Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

ваны на поперечном эффекте. Однако для создания высокоскоростных ячеек предпочтительнее использовать продольный эффект, поскольку в этом случае электроды имеют меньший размер и меньшую электроемкость, что облегчает достижение высоких скоростей изменения потенциалов.

233

7.Геометрическая оптика.

7.1.Геометрическая оптика как предельный случай волно-

вой оптики.

Рассмотрим переход от волновой оптики к геометрической в предельном случае исчезающе малой длины волны ( 0).

Плоская волна характеризуется тем свойством, что ее поверхности постоянной фазы (волновые поверхности) представляют собой неограниченные плоскости, а направление ее распространения и амплитуда везде одинаковы. В общем случае световые волны таким свойством не обладают. Тем не менее часто световую волну можно приближенно рассматривать как плоскую в каждом небольшом участке пространства. Это возможно тогда, когда амплитуда световых колебаний и направление распространения волны почти не изменяются на расстоянии порядка длины волны. Волновые поверхности при этом имеют небольшую кривизну и на небольших участках пространства можно, как и у плоской волны, говорить об определенном направлении распространения, нормальном к волновой поверхности. Для характеристики этого направления вводят понятие лучей, т. е. линий, касательная к которым в каждой точке совпадает с направлением распространения волны.

Геометрическая оптика, отвлекаясь от волновой природы света, описывает его распространение с помощью лучей. При этом оказывается, что поведение лучей при0 определяется теми же законами, что и для плоских волн: законы преломления и отражения, установленные для плоской волны, падающей на плоскую границу раздела, справедливы в приближении геометрической оптики при более общих условиях. Например, при падении луча на поверхность линзы направление, интенсивность и состояние поляризации отраженного и преломленного лучей можно найти из соответствующих формул для плоских волн.

В плоской монохроматической волне, распространяющейся в изотропной однородной среде с показателем преломления n, зависимость напряженности поля от ко-

ординат и времени имеет вид	i k r t E0 exp i k0ns r t .
E r ,t E0 exp						(1.528)
Здесь введен единичный вектор		s	(лучевой вектор), указывающий направление
распространения плоской волны:	s k / k			. Поэтому
		k ks k ns			,
				0

где

k0 / c 2 /

— волновое число (для вакуума). В неоднородной среде показа-

тель преломления зависит от координат: n n r — и выражение (1.528) уже не бу-

дет решением уравнений Максвелла. Можно искать решение в виде монохроматической волны более общего типа:

E r ,t E0 r exp i k0S r t ,

(1.529)

где величина S r , называемая эйконалом, представляет собой вещественную ска-

лярную функцию координат, а амплитуда

E	r
0

зависит от положения

r

рассматри-

ваемой точки. Выражение (1.529) будет давать приближенное решение уравнений

234

Максвелла в предельном случае больших k0 (т. е. малых длин волн 0) при условии, что функция S r удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению (урав-

нению эйконала). Найдем его.

Напряженность поля E r ,t в (1.529) при 0, т.е. k0 , испытывает очень быстрые изменения в пространстве, но амплитуда E0 r и эйконал S r изменяются постепенно и при k0 остаются конечными. В малых участках пространства S r можно разложить в ряд, ограничившись членами первого порядка:

	S r S r	r r		dS
	0	0
				dr

r r0

S	0	r

r	S
0

.

(1.530)

Подставляя это разложение в ности точки r0 в виде

E r , t E
			0
E	E	r
0	0	0

(1.529), представим напряженность поля в окрест-

exp i k0 S r t ,										(1.531)
			0			0	0	S
exp		ik			S	r	r			.

Это и значит, что в каждом малом участке пространства, в пределах которого

справедливо разложение (1.530), произвольную волну (1.529) можно рассматривать
как плоскую, так как в (1.531) зависимость напряженности от координат	r	такая же,

как и в плоской волне (1.528). Сравнивая (1.531) с (1.528), получаем дифференциаль-

ное уравнение, которому должна удовлетворять функция			S r :
ns S r или S	2	n	2	.	(1.532)

Поверхности равных фаз (волновые (1.529) определяются уравнением

k0S r t

поверхности)

const .

монохроматической волны

(1.533)

Уравнение (1.532) показывает, что лучи, т. е. линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением распространения волны, задаваемым единичным вектором s , ортогональны к волновым поверхностям. В общем случае при

показателе преломления n r , изменяющемся от точки к точке, лучи будут искрив-

лены. Поверхности равных фаз перемещаются в направлении луча s со скоростью

= c/n.

