Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

рассеивается другими; в-третьих, взаимодействие частиц друг с другом не позволяет считать их движения независимыми.

Л.И. Мандельштам показал, что для рассеяния света в сплошной среде принципиально необходимым является нарушение ее оптической однородности, при котором показатель преломления среды не постоянен, а меняется от точки к точке. В безграничной и полностью однородной среде волны, упруго рассеянные отдельными частицами по всем направлениям, не совпадающим с направлением первичной волны, взаимно "гасятся" в результате интерференции. Рассмотрим процесс рассеяния света в сплошной среде более подробно.

Электрическое поле распространяющейся в веществе световой волны раскачивает входящие в состав атомов и молекул электроны, и они становятся источниками вторичных сферических волн, излучаемых во все стороны. Поэтому распространение света в веществе должно, казалось бы, сопровождаться рассеянием света. Однако оказалось, что в прозрачной и однородной среде плоская волна распространяется в прямом направлении, не испытывая рассеяния в стороны. Такой результат сложения всех вторичных волн обусловлен, как уже отмечалось, их взаимной когерентностью.

Это можно пояснить следующим образом. Разделим мысленно всю среду на одинаковые элементы объема, содержащие достаточно много молекул, чтобы среду в них можно было рассматривать как сплошную, но размеры которых малы по сравнению с длиной волны. Монохроматическая световая волна индуцирует в этих элементарных объемах дипольные моменты, изменение которых во времени приводит к излучению когерентных вторичных волн. Если элементарные объемы содержат одинаковое число атомов-излучателей, что возможно только для идеально однородных сред, то вторичные волны будут иметь одинаковую амплитуду.

Рассмотрим один такой элемент объема V1 (рис. 5.9). В некотором направлении, составляющем угол с направлением исходной волны, он излучает вторичную волну определенной амплитуды и фазы. На плоскости АВ перпендикулярной направлению волны, всегда можно выделить другой элемент объема V2, который в том же направлении излучает вторичную волну той же амплитуды, но сдвинутую по фазе на . Эти волны при сложении полностью погасят друг друга.

		A	Ðèñ. 1
V			V
	4
1			3
V
			2
2
		B
		Р и с. 5.9

Из рис. 5.9 видно, что для этого расстояние между V1 и V2 должно быть равно /(2sin ). Так как все элементы объема на плоскости АВ можно разделить на такие

пары, то ясно, что рассеянных волн в направлении не будет.

193

Приведенное рассуждение справедливо для любых значений , кроме = 0 и= . Можно убедиться и в отсутствии волны, рассеянной назад. Для этого можно рассмотреть два элемента объема V1 и V3, отстоящих друг от друга на /4 вдоль направления волны. Колебания вторичного источника V3 отстают по фазе от V1 на четверть периода, поэтому вторичные волны, распространяющиеся назад, сдвинуты на /2 и при сложении гасят друг друга. Только для = 0 все вторичные волны складываются синфазно и образуют проходящую волну,

Следовательно, с макроскопической точки зрения рассеяние света обусловлено только оптическими неоднородностями среды. В этом случае среда феноменологически характеризуется изменяющимся показателем преломления. И по своему физическому содержанию рассеяние является дифракцией волны на неоднородностях среды.

Важным частным случаем оптической неоднородности является неоднородность оптических свойств среды, в которой распространяется звуковая волна. В этом случае в среде возникают гармоническое распределение оптической неоднородности в пространстве и гармоническое изменение оптических свойств во времени. В результате пространственной гармонической неоднородности оптических свойств наблюдается дифракция света на волне. А в результате гармонического изменения оптических свойств во времени в каждой точке среды наблюдается изменение частоты дифрагированного света. Это изменение частоты дифрагированного на звуковой волне света получило название явления Мандельштама-Бриллюэна.

