Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

разрешающей силы различных спектральных приборов, был предложен Рэлеем для случая, когда контур максимума имеет дифракционную форму.

Согласно критерию Рэлея, наименьший разрешимый интервал равен расстоянию между главным максимумом и ближайшим к нему минимумом. Две монохроматические линии одинаковой интенсивности на таком расстоянии друг от друга дают суммарный контур с двумя максимумами (рис. 3.23), провал между которыми составляет около 20% от интенсивности в максимумах. Благодаря провалу такой контур воспринимается как двойная спектральная линия.

Если считать критерием разрешения именно наличие провала, то можно обобщить критерий Рэлея: при любой форме контура максимума две спектральные линии одинаковой интенсивности находятся на пределе разрешения , если провал в суммарном контуре составляет 20%.

II

Ðèñ. 4

IImax

0,81IImax

δ

Р и с. 3.23

Нужно подчеркнуть еще раз условный характер критерия Рэлея. Если, например, интенсивность одной из линий существенно больше другой, то провал в наблюдаемом контуре может отсутствовать даже тогда, когда расстояние между ними значительно больше, чем требует критерий разрешения. С другой стороны, линии расположенные ближе, могут быть разрешены, если погрешность измерения наблюдаемого распределения интенсивности меньше 20%. Фактически возможность разрешения близких спектральных линий ограничивается шумами при измерениях: линии можно разрешить, если наблюдаемое распределение интенсивности отличается от распределения для одиночной линии больше чем на ошибку измерений.

Для интерферометра Фабри-Перо пределом разрешения можно считать полуширину максимума на половине высоты. Провал в наблюдаемом контуре от двух находящихся на таком расстоянии монохроматических линий составляет около 17%, т.е. это условие практически совпадает с обобщенным критерием Рэлея. Ширине контура, как было показано, соответствует изменение разности фаз на

2 1 R	R . Разность фаз интерферирующих волн в максимуме m – го порядка
равна 2m . Изменению ее на			соответствует изменение длины			волны на
= [ /(2m)], откуда для разрешающей силы находим
	R		m	2	mF ,	(1.263)

103

	где	F	2			R	резкость интерференционных полос.
					1	R

С учетом (1.255) формуле (1.263) можно придать вид:

	R mF	m		R		2hn cos			R	,
		1	R					1 R

(1.264)

откуда видно, что разрешающая способность прямо пропорциональна толщине интерферометра h. Однако увеличение толщины интерферометра уменьшает область свободной дисперсии и угловые диаметры колец, что затрудняет работу на установке с использованием интерферометра. Поэтому выгодно увеличивать разрешающую способность за счет повышения коэффициента отражения зеркал.

104

4.Дифракция света

4.1Дифракция света. Принцип Гюйгенса – Френеля

По определению немецкого учёного Зоммерфельда дифракция – “любое отклонение распространения света от прямолинейного, не связанное с отражением или преломлением”.

Вболее узком смысле дифракцией называют явление огибания волной препятствия (или проникновение света в область геометрической тени).

Втеории волн под дифракцией понимают всю совокупность явлений в волновом поле, возникающих при наличии препятствий распространению волны.

Используя понятие интерференции света, можно сказать, что дифракция – это интерференция в ограниченных световых пучках.

Принципиальное значение дифракции состоит в том, что она, как и интерференция, доказывает волновую природу света. Дифракция имеет большое практическое значение, поскольку она ограничивает возможности концентрации света в пространстве, определяет предел разрешающей способности оптических приборов, влияет на формирование оптического изображения и т.п.

Первое сообщение о наблюдении дифракции света было сделано Гримальди (1665 г). Схема опыта представлена на рис. 4.1. Источник света S освещает отверстие

внепрозрачном экране Э, а на плоскости П, расположенной позади экрана, измеряется освещенность. Гримальди установил, что изображение отверстия не имеет резкой границы. Этот результат не мог быть объяснён в рамках корпускулярной теории света, согласно которой свет должен распространяться прямолинейно.

Первое объяснение дифракции света было дано Френелем в 1818 г. В своём мемуаре он показал, что количественное описание дифракционных явлений возможно на основе принципа Гюйгенса, если его дополнить принципом интерференции вторичных волн. Кирхгоф в 1882 г. дал строгое математическое обоснование принципа Гюйгенса-Френеля.

Врамках электромагнитной теории света точное решение задачи о распространении света даётся на основе уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями, но сопряжено с большими математическими трудностями. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, вполне достаточным оказывается приближённый метод решения задач дифракции, основанный на принципе Гюйгенса-Френеля.