Чтобы выяснить, как искривляются лучи в оптически неоднородной среде, получим из уравнения эйконала (1.532) дифференциальное уравнение для лучей. Ради-

ус-вектор	r точки P, лежащей на луче, будем рассматривать как функцию длины ду-
ги. Тогда	dr / d S и из (1.532) находим ndr / d							S .	Продифференцируем это
уравнение	по	и преобразуем					правую	часть	следующим образом:
d/d (S) = (dS/d		) = n (здесь мы воспользовались тем, что dS/d								= Ss n S =
n). Таким образом,
			d		dr		n .			(1.534)
				n
			d		d
В частности,		в однородной среде n = const,						n = 0	и (1.534)	принимает вид
d 2r / d 2 0 . Его решение r a				b , где a и b – постоянные векторы, представля-

235

ординат выбрать там, где вектор ние луча имеет вид

направлен горизонтально (вдоль оси х), уравне-

ет собой прямую линию, направленную по вектору

a

и проходящую через точку

r b S r

. В однородной среде световые лучи прямолинейны. Но волновые поверхности

const

при этом могут и не быть плоскими. Например, одно из возможных ре-

шений уравнения эйконала ( S)2 = n2 при n = const имеет вид:

S r

n r r

0

(особая точка при

r r0 ). В этом случае

S n r r0 / r r0

и лучи света образуют

семейство прямых, расходящихся из точки

r r0

, а волновые поверхности – концен-

трические сферы.

Для неоднородной среды n n r и уравнение (1.534) преобразуется к виду

dn

ds

s

n

n .

d

d

Так как dn / d

ns , то

ds

1

n s ns .

(1.535)

d

n

Производная единичного вектора

s

по длине луча

характеризует кривизну

луча: ds / d N / R , где N – единичный вектор главной нормали к лучу, R его кривизны. Умножая обе части (1.535) скалярно на N и учитывая, что получаем следующее выражение для радиуса кривизны луча:

	1	N	n	.
	R		n

– радиус

Ns 0 ,

(1.536)

Отсюда, в частности, следует, что

N n 0

, т.е. угол между

N

и n острый —

луч изгибается в область с большим показателем преломления n.

Для демонстрации искривления световых лучей можно взять две смешивающиеся жидкости, например сероуглерод (n = 1,63) и бензол (n = 1,50), и расположить их слои один над другим. Граница между слоями вскоре пропадает вследствие диффузии, и получается среда с непрерывно изменяющимся показателем преломления. Исходя из уравнения (1.535), можно показать, что в среде, показатель преломления которой изменяется в каком-либо одном направлении по линейному закону

n(z) = n0(1 + az), лучи представляют собой цепные линии (рис. 7.1а). Если начало ко- s

z x ch x 1 / .

В соответствии с (1.536) луч сильнее всего искривлен там, z

s

x Р и с. 7.1

236

где его направление перпендикулярно градиенту показателя преломления. Искривлением лучей света в неравномерно нагретом воздухе объясняется явле-

ние миража, когда в жаркой пустыне возникает иллюзия находящейся на горизонте водной глади или вдали на асфальте нагретого солнечными лучами шоссе видны «лужи», исчезающие при приближении к ним. Прилегающие к раскаленной земле слои воздуха нагреты сильнее, поэтому плотность воздуха и его показатель преломления возрастают с высотой. Лучи света, входящие в такой слой под небольшими углами, искривляются и, не достигнув земли, выходят обратно под такими же углами. Мы настолько привыкли к прямолинейному распространению света, что подсознательно считаем источник расположенным на прямолинейном продолжении попадающих в глаз лучей даже тогда, когда они искривлены; мы видим расположенные над горизонтом удаленные предметы как бы отраженными горизонтальной зеркальной поверхностью («водной гладью»).

Другой пример искривления лучей дает явление астрономической рефракции, обусловленное тем, что плотность земной атмосферы и, следовательно, ее показатель преломления убывают с высотой. Наблюдаемая высота небесного светила над горизонтом оказывается больше истинной. Эффект особенно значителен, когда светило наблюдается у горизонта (рефракция при этом достигает 35') и быстро убывает с увеличением высоты. Этим объясняется сплюснутая форма солнечного диска при восходе и закате. Благодаря рефракции мы видим Солнце в течение нескольких минут после того, как оно уже зашло.