Как уже отмечалось, в случае однородной среды рядом расположенные малые объемы среды становятся при воздействии электромагнитной волны источниками вторичных волн одинаковой интенсивности. Это означает, что они приобретают под действием переменного поля электромагнитной волны равные между собой электрические моменты, изменением которых во времени и вызывается вторичное излучение, но величина суммарного электрического момента определяет собой диэлектрическую проницаемость и показатель преломления среды. Таким образом, если показатель преломления для разных участков среды имеет одинаковое значение, то такая среда является оптически однородной. Отсюда следует, что при постоянном показателе преломления во всем объеме среды рассеяние света наблюдаться не будет.

Для нарушения оптической однородности среды необходимо нарушить постоянство показателя преломления. Показатель преломления, в свою очередь, связан с поляризуемостью молекул соотношением:

n	2

1

N

,

где N число молекул в единице объема. Поэтому для постоянства показателя преломления необходимо, чтобы для равных объемов (не очень малых по сравнению с длиной волны) произведение N , в разных местах среды было одинаково. Это означает, что если оптически однородная среда состоит из совершенно одинаковых молекул (коэффициент постоянен), то постоянным должно быть и N, т.е. плотность по всему объему среды постоянна. Если же среда состоит из разных молекул или групп молекул, то постоянство показателя преломления можно обеспечить соответствующим подбором величин N и .

194

Рассмотрим случай резкой неоднородности частицу диэлектрика с показателем преломления n в воздухе. Такие частицы, например сажи, в избытке имеются в воздушном бассейне городов, создавая промышленные дымы. Мельчайшие капельки воды, образующиеся при переохлаждении насыщенного парами воздуха, создают туманы. Такие среды называют оптически мутными. Рассеяние света в мутных средах на частицах постороннего вещества экспериментально впервые исследовал Тиндаль в 1869 г. Поэтому это явление получило название тиндалевского рассеяния или эффекта Тиндаля. Его теория была дана Рэлеем. Интенсивность света, рассеянного такими аэрозольными системами, как правило, представляет собой сумму интенсивностей рассеяния составляющими их одиночными частицами.

Характер рассеяния света одиночной частицей зависит от отношения между ее радиусом r (радиус неоднородности) и длиной волны. Для больших частиц при r падающий на разные участки поверхности частицы свет отражается от них под различными углами. Практически можно считать, что весь свет, падающий на переднюю поверхность крупной частицы, рассеивается в стороны.

Для частиц, размеры которых сравнимы с длиной волны, основным является рассеяние, возникающее в результате дифракции света на этих неоднородностях (дифракционное рассеяние). Рассеяние на очень малых частицах (r ) принято называть рэлеевским, так как теорию этого вида рассеяния впервые разработал Рэлей.

Рэлеевское рассеяние света

Оно является достаточно распространенным и имеет большое практическое применение.

В теории Рэлея рассеяние света рассматривается на малых сферических частицах. При этом считается, что такая сферическая частица является источником дипольного излучения. Соответствующие расчеты приводят к выражению для интенсивности рассеянного света:

	9		2			2		n		2	1		2
J J0				V									1 cos	,
		4		a	2			n		2	1		2
где J0 интенсивность падающего света;											длина волны;				n		относительный

показатель преломления, который предполагается малым; V – объем рассеивающей частицы; угол рассеяния, отсчитываемый от направления распространения падающего света; a – расстояние от центра диполя до точки наблюдения.

Приведенное выражение носит название формулы Рэлея. Анализ этой формулы приводит к следующим характерным особенностям рэлеевского рассеяния.

1. Из формулы Рэлея следует, что интенсивность рассеянного средой света обратно пропорциональна длине волны в четвертой степени. Этот результат носит название закона Рэлея и свидетельствует о том, что более короткие волны рассеиваются сильнее, чем более длинные. В этом можно убедиться из следующего опыта (рис. 5.10).

