Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

d резкость главных максимумов возрастает ( уменьшается) с ростом числа штрихов N.

4.6Дифракция Фраунгофера на отверстиях произвольной

формы.

Рассмотрим теперь дифракцию Фраунгофера при падении плоской волны на отверстие в экране. В отличие от длинной щели здесь волны дифрагируют во всех направлениях. Каждой точке наблюдения Р соответствует определенное направление дифрагировавших волн, характеризуемое единичным вектором s (рис. 4.28).

Ри с. 4.28

Вкачестве вспомогательной поверхности ξ выберем плоскость экрана xОy.

Разность хода идущих по направлению s	вторичных	волн из
поверхности и из начала координат O равна проекции		вектора

положение d в плоскости xОy на направление s , т.е.

( r s ).

принципом Гюйгенса-Френеля напряженность поля в точке Р интегралу по всей площади отверстия в экране:

E(P) ~		E(r )e	ik (r s )	d		E(r )e	ik r	d ,

элемента d этой

	, определяющего
r

В соответствии с пропорциональна

(1.313)

где

k ks

– волновой вектор света, дифрагировавшего в направлении

s .

Опущенный в (1.313) коэффициент наклона K() можно считать постоянным, когда размеры отверстия много больше длины волны, и заметную интенсивность имеют лишь волны, дифрагировавшие на малые углы . Напряженность E(r ) в плоскости

xОy, считается равной напряженности поля падающей волны в пределах отверстия экрана и равной нулю за его пределами. Понимая функцию E(x, y) именно так, можно распространить интегрирование в (1.313) на всю плоскость xОy:

E(P) E(x, y)e i(kx x ky y)dxdy E(kx , k y ) .

(1.314)

Отсюда видно, что поле в фраунгоферовой дифракционной картине, т.е. в фокальной плоскости объектива, представляет собой (с точностью до постоянного

133

множителя) двухмерное преобразование Фурье функции E(x, y), описывающей поле в плоскости xОy. Функция E(kx, ky), т.е. фурье-образ искаженного препятствием волнового поля E(x, y) в плоскости xОy, пропорциональна комплексной амплитуде плоской волны, дифрагировавшей в определенном направлении kx, ky. Пространственное разделение волн, дифрагировавших в разных направлениях, позволяет наблюдать отдельные фурье-компоненты функции E(x, y). Поэтому можно считать, что в дифракции Фраунгофера физически осуществляется разложение функции E(x, y) в двухмерный интеграл Фурье.

При нормальном падении плоской волны на прямоугольное отверстие со сторонами a и b, параллельными осям x и y из (1.314) находим:

a / 2

b / 2

i(k

x k

y)

sinU sinU

0

0

e

x

y

1

2

E(P) ~ E

dxdy E ab

a / 2 b / 2

U

U

2

1

,

(1.315)

где U1 = kxa/2, U2 = kyb/2, E0 – амплитуда волны в плоскости экрана с отверстием. Распределение интенсивности в дифракционной картине определяется формулой

	sinU			2	sinU
J J
	0	1						2
		U				U
							2
		1

	2

.

(1.316)

Когда длина одной из сторон много больше длины другой, мы приходим к выражению для дифракции на длинной щели. В дифракционной картине от прямоугольного отверстия (рис. 4.29) распределение интенсивности в соответ-ствии с (1.315) дается произведением распределений от взаимно перпендику-лярных щелей.

а

à)

Ðèñ. 2

б	á)

Р и с. 4.29

Интенсивность равна нулю вдоль двух рядов линий, параллельных сторонам прямоугольника. Заметную интенсивность имеют лишь средние цепочки максимумов, образующие "крест" на рис. 4.29а. Относительная высота максимумов интенсивности, расположенных вдоль этих линий, характеризуется соотношением

1 : 0,047 : 0,017 : … 1 : 2/32 : 2/52 : …

(1.317)

134

Величина остальных максимумов столь мала (0,2% для ближайших к центру), что они трудно наблюдаемы. Большая часть светового потока приходится на центральный максимум, и именно его можно рассматривать как изображение находящегося в фокусе коллиматора точечного источника, получающееся в

Р и с. 4.30

фокальной плоскости объектива при ограничении сечения, формирующего изображение пучка света прямоугольной диафрагмой. Это изображение шире в направлении более короткой стороны прямоугольника.