Выше предполагалось, что показатель преломления представляет собой непрерывную функцию координат. Чтобы рассмотреть поведение лучей при переходе через резкую границу раздела сред с различными показателями преломления, можно мысленно заменить граничную поверхность тонким переходным слоем, в котором показатель преломления изменяется непрерывно. Тогда уравнение (1.532) останется в силе. Применяя к обеим его частям операцию rot и учитывая тождество rot(grad(S)) = 0, находим соотношение, которому должен удовлетворять лучевой век-

тор	s :
	rot		ns		0.	(1.537)
	Выберем небольшой прямоугольный контур					(рис. 7.2 а), стороны P1Q1 и P2Q2

которого параллельны поверхности раздела Т двух сред, a P1P2 и Q1Q2 перпендику-

лярны Т. Пусть b	– единичный вектор нормали к плоскости контура. Умножим
(1.537) скалярно на	b и проинтегрируем по площади , ограниченной контуром .

Поток ротора по теореме Стокса преобразуется в интеграл по контуру :brot ns d nsdr 0 .

l

Переходя к пределу, когда длины сторон P1P2 и Q1Q2 стремятся к нулю, полу-

чим

237

Р и с. 7.2

b n12 n2s2 n1s1 0

или

n2 n12 s2 n1 n12 s1 ,

(1.538)

где n12 – единичный вектор нормали к поверхности раздела Т. Из формулы (1.538) следует, что преломленный луч лежит в плоскости падения (плоскости, образованной падающим лучом и нормалью n12 (рис. 7.2 б)), а синусы углов падения и преломле-

ния связаны соотношением n2sin 2 = n1sin 1. Как и следовало ожидать, закон преломления, установленный для плоских волн на плоской границе раздела, в приближении геометрической оптики ( 0 0) справедлив для преломляющих поверхностей более общей формы. Фактически для этого достаточно, чтобы радиусы кривизны волновой поверхности падающей волны и поверхности раздела были велики по срав-

нению с 0.

Нахождение траекторий лучей света в приближении геометрической оптики можно сформулировать как задачу вариационного исчисления, если воспользоваться принципом Ферма, согласно которому свет распространяется между двумя точками по такому пути, который требует для прохождения наименьшего времени. Принцип наикратчайшего оптического пути, сформулированный Пьером Ферма в середине XVII в., можно получить как следствие основного уравнения геометрической оптики

(1.532). Рассмотрим некоторую область с показателем преломления n r , через каж-

дую точку которой проходит только один луч (например, от точечного источника), т. е. эти лучи в рассматриваемой области не пересекаются. Пусть точки A и B (рис.7.3а)

лежат на одном луче. Используя уравнение (1.532) ns S r , вычислим следующий интеграл вдоль произвольной кривой, соединяющей точки A и B:

nsdr

Sdr

S B S

A

.

(1.539)

AB

AB

Этот интеграл равен разности значений эйконала в точках A и B и, следовательно, не зависит от пути интегрирования (интегральный инвариант Лагранжа).

Очевидно, что

sdr d			d
	cos s, dr
поэтому
S B S A	nsdr	nd
	AB	AB

,

,

(1.540)

238

а)

б)

Р и с. 7.3

причем знак равенства справедлив только в том случае, когда направления векторов s и dr совпадают в каждой точке рассматриваемой кривой, т.е. когда она представляет собой реальный луч (АСВ на рис. 7.3 а). Для любой другой кривой, соединяющей точки А и В (например, ADB на рис. 7.3 а), правая часть (1.540), называемая оптической длиной пути, оказывается больше, чем для реального луча АСВ. Поскольку

d

dt

cn

dt

, оптическая длина равна произведению c на время, которое требу-

ется свету для прохождения вдоль этой кривой. Таким образом, свет между А и В распространяется по тому пути, который требует наименьшего времени.

В приведенном выше доказательстве было использовано предположение о том, что через каждую точку рассматриваемой области проходит только один луч. Это условие во многих практически важных случаях не выполняется. Например, при отражении от зеркала света, испускаемого точечным источником А, через любую точку В проходят два луча (рис. 7.3 б). Чтобы охватить подобные случаи, принцип Ферма можно сформулировать в более слабой форме, но применимой в более широкой области: реальный луч отличается от остальных кривых, соединяющих две заданные точки, тем, что соответствующая ему оптическая длина имеет стационарное значение, т. е. малое изменение траектории (например, точки падения на зеркало; рис. 7.3 б) не приводит в первом порядке к изменению оптической длины. Эта формулировка вполне достаточна для практических приложений, ибо для нахождения луча можно ограничиться сравнением оптических длин для воображаемых путей, которые проходят бесконечно близко от действительного.