195

	Ðèñ. 2
S	B

Ï

A

Р и с. 5.10

Если пучок интенсивного белого света направить на прямоугольную кювету, наполненную мутной жидкостью (например, вода и несколько капель молока), то след светового пучка в такой кювете хорошо виден. При наблюдении в направлении A, т.е. перпендикулярно к первичному пучку, рассеянный свет имеет бледно-голубой оттенок, т.е. он относительно более богат короткими волнами, чем свет источника S. Благодаря интенсивному рассеянию коротковолновой части, прошедший нерассеянный пучок света (в направлении В) относительно обогащен длинноволновым излучением, и свет имеет красноватый оттенок.

Подобные эффекты наблюдаются при рассеянии света в атмосфере. Тиндаль высказал мысль, что синий цвет и поляризация неба определяются рассеянием солнечного света на мелких частицах пыли, всегда имеющихся в большом количестве в земной атмосфере. Если бы рассеяния света не было, то небо было бы совершенно черным. Именно таким видят небо космонавты. При наличии же атмосферы значительная доля прямого солнечного излучения рассеивается в стороны. Она тем больше, чем короче длина волны. Поэтому рассеянный свет обогащен короткими волнами, чем и объясняется синий цвет неба.

При восходе и заходе Солнца прямой солнечный свет проходит через большую толщу атмосферы, и при этом большая часть коротковолнового излучения теряется на рассеяние. Из прямого света до поверхности Земли доходят преимущественно красные лучи. Вот почему при восходе и заходе Солнце красное.

2. Из формулы Рэлея видно, что интенсивность света зависит от угла рассеяния. Изменение интенсивности симметрично относительно направления первичного пучка и линии, перпендикулярной к нему. Кривая, показывающая распределение интенсивности рассеянного света от угла рассеяния (индикатриса рассеяния) представлена на рис. 5.11. Она характерна для естественного света, пространственная индикатриса получается вращением кривой на рис. 5.11 вокруг оси BB'.

196

A	Ðèñ.3
B	B'’
	)
'	II()
A’
Р и с. 5.11

	z	Ðèñ.4
	A
B	O	y
		y
x
Р и с.	5.12

Поляризация рассеянного света

Пусть на рассеивающую частицу в направлении Oy (рис. 5.12) падает естественный свет. Его можно представить как сумму двух волн поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях, лежащих в плоскости zOх. Если проводить наблюдения рассеянного света в направлении Oх, то в силу поперечности световых волн в этом направлении пойдут волны, обусловленные лишь той составляющей электрического вектора, которая перпендикулярна к Oх. Таким образом, в свете, рассеянном под прямым углом к падающему, должны наблюдаться только те колебания электрического вектора, которые направлены вдоль Oz, т.е. свет должен быть полностью поляризован. Этот вывод теории Рэлея подтверждается на опыте.

При наблюдении под другим углом поляризация рассеянного света частична. Степень поляризации рассеянного света можно определить по известному соотношению:

PIz I y 100% ,

I z I y

где Iz и Iy интенсивности света, электрические колебания которого совершаются вдоль осей Oz и Oy соответственно. Степень поляризации рассеянного света при всех углах положительна, и ее максимальное значение равно 100% при = 90 .

Таковы основные выводы теории Рэлея. Теория рассеяния света крупными частицами гораздо сложнее. Теория рассеяния света проводящими частицами, когда их размеры сравнимы с длиной световой волны или больше, была развита в работах немецкого физика Ми. Ограничимся лишь качественными выводами из этой теории.

С увеличением размера частиц (точнее r/) появляется асимметрия рассеяния вперед и назад преобладает рассеяние вперед, однако без резких максимумов и минимумов (рис. 5.13). При дальнейшем увеличении размеров частиц (r > ) наблюдается преимущественное рассеяние вперед со многими вторичными максимумами, распределение которых зависит от размеров частиц (рис. 5.14).

Рассеянный свет становится частично поляризованным, характер поляризации зависит от оптических свойств частиц и от направления наблюдения.

Важной особенностью рассеяния Ми является его слабая зависимость от длины волны в случае частиц, линейные размеры которых много больше длины волны, что

197

существенно отличается от рассеяния Рэлея. Благодаря этому, например, облака являются белыми, а небо голубым.