Дифракция Фраунгофера от круглого отверстия представляет большой практический интерес, так как в оптических приборах оправы линз и объективов, а также диафрагмы имеют обычно круглую форму. При вычислении интеграла (1.314)

целесообразно перейти к полярным			координатам и	в плоскости отверстия:
x = cos ,	y = sin. Направление	s	дифрагировавшей		волны, соответствующее
точке Р,	удобно характеризовать	углом с осью Оz		и	азимутальным углом :

kx = ksin cos , ky = ksin sin. Тогда kxx + kyy = k sin cos( – ) и интеграл (1.314)

принимает вид

0	a 2
E(P) ~ E

e	ik sin cos( )	d d

,

(1.318)

0

0

d d – элемент площадки, a – радиус отверстия. Используя интегральное представление для бесселевых функций нулевого порядка

			2
J		(z)	1	2 eiz cos d ,	(1.319)
	0
				0

выразим E(p) через интеграл от J0(ksin ), который вычисляется с помощью соотношения

zJ0 (z)dz

zJ	1	(z)

,

(1.320)

где J1(z) – функция Бесселя первого порядка.

Дифракционная картина от круглого отверстия имеет вид концентрических светлых и темных колец (рис.4.29б) со следующим радиальным распределением интенсивности:

			2J	(U )		2		2 a sin
I ( ) J	0		1				, U ka sin
			U

		2 a

,

(1.321)

135

где – угол дифракции. График этой функции приведен на рис. 4.30. Она имеет главный максимум при U = 0 и с ростом U осциллирует с быстрым уменьшением амплитуды, подобно функции (sinU/U)2, описывающей дифракцию на щели. Угловые радиусы m темных колец равны 0,61/a, 1,12 /a, 1,62 /a. Расстояние между соседними кольцами с увеличением их номера приближается к /2a. Эффективный размер дифракционной картины и здесь обратно пропорционален размеру отверстия. Интенсивность максимумов быстро уменьшается: уже в ближайшем максимуме она составляет менее 2% от интенсивности центрального максимума, на который приходится 84% проходящего через отверстие светового потока. Поэтому центральный максимум (диск Эйри), имеющий угловой радиус

	0,61
1		a

,

(1.322)

можно рассматривать как изображение точечного источника, уширенное дифракцией на круговой диафрагме радиусом a. Соотношение (1.322) играет важную роль в вопросе о разрешающей силе оптических инструментов.

Важно отметить, что распределение интенсивности в фраунгоферовой дифракционной картине не изменится, если отверстие сместить в плоскости экрана в сторону, не изменяя его ориентации. Картина в фокальной плоскости объектива всегда симметрична по отношений к его оси независимо от положения отверстия. Особый интерес представляет случай, когда в экране имеется большое число N одинаковых отверстий. При правильном, регулярном, расположении отверстий, когда их ориентация и расстояния между ними одинаковы, разность фаз между волнами, дифрагировавшими от соседних отверстий, имеет определенное значение. Интерференция этих волн существенно влияет на дифракционную картину. В направлениях, для которых разность фаз кратна 2 , амплитуда дифрагировавших волн в N раз больше, а интенсивность в N2 раз больше, чем от одного отверстия. Такое резкое увеличение интенсивности для некоторых направлений имеет большое практическое значение. Случай регулярного расположения отверстий подробно рассмотрен на примере дифракционной решетки.

При хаотическом, беспорядочном расположении отверстий фазовые соотношения между волнами от отдельных отверстий имеют случайный характер. Поэтому для каждого направления наблюдения происходит простое сложение интенсивностей волн, дифрагировавших от всех отверстий. Распределение интенсивности в дифракционной картине от одного отверстия не зависит от его положения. От большого числа N отверстий получается такая же картина, усиленная по интенсивности в N раз.

4.7Теория дифракции Кирхгофа

Основная задача теории дифракции состоит в отыскании структуры светового поля при наличии препятствий.

После открытия уравнений электродинамики и электромагнитной природы света была сформулирована математическая задача дифракции как задача отыскания решения волнового уравнения, удовлетворяющего определенным граничным условиям:

136

		1				2	E
	E							0
		c	2		t		2

+ граничные условия.

(1.323)

Общий метод решения данной задачи был предложен Густавом Кирхгофом. Ему удалось показать, что дифракционный интеграл Гюйгенса-Френеля можно рассматривать как приближенное решение задачи дифракции (1.323). Таким образом, френелевская теория дифракции получила математическое обоснование. Рассмотрим коротко основные идеи теории Кирхгофа.