Согласно принципу Гюйгенса, каждую точку, в которую пришла волна от источника, можно принять за центр вторичных волн, распространяющихся во все стороны. Френель дополнил принцип Гюйгенса предположением о том, что вторичные световые волны могут как усиливать, так и ослаблять друг друга, т.е. они могут интерферировать. Световое поле есть результат интерференции элементарных вторичных волн, испускаемых каждым элементом некоторой волновой поверхности – это утверждение составляет содержание принципа Гюйгенса-Френеля. Основываясь на этом принципе, Френель смог с большой точностью рассчитать распределение света в дифракционной картине, т.е. решить задачу дифракции.

105

Р и с. 4.1

Р и с. 4.2

Дифракционный интеграл Френеля

Рассмотрим элементарную теорию дифракции света, построенную по принципу Гюйгенса-Френеля.

Сначала запишем математическую формулировку принципа ГюйгенсаФренеля. Введём некоторую поверхность , охватывающую источник света S, и будем считать каждый элемент d этой поверхности источником вторичной сферической световой волны (рис. 4.2). Амплитуда вторичной световой волны, достигающей интересующей нас точки P, должна быть пропорциональной амплитуде первичной волны Em, приходящей к элементу d , а также площади самого элемента d , и обратно пропорциональна расстоянию r от элемента d до точки P.

Для определения результирующей амплитуды в точке P, т.е. суммы элементарных амплитуд, необходимо учесть, что колебания от разных элементов d достигают точки P с разными фазами. Это приводит к появлению в выражении для результирующей амплитуды множителя cos(kr + ), где k = 2/ , а – дополнительная фаза, равная фазе первичной волны на элементе d , притом для разных элементов она в общем случае не одинакова.

Таким образом, результирующая амплитуда напряжённости E0 (P) в точке P может быть представлена как суперпозиция элементарных амплитуд с учётом их взаимных фазовых соотношений:

	E0	(P) E0	(M )	cos kr	K d ,	(1.265)
				r

где интегрирование проводится по всей поверхности, окружающей источник.

В интеграле (1.265) K( ) – некоторый “коэффициент наклона”, учитывающий то обстоятельство, что вклад элемента d в результирующее поле зависит от ориентации данного элемента поверхности по отношению к направлению на точку наблюдения.

Формулу (1.265) можно записать через показательную функцию в виде:

	E0 P		E0	M	exp i kr	K d ,	(1.266)
					r

где E0(P) и E0(M) – в общем случае комплексные амплитуды поля в точке P и в точке M соответственно.

Интеграл (1.266) носит название интеграла Гюйгенса-Френеля. Формула (1.266) построена на основе качественных физических соображений. Наиболее существенно

106

то, что интеграл Гюйгенса-Френеля учитывает фазы элементарных вторичных волн, приходящих в точку P от различных элементов поверхности , т.е. принимается во внимание интерференция вторичных волн.

Функция K() в (1.266) остаётся пока неопределённой. Френель полагал, что K() монотонно убывает от некоторого начального значения K(0) до нуля при изменении от нуля до /2. Как мы увидим дальше, многие практически важные задачи можно решить, не уточняя конкретного вида зависимости его от угла .

В дальнейшем будем рассматривать ситуации, позволяющие в качестве поверхности брать волновую поверхность падающей волны, что значительно упрощает расчёты, например, в формуле (1.266) дополнительную фазу можно считать равной нулю, = 0.

Зоны Френеля

Суммирование (интегрирование) амплитуд элементарных колебаний, приходящих в точку P, вообще говоря, весьма сложно. Но в простейших случаях, обладающих определённой симметрией, интегрирование, как показал Френель, может быть заменено простым алгебраическим или графическим сложением (последнее особенно наглядно).

Приближённый способ расчёта дифракционных картин основан на представлении о так называемых полуволновых зонах или зонах Френеля, на которые разбивается поверхность , и конфигурация которых зависит от симметрии рассматриваемой задачи.

Если, например, источник S точечный, и волна изотропная, то удобно вспомогательную поверхность выбрать в виде сферы радиуса a с центром в точке S

(рис. 4.3).

Согласно принципу Гюйгенса-Френеля, данную поверхность можно рассматривать как источник вторичных световых волн с одинаковой начальной фазой. Выделим на сфере кольцевые зоны так, чтобы расстояния от границ зоны до точки наблюдения отличались на половину длины световой волны. Для этого из точки Р мысленно проводим сферы радиусами b, b+ / 2 , b+2 / 2 , … b+m / 2 .