Ðèñ.6

Ðèñ.5

Р и с. 5.13

Р и с. 5.14

Молекулярное рассеяние

При отсутствии инородных частиц оптическая неоднородность может возникнуть в силу статистической природы теплового движения частиц. Т.е. вследствие теплового движения молекулы распределены в пространстве не строго равномерно. В каждый момент времени имеются отклонения от равномерного распределения, т.е. число молекул в единице объема испытывает колебания возникают флуктуации плотности, благодаря которым среда становится мутной, и в ней может происходить рассеяние света. Поскольку "мутность" среды не обусловлена никакими посторонними частицами, то рассеяние света в такой среде получило название молекулярного рассеяния.

Так как линейные размеры объема, в котором происходит флуктуация числа частиц, значительно меньше длин волн видимого излучения, то молекулярное рассеяние называют также рэлеевским .

Впервые на рассеяние света тепловыми флуктуациями указал польский физик М. Смолуховский в 1908 г., который развил теорию молекулярного рассеяния света разреженными газами.

Молекулярное рассеяние света чистыми без примесей твердыми и жидкими средами отличается от нерезонансного рассеяния газами вследствие коллективного характера флуктуации показателя преломления, обусловленного флуктуацией плотности и температуры среды при наличии достаточно сильного взаимодействия между частицами. Теорию упругого рассеяния жидкостями развил в 1910 г. Эйнштейн, исходя из идей Смолуховсккого.

Основные выводы, вытекающие из теории Эйнштейна, также совпадают с результатами теории Рэлея, так как флуктуационные неоднородности считают малыми по сравнению с длиной волны.

В первую очередь следует отметить, что в молекулярном рассеянии интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна длине волны в четвертой степени (I~1/4). Этим и объясняется, например, более насыщенный голубой цвет неба в горах, где воздух свободен от пыли. Рассеянный свет поляризован, причем при наблюдении перпендикулярно к направлению первичного пучка степень поляризации должна быть равна максимальному значению 100%, что подтверждается для газов. Однако поляризация не всегда максимальна, что обусловлено оптической анизотропией самих рассеивающих молекул.

Интенсивность молекулярного рассеяния света сравнительно невелика. Однако вблизи критических точек фазовых переходов интенсивность флуктуации

198

значительно возрастает, и размеры областей неоднородностей становятся сравнимы с длиной волны света, что приводит к резкому усилению рассеяния света средой так называемое явление критической опалесценции.

Другим примером интенсивного молекулярного рассеяния является рассеяние, возникающее при смешении некоторых жидкостей. В обычных условиях в растворах распределение одного вещества в другом происходит равномерно, так что они представляют собой среду, в оптическом отношении не менее однородную, чем чистые жидкости. Это означает, что концентрация растворенного вещества во всем объеме одинакова. Однако существует много веществ, растворимость которых друг в друге сильно зависит от температуры. При некоторой критической температуре они способны смешиваться в любых соотношениях. При такой температуре легко возникают флуктуации концентрации, т.е. возникают нарушения оптической однородности, приводящие к интенсивному рассеянию света.

Рассеяние света можно наблюдать также на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей или на свободной поверхности жидкости. Из-за теплового движения поверхность жидкости не бывает абсолютно гладкой. Она всегда неровная. На этих неровностях свет претерпевает дифракцию, т.е. происходит поверхностное молекулярное рассеяние. Если высота неровностей мала по сравнению с длиной волны, то интенсивность рассеянного света обратно пропорциональна второй степени длины волны. И в любом случае интенсивность молекулярного рассеяния зависит от температуры. Это является отличительной особенностью данного вида рассеяния.

Если области неоднородностей движутся, то это приводит к появлению в спектрах рассеянного света линий, смещенных по частоте. Типичным примером может служить рассеяние на упругих волнах плотности (гиперзвуке) – так называемое рассеяние Мандельштама-Бриллюэна.

Все сказанное выше относилось к рассеянию света сравнительно малой интенсивности. После создания лазеров стало возможным изучить рассеяние сильных световых потоков, которому свойственны многие характерные особенности.

