Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

A0+aa0

Ðèñ. 1

AA -a

00 0

Ри с. 2.14

Спомощью формул для косинуса суммы и разности углов выражение (1.152) преобразуют к виду

f (t) A	cost	1	a	cos( )t	1	a	cos( )t
0		2	0		2	0
(1.153)

,

		Ðèñ.2
	ft()
	f(t)

– ω

–

ω

Р и с. 2.15

из которого можно заключить, что спектральный состав колебания сводится к трeм

частотам: , + , – (рис. 2.17). Частота называется несущей, а частоты+ , – боковыми.

Если а(t) является не гармонической, но периодической функцией с периодом T = 2 /, то её можно представить в виде ряда Фурье по частотам, кратным .

Подставив ряд Фурье в формулу (1.150) и преобразовав каждый из членов ряда после умножения на cost аналогично тому, как это было сделано при переходе от (1.152) к (1.153), получим ряд, в который входят частоты , + n, – n (n = 1,2,3,…), т.е.

спектр состоит из набора частот, отстоящих друг от друга на в обе стороны от несущей частоты (рис. 2.16).

Ðèñ.3

Ðèñ.4

ω	ω
Р и с. 2.16

ω0

0

Р и с. 2.17

ω

63

Ширина спектра определяется шириной спектра функции а(t). Если а(t) является непериодической функцией, которая представляется интегралом Фурье, то её спектр непрерывный. Подставляя в этом случае в (1.150) выражение для а(t) в виде интеграла Фурье и преобразовывая гармонические составляющие аналогично предыдущим случаям, получим для модулированного колебания непрерывный спектр, простирающийся в обе стороны от несущей частоты 0 (рис. 2.17). Таким образом, в этом случае ширина спектра определяется шириной спектра а(t).

Модуляция частоты и фазы

Эти два вида модуляции целесообразно рассматривать совместно, поскольку описывающие их формулы тесно связаны друг с другом, хотя структура сигналов, модулированных по частоте и фазе, существенно различается.

Соотношение между частотной и фазовой модуляциями получается как следствие записи фазы колебания через зависящую от времени (модулированную) частоту по формуле

sin (t)

t sin[ (t)dt]

0

,

(1.154)

где Ф(t) фаза колебания, (t) модулированная частота. Начальная фаза колебаний считается равной нулю. Из равенства

t (t) (t)dt

0

(1.155)

следует, что мгновенное значение частоты (t) связано с фазой соотношением:

	(t)	d(t)	.
		dt

Формулы (1.155) и (1.156) позволяют от формул, описывающих частотную модуляцию, перейти к формулам, описывающим модуляцию по фазе. Рассмотрим гармоническую модуляцию частоты. В этом случае имеем

(1.156)

(t) 0 cos t ,

(1.157)

где 0 постоянная частота, около которой происходят колебания частоты с амплитудой и частотой колебаний . В соответствии с (1.155) имеем:

t (t) (t)dt

0

	t (		) sin t
0

.

(1.158)

Это означает, что фаза (t) модулирована по гармоническому закону с той же

частотой и амплитудой модуляции /. Если фаза модулирована по гармоническому закону

(t) 0t sin t ,

(1.159)

то в результате дифференцирования (1.159) по времени с учeтом (1.156) приходим к формуле

64

	(t)	d			cos t
		dt		0

(1.160)

показывающей, что частота при этом оказывается модулированной также по гармоническому закону с той же частотой и амплитудой . Гармоническая модуляция частоты (t) и фазы (t) показана на рис. 2.18, 2.19.

ω(t)()t		Ðèñ.5

	0
		t
	0
		t

Ф()t	Ðèñ. 6
	t
	t

Р и с. 2.18 Р и с. 2.19

Таким образом, частотная и фазовая модуляции полностью эквивалентны только тогда, когда они полностью гармонические. При негармонической модуляции такая эквивалентность невозможна, структура сигналов, модулированных по частоте и по фазе, оказывается совершенно различной. При частотной модуляции медленным изменением сигнала (т.е. низким частотам сигнала) соответствуют большие колебания по фазе макс = / в (1.158), а быстрым изменениям сигнала – малые. При фазовой модуляции, наоборот, медленным изменениям сигнала соответствуют малые амплитуды колебаний частоты ( = ), а быстрым изменениям – большие. Частотная и фазовая модуляции отличаются также по способу осуществления. При частотной модуляции образуется прямое воздействие на частоту колебаний генератора, при фазовой – частота колебаний генератора постоянна, а фаза модулируется при движении сигнала после генератора.