Р и с. 4.3

Обозначая границы зон буквами M1, M2, M3, …, получим:

107

	M	P OP / 2, M	P M P / 2,
	1	2	1	,
	..., Mn P Mn 1P		/ 2

(1.267)

где – длина световой волны, P – точка наблюдения, O – центр первой зоны (рис. 4.3). Заметим, что положение границ френелевских зон зависит от выбора точки наблюдения. Смысл разбиения поверхности на зоны состоит в том, что разность фаз элементарных вторичных волн, приходящих в точку наблюдения от данной зоны, не превышает величины . Сложение таких волн приводит к их взаимному усилению. Поэтому каждую зону Френеля можно рассматривать как источник вторичных волн, имеющих определённую фазу. Напротив, две соседние зоны Френеля действуют как источники, колеблющиеся в противофазе.

Размеры зон Френеля

Для того, чтобы оценить относительный вклад френелевских зон в интеграл (1.266), оценим радиусы зон и их площади.

На рис. 4.4 показаны точечный источник света S, точка наблюдения поля P, часть сферической поверхности (источника вторичных волн) и внешняя граница первой зоны Френеля. Пусть a – радиус сферы, b – кратчайшее расстояние от точки P до сферы, r – радиус первой световой зоны Френеля. Из рис. 4.4 видно, что:

r

2

a

2

a x

2

1

2

b / 2

2

b

x

2

r

1

откуда запишем:

2

2ax b 2bx

2

M

1

Рис. 4

a

b +

/

r

2

x O

1

S

P

a

b

Р и с. 4.4

Как правило, в оптике справедливо приближение:

a,b 2 , x2 ,

поэтому пренебрегая слагаемыми, которые пропорциональны 2

(1.269) и (1.268):

(1.268)

(1.269)

и x2, получим из

x	b
		,
	2 a b

r12

2ax

,

откуда:

108

	r1	ab	.	(1.270)
		a b

Аналогичным образом находим внешний радиус m-й зоны Френеля:

r		m	ab	.
m			a b
Площади зон (при достаточно малых m):
			S r		2	r	2	,
				m		m 1

или

(1.271)

	S	ab	,
		a b

(1.272)

т.е. практически одинаковы. Но амплитуды колебаний, приходящих в точку P от зон, монотонно и слабо убывают из-за увеличения расстояния r до точки P от каждой следующей зоны и роста угла между нормалью к элементам зоны и направлением на точку P.

Физическое содержание задачи почти не измениться, а формулы станут проще, если вместо сферической волны точечного источника рассмотреть плоскую световую волну. В данном случае зоны Френеля представляют собой кольца на плоскости. Их радиусы и площади можно подсчитать по формулам (1.271) и (1.272), полагая a . Получим:

r		m b,	S b.
m

(1.273)

4.2 Дифракция Френеля на простейших препятствиях. Графический способ решения дифракционных задач. Спираль Френеля.

Вычисление результирующего светового поля, описываемого интегралом Гюйгенса-Френеля, сводится к суммированию световых колебаний, возбуждаемых элементарными вторичными источниками. С математической точки зрения задача сводиться к суммированию гармонических колебаний, имеющих одну и ту же частоту, но разные амплитуды и фазы. Наглядный способ решения этой задачи – построение векторной диаграммы. Как известно, гармонические колебания с амплитудой a и фазой можно охарактеризовать комплексной амплитудой E = aexp(i ) либо вектором на плоскости переменных ReE и ImE, причём длина вектора равна a, а угол наклона к оси ReE равен . Сумма нескольких гармонических колебаний частоты с произвольными амплитудами и фазами есть также гармоническое колебание на частоте . Действительную амплитуду и фазу результирующего колебания можно найти, откладывая по правилу сложения векторов векторы, изображающие колебания-слагаемые. После построения векторной суммы, амплитуда результирующего колебания находится как длина полученного вектора-суммы, а фаза результирующего колебания – как угол наклона этого вектора к оси абсцисс.

109

Спираль Френеля

Применим описанный метод для расчёта дифракционного интеграла ГюйгенсаФренеля. Сначала вычислим вклад в дифракционный интеграл, например, первой зоны Френеля. Для этого разбиваем зону Френеля на множество подзон. Разбиение производим таким образом, чтобы площади подзон были примерно одинаковы, а число подзон было достаточно большим. В этом случае вклады подзон можно изобразить векторами, которые имеют почти одинаковую длину, но разные углы наклона к оси абсцисс. Первый и последний векторы будут повёрнуты друг относительно друга на угол – в соответствии с определением зоны Френеля. По мере увеличения радиуса вклад подзоны (и, следовательно, длина соответствующего вектора) немного уменьшается вследствие увеличения угла между нормалью к поверхности и направлением на точку наблюдения (рис. 4.5а).