Где применяется явление рассеяния света?

1.Спектры рассеянного света позволяют определять молекулярные и атомные характеристики веществ, их упругие ,релаксационные и другие постоянные. Они иногда являются единственными источниками информации о так называемых запрещенных переходах.

2.На данном явлении основаны многие методы определения размеров и формы мелких частиц, что особенно важно, например, при измерении атмосферной видимости и при исследовании полимерных растворов.

3.Процессы вынужденного рассеяния лежат в основе лазерной спектроскопии и широко используются в лазерах с перестраиваемой частотой.

199

6.Распространение света в анизотропных средах

6.1.Анизотропные среды. Двойное лучепреломление

Восновной части настоящей темы будем рассматривать однородную, непроводящую и магнитно-изотропную среду, считая её, однако, электрически анизотропной. Иными словами, будем рассматривать вещества, электрическое возбуждение которых зависит от направления электрического поля. Это значит, что индуцируемый электромагнитной волной дипольный момент физически бесконечно малого элемента объема среды, вообще говоря, не совпадает по направлению с электрическим полем волны. Так происходит потому, что в анизотропном веществе под действием внешней силы элементарные заряды смещаются в одних направлениях легче, чем в других.

Физическая природа анизотропии вещества связана или с особенностями строения его молекул, или с особенностями строения кристаллической решетки, в узлах которой находятся атомы или ионы. В таких условиях модель изотропного осциллятора для описания оптического электрона в атоме может оказаться непригодной, так как действующая на него возвращающая сила при смещении из положения равновесия обусловлена не только сферически симметричным полем ионного остова, но и полем соседних атомов или ионов, которое имеет более низкую симметрию. Оптическая анизотропия проявляется в двойном лучепреломлении, дихроизме, вращении плоскости поляризации и т.д.

При падении световой волны на границу изотропной среды в этой среде от границы распространяется одна волна, волновой вектор которой лежит в плоскости падения и

составляет с нормалью на границе угол φ2, определяемый известным законом преломления: n1sinφ1 = n2sinφ2. Если среда анизотропна, то в ней в общем случае возникают две волны, распространяющиеся от границы в разных направлениях и с разными скоростями. Это явление называется двойным лучепреломлением. Оно было открыто Бартолином

в1670 г. в кристаллах исландского шпата и впоследствии подробно исследовано Гюйгенсом. Гюйгенс дал объяснение двойного лучепреломления на основе гипотезы о том, что падающая на границу волна порождает в кристалле элементарные вторичные волны двух видов: сферические (обыкновенные) и эллипсоидальные (необыкновенные), скорость которых зависит от направления.

Исландский шпат представляет собой разновидность углекислого кальция CaCO3 (кальцит), относящуюся к гексагональной системе. Он встречается в природе в виде довольно больших и оптически чистых кристаллов. Раскалыванием по определенным плоскостям (плоскостям спайности), кристаллу можно придать форму ромбоэдра – фигуры, которую легче всего представить себе как куб, несколько сжатый вдоль пространственной диагонали АВ (рис. 6.1). Грани его имеют вид ромбов с углами 78° и 102°. В двух противоположных вершинах А и В сходятся стороны трёх тупых углов.

Для демонстрации двойного лучепреломления узкий параллельный пучок света направляют перпендикулярно грани естественного ромбоэдра. Из противоположной грани выходят два пучка, имеющие направления, параллельные первоначальному. Один из них представляет продолжение первичного, а второй смещен в сторону, то есть для него угол преломления отличен от нуля, несмотря на то, что угол падения равен нулю. Это обстоятельство дало повод назвать второй пучок необыкновенным (е), а первый, подчиняющийся закону преломления, – обыкновенным (о). Если падающий пучок достаточно узок,

200

а кристалл имеет достаточную толщину, то выходящие пучки пространственно разделены (рис. 6.2), и образуют два пятна на экране.