Спектр колебания с гармонической модуляцией частоты

Рассмотрим спектральный состав частотно-модулированного сигнала с гармоническим законом модуляции

E(t)

E sin[		t
0	0

	(

)sin

t]

.

(1.161)

Считая, что амплитуда модуляции мала(/ 1), разложим (1.161) в ряд Тейлора по (/ )sint и ограничимся членами первого порядка:

E(t)

E0

E0 sin 0t			sin t cos 0t
							(1.162)
sin	0t	sin( 0		)t		sin( 0	)t .
		2			2

Таким образом, в спектре в первом приближении присутствуют лишь частоты 0,0 + , 0 – , т.е. он аналогичен спектру сигнала, модулированного по амплитуде с той же частотой. Однако такое соответствие справедливо лишь при малых глубинах модуляции. При увеличении / существенную роль начинают играть и другие со-

65

ставляющие спектра в частотно модулированном сигнале. Поэтому, вообще говоря, сигнал, частота которого модулирована по гармоническому закону, содержит в своeм спектре бесконечное количество частот и этим принципиально отличается от ампли- тудно-модулированного по гармоническому закону сигнала. Частотная модуляция отличается от амплитудной также и тем, что при амплитудной модуляции связь между спектром сигнала и спектром модулированного колебания линейна. При амплитудной модуляции добавление новой частоты в спектр сигнала добавляет соответствующую частоту в спектр модулированного колебания, не изменяя амплитуд остальных частот. При частотной модуляции добавление новой частоты приводит не только к добавлению в спектр модулированного колебания многих новых частот, но и к изменению амплитуды существующих.

Спектр колебания (1.161) при произвольных значениях / выражается посредством функции Бесселя Jn(x) с целым индексом n и здесь не рассматривается.

66

3. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА

3.1Интерференция света

Если при наложении световых пучков интенсивность света оказывается не равной сумме интенсивностей, а периодически меняется от точки к точке, образуя систему темных и светлых линий, то говорят, что имеет место интерференция света.

Интерференция характерна для волн любой природы и сравнительно просто наблюдается на опыте для волн на поверхности воды или для звуковых волн. Наблюдать же интерференцию световых волн можно лишь при определенных условиях. Известно, что если некоторая поверхность освещается двумя лампочками, то освещенность в любой точке равна сумме освещенностей, создаваемых каждой лампочкой отдельно. В этом случае имеет место закон сложения интенсивностей, который выполняется для независимых источников света (ламп, свечей и т.п.). Однако возможны случаи, когда этот закон нарушается. Опыт показывает, что если накладываются пучки света, исходящие от одного и того же источника, но прошедшие разные оптические пути до места встречи, то при определенных условиях наложение таких пучков дает распределение интенсивности света в виде чередующихся светлых и темных полос так называемую интерференционную картину.

Способность света давать интерференционную картину была названа когерентностью. Когерентность (от лат. cohaerens находящийся в связи) коррелирование протекание во времени и в пространстве нескольких колебательных или волновых процессов. Ясно, что когерентность связана со структурой света. Когерентный свет это свет с высоко упорядоченной структурой, структура которого близка к плоской или сферической гармонической волне. В противоположность этому некогерентный свет, т.е. свет, не способный давать интерференцию и подчиняющийся закону сложения интенсивности, имеет сложную, случайную структуру светового поля, создаваемого обычными (нелазерными) источниками света. Свет таких источников образуется в результате наложения огромного числа элементарных сферических волн, испускаемых независимыми осцилляторами (атомами), и поэтому сильно отличается по своей структуре от идеальной гармонической волны. Свет имеет структуру хаотически модулированной волны. Поэтому в теории интерференции используются представление о случайном световом поле и методы статистического описания световых полей.

На опыте для наблюдения интерференции свет от одного источника нужно разделить на несколько пучков и затем наложить их друг на друга. Все существующие экспериментальные методы получения когерентных пучков из одного светового пучка можно разделить на два класса. В методе деления волнового фронта пучок пропускается, например, через два близко расположенных отверстия в непрозрачном экране. Такой метод пригоден лишь при достаточно малых размерах источника. В другом методе пучок делился на одной или нескольких частично отражающих, частично пропускающих поверхностях. Этот метод деления амплитуды может применяться и для протяженных источников. В зависимости от числа интерферирующих пучков различают двухлучевую и многолучевую интерференцию.

67

Интерференция монохроматического света

Монохроматическая идеализация оказывается достаточной для решения многих задач. В частности, при изучении явлений интерференции она пригодна для определения положения максимумов и минимумов интерференционной картины.

