется некоторой функцией J1(k), так что J1(k)dk – интенсивность одного из интерферирующих пучков в интервале волновых чисел (k, k + dk). Распределение интенсивности в элементарной интерференционной картине, созданной излучением из этого спектрального интервала, получается из формулы (3.2) для монохроматических волн заменой I1=I2 на J1(k)dk, а полная интенсивность результирующей картины находится суммированием по всему спектру:

J 2 J1	k 1 cos k dk
0

.

(1.192)

Спектр волн, образующих линию излучения, сосредоточен обычно в очень малом интервале частот вблизи частоты с максимальной плотностью излучения даже тогда, когда уширение линии относительно велико. Поэтому J1(k) в (1.192) отлична от нуля лишь в узком интервале волновых чисел вблизи k0, соответствующего центру линии излучения.

Переходя в (1.192) к новой переменной интегрирования

k k k	0	,
k k k	0	,

можно пределы интегрирования по k' считать равными и записать (1.192) в виде

k

k

dk

J

2

J

1

k

0

1

cos

k

0

(1.193)

k

k

dk ,

2

J

1

cos

k

0

где

J

		.
k	J1 k0 k

С помощью тригонометрического соотношения

cos k				cos k
	0	k			cos k sin k		sin k
				0		0
преобразуем (1.193) к равенству:
		J Q C cos S sin ,					(1.194)

где

79

Q

C

S

k	0
					dk
2
			J k
2
			J k		cos k dk
2
			J k	sin k dk

.

(1.195)

Из формул (1.195) видно, что интенсивность изменяется в зависимости от по гармоническому закону. J() удобнее представить в виде:

J Q	C	2	S	2	cos

где определяется из равенства

,

(1.196)

cos			C				,
			2	S		2
	C
sin			S				.
		2		S	2
	C

(1.197)

Ясно, что максимумы и минимумы интенсивности достигаются соответственно при cos( + ) = 1 и cos( + ) = -1:

J		Q	C		2	S		2		,
	max
J		Q	C	2		S	2		.
	min

(1.198)

Чем больше разница между максимальной и минимальной интенсивностями, тем отчетливее интерференционная картина, и выше значение параметра видности. В общем случае для видности на основании (1.198) можно написать выражение

V	J	max	J	min		C2 S 2
							.	(1.199)
	Jmax J min					Q
Рассмотрим, например, прямоугольный спектральный контур с равномерным
распределением в интервале k		вблизи k0,				т.е. функция		J k const при

k / 2 k k / 2

и

J k 0

вне этого интервала (рис.3.10).

80

I(k')	Рис. 1
I	0

kk 2 2

		k'
	kk
	2
	2

Р и с. 3.10

		Q 2J k,
	Тогда	0
		S 0,

	2J	0	k			sin k	2
C			2sin		2J0 k			.
				2		k 2

Видность интерференционных полос в соответствии с (1.199) определяется модулем функции:

		k
	sin	2
V				.	(1.200)
	k
		2

Кривая видности, соответствующая равномерному распределению в спектральном интервале шириной k, приведена на рис. 3.11,а.

При = 0 видность максимальна: V = 1. С увеличением разности хода видность полос убывает и при

		2			2
	0					(1.201)
		k
	обращается в нуль. При 0 картина				появится опять, но видность ее
	интерференционных полос незначительна.

81

а)	V( )
	1
k		2
	k	k
б)	V( )
	1
k		2
	k	k

Р и с. 3.11

Обозначив mmax – максимальный порядок наблюдения, запишем = mmax или

m			0
max

Рис. 2

интерференции, доступный для

.

(1.202)

Введение разности хода между пучками эквивалентно задержке одного из них во времени, поэтому способность световых колебаний в одной точке исходного пучка к интерференции после его разделения на два пучка и последующего их соединения с некоторой разностью хода называется временной когерентностью. Максимальная разность хода, при которой возможна интерференция, называется длиной когерентности излучения cog, а соответствующее ей запаздывание – временем когерентности

	cog		cog	c

(1.203)

Если предположить, что cog 0, то с учетом

	cog	2	c cog	или

(1.201) – (1.203) можно записать

cog 1.

3.5Интерференция от протяженного источника

Понятие о пространственной когерентности

Если в предыдущем параграфе рассматривался точечный источник, но излучение его было не монохроматичным, то сейчас решим обратную задачу – источник монохроматичен, но имеет конечные размеры. Исследуем, как зависит качество интерференционной картины от размера источника.

Рассмотрим интерференцию, возникающую в результате выделения с помощью щелей S1 и S2 двух участков волнового фронта излучения от протяженного источника S. Его можно представить как сумму некогерентных между собой точечных источников.

Пусть u – текущая координата точки протяженного источника (рис. 3.12). Для простоты рассматриваем линейный источник. Как видно из рисунка, разность хода лучей от точки с координатой u до точки, характеризуемой координатой x равна:

82