Р и с. 6.1

Р и с. 6.2

Когда падающий свет естественный, оба пятна имеют одинаковую освещенность, то есть их интенсивности равны. При повороте кристалла вокруг направления падающего пучка одно пятно остается на месте, а второе обходит вокруг него.

С помощью анализатора легко убедиться, что выходящие из кристалла пучки света линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях. Увеличив сечение падающего пучка, можно получить частичное перекрывание пятен на экране. При повороте анализатора не перекрывающиеся части пятен периодически становятся светлыми и темными; когда у одной части освещенность максимальна, у другой – обращается в нуль. Освещенность перекрывающейся части остается неизменной.

В кристалле исландского шпата пространственная диагональ АВ ромбоэдра (см. рис. 6.1) представляет собой ось симметрии: при повороте на

		120	вокруг этой оси кристалл совмещается сам с
		собой. Спилим тупые углы в вершинах ромбоэдра
		по плоскостям, перпендикулярным оси. Оказывает-
		ся, что в этом случае двойное лучепреломление от-
		сутствует: падающий пучок света не раздваивается,
	Р и с. 6.3	и состояние его поляризации не изменяется
		(рис. 6.З).

Обладающее таким свойством направление называется оптической осью кристалла. Отметим, что речь идет именно о направлении, а не об отдельной прямой, так как пучок не будет испытывать двойного преломления при распространении вдоль любой прямой, параллельной этому направлению. Кристаллы, имеющие лишь одно направление, вдоль которого не происходит двойное лучепреломление, называют одноосными (исландский шпат, кварц и другие). Существуют кристаллы, имеющие два таких направления. Они называются двуосными.

Изучение распространения света в анизотропных средах построено в этой теме не на учете атомной структуры среды, а с помощью феноменологической электромагнитной теории. В рамках такой теории анизотропия учитывается тем, что в материальном уравнении восприимчивость, диэлектрическая проницаемость, поляризуемость представляют собой тензора (а не скаляр, как в изотропной среде).

201

6.2.Плоские монохроматические волны в анизотропной сре-

де. Одноосные кристаллы.

Рассмотрим распространение света в прозрачной анизотропной среде на основе электромагнитной теории. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в веществе имеют универсальный характер и в полной мере применимы к анизотропным сре-

дам. Будем искать их решение в виде плоских монохроматических волн, где			E , D , B
зависят от координат и времени по закону e	i(k r t )	. Введем единичный вектор волновой

нормали	N , направленный вдоль волнового вектора
костям равных фаз):
	N	k	.
		k

Тогда из уравнений Максвелла получим:

k

(то есть перпендикулярно плос-

(1.487)

N E		B,

c	2	N
0

B

D

.

(1.488)

Здесь – фазовая скорость волны, т.е. скорость, с которой поверхность равных фаз перемещается в направлении волновой нормали N . Прежде чем вводить матери-

альное уравнение, связывающее векторы E и D в анизотропной среде, рассмотрим те свойства электромагнитных волн, которые следуют непосредственно из уравнений

(1.488). Эти свойства отражают взаимное расположение векторов D , E , B и N .

Из второй формулы (1.488) видно, что вектор D перпендикулярен векторам B и N , а из первой – что векторы B и N взаимно перпендикулярны. Таким образом, в бе-

гущей волне векторы

D

, B и

N

образуют правую тройку ортогональных векторов

(рис. 6.4). Что касается вектора E , то в анизотропной среде его направление, вообще говоря, не совпадает с направлением D . Из первого уравнения (1.488) следует, что вектор E ортогонален вектору B , то есть лежит в плоскости, образуемой векторами D и N . Это значит, что бегущие волны в анизотропной среде поперечны в отношении век-

торов D и B , но в общем случае они не поперечны в отношении вектора E (рис. 6.4). Направление переноса энергии в электромагнитной волне определяется вектором Пойн-

тинга S . Для характеристики этого направления введем ориентированный вдоль S единичный вектор s :

s

SS

E

B EB

.

(1.489)

D

E

	v
		N
	u	S

B

Р и с. 6.4

202