а)

ImE E1

à)

ReE

ImE

E2

бá)

	ImE
	E	E
	1	2
ReE	â)
	в)

ReE

г)

ImE

E ã)

Ðèñ. 5

ReE

Р и с. 4.5

Аналогичным образом строится вектор, изображающий вклад в дифракционный интеграл второй зоны Френеля (рис. 4.5б), а также первый и второй зон вместе (рис. 4.5в). С увеличением номера зоны, элементарные векторы, изображающие действие её подзон, становятся короче. Это отражает уменьшение общего вклада данной зоны в суммарное дифракционное поле (E2 < E1), связанное с увеличением угла наклона зоны, т.е. с фактором K() и увеличение расстояния r (для сферической волны).

Продолжая процедуру построения векторной диаграммы для всё большего числа зон, получаем скручивающуюся спираль. При увеличении числа подзон каждой зоны, ломанная линия векторной диаграммы всё больше приближается к гладкой кривой. В предельном случае, когда открыты все зоны Френеля, и число подзон в каждой зоне стремиться к бесконечности, получим векторную диаграмму, показанную на рис. 4.5г. Эта предельная диаграмма имеет вид гладкой скручивающейся спирали – спирали Френеля.

Рассмотрим несколько примеров.

Дифракция на круглом отверстии

Пользуясь методом Френеля, определим амплитуду световых колебаний в точке P за круглым отверстием на его оси (рис. 4.6). Волновая поверхность, которой мы перекроем отверстие, симметрична относительно прямой SP, поэтому её наиболее целесообразно разбивать на кольцевые зоны с центром на оси отверстия.

110

Э	Рис. 6

b + m /2 b + /2

S B P

Р и с 4.6

Поскольку фазы колебаний, возбуждаемых в точке P соседними зонами, отличаются на , поэтому результирующая амплитуда, а значит и интенсивность, зависит от того, чёткое или нечёткое число m зон Френеля умещается в отверстии – для данной точки наблюдения P. Если число зон нечётное, в точке P наблюдается максимум, если же число чётное, то – минимум. Чтобы найти число зон, открываемых отверстием, воспользуемся рис. 4.7.

Э

A

a

rm

S C B O

Рис. 7

b + /2

P

Р и с. 4.7

Если радиус отверстия r совпадает с внешним радиусом m-ой зоны (rm = r), то отрезок CO равен:

СО h h	m	СВ ВО,
a b	2		(1.274)

CB hb , BО ha .

Выразим ha и hb через r и соответствующие радиусы сфер, проведенных из точек S и P (SO = a и CP = b + m /2). Согласно теореме Пифагора:

r	2

Пренебрегая ha2 (обычно ha << 2a),

a	2	a ha	2	.

предыдущее равенство можно записать так:

111

		r	2
h				.
a		2a

(1.275)

Рассуждая аналогично для

r	2			b m
					2

Пренебрегая в последней приходим к выводу, что

правой части рис. 4.7, ние:

2

2

b m

h

2

b

скобке

слагаемыми

r

2

h

.

b

2b

получим следующее выраже-

2b m hb hb .

m и hb по сравнению 2b,

(1.276)

Остаётся подставить (1.275) и (1.276) в исходную формулу

что:

	r	2	1		1
m							.
			a		b

(1.274) и получим,

(1.277)

По мере увеличения радиуса отверстия амплитуда колебаний и интенсивность света в точке P (рис. 4.5) изменяется не монотонно. Пока открывается первая зона Френеля, амплитуда увеличивается и достигает максимума при полностью открытой зоне (рис. 4.5а). Но по мере открывания второй зоны Френеля амплитуда колебаний убывает, и при полностью открытых двух первых зонах уменьшается почти до нуля (рис. 4.5б). Затем амплитуда увеличивается снова и так далее (рис. 4.8).

На рис. 4.8 r1, r2, … – радиусы френелевских зон. То же самое будет наблюдаться, если вместо увеличения радиуса отверстия приближать к нему точку наблюдения P вдоль линии SP (рис. 4.6). При этом число открываемых зон в отверстии будет увеличиваться, что лёгко понять из данного рисунка, а также следует из формулы (1.277).

Как видно из рис. 4.5 г, амплитуда колебаний от полностью открытой волновой поверхности равна E = E1/2, т.е. интенсивность (I ~ E2) в четыре раза меньше, чем при наличии экрана с круглым отверстием, открывающем только первую зону Френеля. Особенно неожиданным в методе Френеля представляется вывод, что при отверстии в экране, открывающем для точки P две зоны Френеля, интенсивность в этой точке падает практически до нуля, хотя световой поток через отверстие увеличивается вдвое.

Результаты, предсказанные на основе принципа Гюйгенса-Френеля, выглядят на первый взгляд парадоксально, но они хорошо подтверждаются опытом. Эти результаты противоречат законам геометрической оптики, согласно которым интенсивность в точке P не должна зависеть от радиуса отверстия.

112