Рассмотрим суперпозицию двух монохроматических волн одинаковой частоты, которые возбуждают в интересующей нас точке пространства колебания одинакового направления с амплитудами А1 и А2. Если разность фаз этих колебаний равна , то возникает результирующее колебание с амплитудой A, которую легко найти с помощью векторной (или фазовой) диаграммы (рис. 1) и теоремы косинусов:

A2

2	2	2A A cos
A	A
1	2	1	2

.

(1.163)

Ðèñ. 1

A A2

A1

Р и с. 3.1.

Если разность фаз постоянна во времени, то такие колебания (и волны) будут когерентными. Принимая во внимание, что интенсивность I пропорциональна квадрату амплитуды, I~A2 , формулу (1.163) перепишем так:

I I1 I2 2	I1I2 cos		(1.164)

Последнее слагаемое в этой формуле и в (1.163) называют интерференционным слагаемым. Рассмотрим его влияние на результирующую интенсивность.

В точках пространства, где cos > 0, I > I1 + I2; там же, где cos < 0, I < I1 + I2. Следовательно, при суперпозиции когерентных волн происходит перераспределение интенсивности в пространстве: в одних местах возникают максимумы, в других – минимумы интенсивности, что и составляет суть явлений интерференции волн. Особенно (контрастно) отчетливо интерференция проявляемся тогда, когда I1 = I2. Тогда, согласно (1.164), I = 4I1, в максимумах и I = 0 в минимумах.

Если по каким-то причинам непрерывно изменяется, причем так, что принимает с равной вероятностью любые значения, среднее по времени значение < cos > = 0, последнее слагаемое в (1.163) и (1.164) обращается в нуль и можно записать:

I I	I	2
1

(1.165)

Это значит, что в данном случае интенсивность результирующего колебания равна сумме интенсивностей, создаваемых каждой из волн в отдельности. Интерференция не наблюдается, а оба колебания не согласованы друг с другом и их называют некогерентными.

68

Общая интерференционная схема

Основной принцип любой интерференционной схемы по получению когерентных световых волн от обычных источников состоит в следующем: волну, излучаемую одним источником света, разделяют тем или иным способом на две части и затем накладывают их друг на друга подходящим способом. Образовавшиеся после разделения волны во всех схемах можно представить как бы исходящими из двух точечных источников S1 и S2 (действительных или мнимых это не существенно). Поэтому общий подход к интерпретации получаемых результатов будет единым.

Если разность хода этих волн от источника до точки наблюдения не превышает некоторой характерной длины, то случайные изменения амплитуды и фазы световых колебаний в двух волнах происходят согласованно (когерентно) и можно будет наблюдать интерференционную картину.

Рассмотрим две волны, исходящие из когерентных источников S1 и S2 (рис.3. 2)

				x	Ðèñ. 2
				M (x)
			r
			1
S			r
1
			2
d				I 0	I (x)
		l
				x
S
2
				x

Ри с. 3.2

Вобласти, где эти волны перекрываются ее называют зоной интерференции должна возникать система чередующихся максимумов и минимумов освещенности, которую можно наблюдать на экране.

Обозначим разность расстояний r2 и r1 от источников до интересующей нас

точки М как = r2 – r1. Эту величину называют разностью хода. Если разность хода равна целому числу длин волн, т.е.:

m , m 0, 1, 2, ... ,

(1.166)

где m порядок интерференции, то колебания, возбуждаемые в точке обеими волнами, будут происходить в фазе

		2		2
					m 2m .

Таким образом, условие (1.166) есть условие возникновения интерференционных максимумов.

В точках, для которых	2m 1 / 2	, а разность фаз	(2m 1) ,
образуются минимумы.

69

Вслучае, когда волны от источников распространяются не в вакууме, а в среде

споказателем преломления n, в формуле (1.166) под следует понимать не геометрическую, а оптическую разность хода интерферирующих волн:

= n(r2 –r1).

При этом по-прежнему длина волны в вакууме.

Ширина интерференционной полосы

В практически важных случаях, sin < < 1, (рис.3. 2) и разность хода можно записать как ≈ d, где d расстояние между источниками S1 и S2. С другой стороны, ≈ x/ , где расстояние от источников до экрана. Тогда для максимумов, согласно (1.166), получим:

x	d	m ,
m

	откуда xm m		.
		d

(1.167)

В точке x = 0 расположен максимум, соответствующий нулевой разности хода. Для него порядок интерференции m = 0 . Это центр интерференционной картины. При переходе к соседнему максимуму m меняется на единицу, а x – на величину x, которую называют шириной интерференционной полосы. Таким образом,

	x
		d

или x ,

(1.168)

где угол, под которым видны оба источника из центра экрана, = d/ . Из формулы (1.168) видно, что для увеличения ширины полосы следует увеличивать , или уменьшать d, т.е. уменьшать угловое расстояние между источниками.