Проиллюстрируем применение принципа Ферма на примере преломления луча на границе однородных сред. Пусть АОВ – истинный путь света из A в B (рис. 7.4). Тогда при малом изменении траектории – смещении точки преломления из O в C – оптическая длина в первом приближении должна остаться неизменной. Оптический путь в среде 1 увеличивается на n1|DC| = n1|OC|sin1, в среде 2 – уменьшается на n2|OE| = n2|OC|sin2. Приравнивая эти величины, опять получаем закон преломления:

n1 sin 1 n2 sin 2 .

Если пучок лучей, выходящих из какой-либо точки P, после отражений, преломлений на границах или искривлений в неоднородной среде сходится в точке Р', то Р' называется действительным фокусом геометрического схождения лучей. Его можно рассматривать как оптическое изображение точки Р. Изображение называют мнимым, если в Р' пересекаются не сами лучи, а их продолжения, проведенные в направлении, противоположном распространению света. Если источник Р и его

239

изображение Р' поменять местами, то форма всех лучей останется без изменения и лишь их направление изменится на противоположное (принцип обратимости). Поэтому точки Р и Р' называются сопряжёнными. Когда все лучи пересекаются строго в одной точке Р' – изображение называется стигматическим (точечным). Пучок лучей, выходящих из одной точки или сходящихся в одну точку, называется гомоцентриче-

ским.

В соответствии с принципом Ферма оптическая длина всех лучей между сопряженными точками одинакова. В качестве примера рассмотрим зеркало в форме эллипсоида вращения (рис. 7.5). Сумма расстояний |РО|+|ОР'| от его фокусов до точки О имеет одно и то же значение при любом положении точки О на его поверхности. Если в один из фокусов поместить точечный источник, в другом фокусе пучок отраженных от зеркала лучей образует стигматическое изображение источника. Исходящие из фокуса эллипсоида гомоцентрические пучки лучей в результате отражения превращаются снова в гомоцентрические. Совершенно аналогично в фокусе параболического зеркала образуется стигматическое изображение находящегося на оси параболоида бесконечно удаленного точечного источника (параболоид можно рассматривать как предельный случай эллипсоида, когда второй его фокус удаляется в бесконечность). Такие параболические зеркала используются в астрономических теле- скопах-рефлекторах.

Эти примеры преобразования пучков света иллюстрируют скорее исключения, чем общее правило: обычно при отражении или преломлении пучок утрачивает свойство гомоцентричности и не образует стигматического изображения точечного источника. Например, отраженные параболическим зеркалом лучи от бесконечно удаленного источника, не лежащего на оси зеркала, пересекаются не в одной точке, а в некоторой ее окрестности, что ухудшает качество изображения. Используемые на практике оптические системы состоят из линз и зеркал, преломляющие и отражающие поверхности которых, как правило, сферические или плоские. Ход приосевых лучей и образование изображений в центрированных оптических системах рассматриваются позже. Искажения изображений, связанные с нарушением гомоцентрично-

сти пучков, называются геометрическими или лучевыми аберрациями оптических систем. Зависимость показателя преломления от длины волны приводит к появлению хроматической аберрации. Неизбежные в принципе погрешности отображения можно уменьшить до разумных пределов, используя многолинзовые конструкции. В этом отношении инструментальная оптика достигла замечательных результатов.

Р и с. 7.4

Р и с. 7.5

Но даже в тех случаях, когда по законам геометрической оптики пучок лучей пересекается строго в одной точке, образование точечного изображения светящейся точки невозможно из-за дифракции света. Вблизи фокуса пучка лучей кривизна вол-

240

новых поверхностей становится значительной. Изменение амплитуды волны здесь уже нельзя считать малыми на протяжении длины волны, т.е. условия применимости геометрической оптики не выполняются, и распределение интенсивности вблизи фокуса обусловлено волновой природой света. Волновые, или дифракционные, искажения определяют теоретический предел разрешающей способности оптических инструментов.

7.2. Преломление на сферической поверхности

Рассмотрим простейший случай преломления света на одной сферической поверхности, разграничивающей однородные среды с показателями преломления n1 и n2. Пусть эта поверхность обладает симметрией вращения относительно одной из прямых OC, проходящей через центр кривизны сферической поверхности, которую будем называть главной оптической осью (рис. 7.6).

Ри с. 7.6

Вдальнейшем все отрезки вдоль оси будем отсчитывать от точки O, считая их положительными, если они откладываются от точки O вправо, т.е. в направлении распространения света, и отрицательными – если они откладываются влево.

Допустим, что точечный источник света S находится на оптической оси систе-

мы. Произвольный луч SA, падающий на сферическую поверхность под углом i1, после преломления на поверхности под углом i2 пройдет по пути AS1. Обозначим длины AS и AS1 через a1 и а2 , соответственно.

Распишем площади полученных треугольников. Из рис. 7.6 видно, что

S	SAC	S	CAS
			1

S SAS1

.

(1.541)

Учитывая, что a1 < 0, a2 > 0 можно записать:

S			1	a R sin
	SAC
			2	1

i1

,

(1.542)

S CAS1

1 2

a R sin i
2	2

,

(1.543)

S SAS1

1 a1a2 sin(i1

2

i	)
2

,

(1.544)

где AC = R – радиус кривизны преломляющей поверхности. Он отсчитывается от сферической поверхности к ее центру и положителен в нашем случае. Подставляя выражения (1.542), (1.543), (1.544) в формулу (1.541), получим:

	n		n
	2		1
	a		a
	2		1

n	cos i	n cos i
2	2	1	1
		R

.

(1.545)

Согласно формуле (1.545), положение точки S1 зависит от угла наклона падающего луча к оптической оси, т.е. от угла падения i1 и преломления i2. Ограничимся малыми углами , i1, i2. Лучи, удовлетворяющие такому условию, называются паракси-

241

альными

AS OS
1	1

(приосевыми).	Для	них			можно			записать	cos i1 cos i2 1;
, AS OS. В этом приближении формула (1.545) принимает вид:
		n		n		n	n
		2		1		2	1	.	(1.546)
		a		a			R
		2		1

В случае параксиального приближения положение точки S1 не зависит от угла. Следовательно, все параксиальные лучи, выходящие из одной точки оптической оси, после преломления на сферической поверхности пересекутся в одной точке, лежащей также на оптической оси. Точка S1 будет поэтому оптическим изображением точки S в параксиальных лучах, а расстояния а1 и а2 будут обозначать соответственно расстояния от сферической поверхности до предмета и до изображения.

Формуле (1.546) можно придать вид:

n1		1		1		n2		1		1		,	(1.547)
	a1			R			a2			R

откуда следует, что произведение n(1/a – 1/R) при преломлении сохраняет свою ве-

личину. Его называют нулевым инвариантом Аббе.

Основное уравнение (1.546) охватывает все случаи преломления лучей на сферической поверхности. Пользуясь установленным выше правилом знаков, можно разобрать случай выпуклой (R > 0) или вогнутой поверхности (R < 0). Точно также, в зависимости от того, будут ли а1 и а2 иметь разные знаки или одинаковые, мы будем иметь случаи, когда изображение располагается с противоположной по сравнению с источником стороны преломляющей поверхности или лежит по одну сторону с ним. В первом случае (а2 > 0) точка, именуемая изображением, есть действительно точка пересечения преломленных лучей. Такое изображение называется действительным. Во втором случае (а2 < 0), преломленные лучи, идущие во второй среде, остаются расходящимися и реально не пересекаются. Название изображения относится к той воображаемой точке, которая представляет собой место пересечения предполагаемого продолжения преломленных лучей. Такое изображение называется мнимым.

7.3. Изображение малых предметов. Увеличение.

Выберем в качестве предмета линию А1В1, перпендикулярную к оптической оси, и построим ее изображение А2В2 (рис. 7.7)

		n				n
		1		P		2
B				B 1
1
y
1		2u	i		C	F		2u	A
							2			2
		1	1					2
A	1		O	i						y
										2
				2					B
									2

Р и с. 7.7

Для графического отыскания точки В2 можно провести луч В1В1 ║ А1О, тогда преломленный луч должен пройти через фокус F2. Луч В1С, проходящий через центр С сферической поверхности, не изменяет направления своего распространения.

242