Для получения более яркой интерференционной картины в качестве источников S1 и S2 используют две щели (или изображения исходного источника - щели S), и интерференционная картина будет иметь вид чередующихся светлых и темных полос, параллельных данным щелям.

Распределение интенсивности

Рассмотрим идеализированный случай, когда источники S1 и S2 строго монохроматические. В интересующую нас точку экрана колебания от этих источников будут приходить практически с одинаковой амплитудой, A1 = A2 = A0.

Тогда, согласно (1.163),

2	2	2	2	2
A	2 A	2 A	cos 2 A	1 cos 4 A
	0	0	0	0

где – разность фаз, которая зависит от разности хода

В нашем случае, d	xd	, следовательно
			2 xd	.

cos	2
		2

как

	,

2 .

(1.169)

(1.170)

70

Переходя к интенсивности и учитывая формулу (1.170), получим

I

I0

2	x
cos

,

(1.171)

где

		d

; I0 – интенсивность в максимумах, в минимумах интенсивность равна

нулю. Полученное идеализированное распределение интенсивности I(x) представлено на рис.3 2.

3.2 Когерентность Длина когерентности

Известно, что строго монохроматический свет – это идеализация. Реальный свет, как бы мы не старались его монохроматизировать, остается в той или иной степени немонохроматическим, представляющим собой набор монохроматических компонент в некотором конечном интервале длин волн (, + ). Примем, что эти монохроматические компоненты равномерно заполняют указанный интервал.

Как было показано,ширина полос x ~ . Изобразим положения максимумов для волн, соответствующих крайним значениям спектрального интервала (, + ) : сплошными отрезками – для , пунктирными – для + (рис.3.3). Максимумы же от промежуточных длин волн заполняют интервал между крайними максимумами каждого порядка интерференции.

Ри с. 3.3

Врезультате промежуточные максимумы, как видно из рис. 3.3, будут

постоянно заполнять интервал между максимумами соседних порядков для и+ . А это значит, что результирующие максимумы (нижняя часть рисунка) будут постепенно размываться, и качество интерференционной картины станет хуже. Отчетливость интерференционной картины количественно характеризуется ее видимостью:

V		Imax Imin	.	(1.172)
		Imax Imin
Максимальная видимость (V = 1)		достигается при		Imin = 0, а минимальная

(V = 0) – при Imax = Imin, т.е. когда интерференционная картина отсутствует.

71

С помощью рисунка можно заключить, что	полосы исчезнут там, где
m( + ) (m + 1) , здесь m – предельный порядок	интерференции, начиная с
которого полосы исчезают. Отсюда:

m



.

(1.173)

Величина / характеризует степень монохроматичности света: чем она больше, тем больше и степень монохроматичности.

Таким образом, мы нашли то значение m, при котором картина интерференции исчезает, т.е. складываемые колебания становятся уже некогерентными. Найденное значение m (1.173) определяет так называемую длину когерентности:

Отсюда следует, что

cog m .

				2
	cog

.

(1.174)

Видно, что длина когерентности световой волны непосредственно связана со степенью монохроматичности (/): чем больше последняя, тем больше и длина

когерентности. Для солнечного света		cog 5,	для	лучших	(не	лазерных)
источников света удалось получить	cog порядка нескольких десятков сантиметров.
Лазеры позволили получить излучение		с cog порядка		сотен	метров	(и даже
нескольких километров).
Итак, можно утверждать, что	для	получения	интерференционной картины

необходимо, чтобы оптическая разность хода складываемых колебаний была меньше длины когерентности:

cog .

Это требование касается всех установок, с помощью которых мы хотим наблюдать картину интерференции.

В заключение заметим, что длина когерентности связана с так называемым

временем когерентности cog – промежуток времени, в течение которого случайные изменения фазы световой волны в данной точке достигают значения порядка . За это время волна распространяется на расстояние порядка cog = c cog.

До сих пор размер источников предполагался малым (часто говорят точечный источник). Увеличение размеров источника, как и уменьшение степени монохроматичности света приводит к ухудшению (размытию) интерференционных полос и даже к полному их исчезновению.

Ширина когерентности

Рассмотрим первую экспериментальную установку для демонстрации интерференции, предложенную Юнгом (опыт Юнга). В ней яркий пучок света освещал узкую щель S (рис. 3.4). Прошедший через щель свет вследствие дифракции образует расходящуюся волну, которая падает на две узкие щели S1 и S2. Эти щели действуют как вторичные когерентные источники и, исходящие из них дифрагированные волны, перекрываясь, дают на экране Э систему интерференционных полос.

72