Уравнение Гельмгольца

Поскольку в задачах дифракции интересуются пространственной структурой поля, то монохроматическое поле можно представить в виде,

где

r

	E r ,t	1	r exp i t к. с.	(1.324)
		2

– комплексная амплитуда. Подставив (1.324) в (1.323), получим, что часть

поля, зависящая от координат, удовлетворяет волновому уравнению, не зависящему от времени,

k2

0

.

(1.325)

Уравнение (1.325) называется уравнением Гельмгольца.

	Простейшие решения уравнения (1.325) представляют собой плоскую волну
	0 exp ik r			(1.326)
	и сферическую волну
	А	exp ikr	.	(1.327)
		r

В силу линейности уравнения Гельмгольца ему удовлетворяет также произвольная совокупность плоских волн, распространяющихся во всевозможных направлениях, и произвольная совокупность сферических волн, возникающих в разных точках пространства. А поэтому в основу решения задачи дифракции (1.323) можно положить идею спектрального разложения, согласно которой любое световое поле можно представить в виде набора плоских или сферических волн. В теории Кирхгофа реальное световое поле представляется в виде совокупности сферических волн.

Интегральная теорема Кирхгофа-Гельмгольца

Согласно этой теореме, амплитуду поля в некоторой точке P можно вычислить, если известна амплитуда поля и ее производная по нормали /n на какой-либо поверхности S, охватывающей точку Р. А именно:

P

		1
		4
		G

G		n
S
exp ikr
		r

	G	dS
	n

	,

,

(1.328)

(1.329)

G – функция точечного источника, или функция Грина для уравнения Гельмгольца.

137

	n	M
	ds
		S
		P

Р и с. 4.31

Применительно к задаче дифракции Кирхгоф предложил использовать следующие приближенные граничные условия для светового поля: в пределах отверстий поле таково, как если бы препятствий нет, а на теневой стороне экранов поле равно нулю. Ввиду малости длины световой волны эти приближенные условия обеспечивают достаточную точность вычислений.

Для задачи о дифракции сферической световой волны на отверстии теория Кирхгофа дает следующий результат:

P

S

	M	exp ikr
		r

K dS

,

(1.330)

где

K	i		1 cos
				.	(1.331)
			2

Интеграл (1.330) в точности совпадает с дифракционным интегралом ГюйгенсаФренеля. Однако вид функции K(), предполагаемый Френелем, оказывается не совсем точным. График функции (1.331) показан на рис. 4.32.

Р и с. 4.32

Основной вклад в дифракционный интеграл вносят центральные (приосевые) зоны Френеля, для которых 1. Полагая K( ) = K(0) = i/ получим

P	i	M	exp ikr	dS .	(1.332)
		S	r

В такой форме дифракционный интеграл совпадает с интегралом ГюйгенсаФренеля. Коротко остановимся на выводе формул (1.330), (1.331).

Пусть есть точечный монохроматический источник света, расположенный в точке P0. Вычислим световое поле в некоторой точке P при условии, что между точками Р0 и Р имеется препятствие, например, экран с отверстием (рис. 4.33).

138

Р и с. 4.33	Р и с. 4.34
Согласно теории Кирхгофа-Гельмгольца, дифракционное световое поле в точке
P определяется интегралом (1.328) по произвольной поверхности S, охватывающей
эту точку. Выберем поверхность S состоящей из трех частей: поверхности ,
стягивающей отверстие в экране, поверхности S1	теневой части экрана и сферической

поверхности S2 достаточно большого радиуса R с центром в точке Р. Вид поверхности S показан на рис. 4.34.

Физические соображения показывают, что основной вклад в световое поле в точке P должен давать интеграл по поверхности , поскольку именно через отверстие в экране свет от источника проникает в точку P. Следовательно,

P	1					G
	4	G		n		d
						n

,

(1.333)

где G – функция Грина, r – расстояние между точками M и P, n – единичный вектор внутренней нормали к поверхности в точке M. Поверхность удобно выбрать в виде сферической поверхности с центром в точке P0, где расположен точечный источник света.

Вычислим производную G/n. Как видно из рис. 2 n n0 . Поэтому можно

записать G/n = – G/n0. Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

G G

n0 r

G			ik	1
r				r

 

 

	r		;
	n
	0
G ik G.

Поскольку в оптике, как правило, r и, следовательно, k 1/r, то это приближение, называемое оптическим, обычно обеспечивает достаточную точность.

Как видно из рис. 4.35,

rn0

		lim		r
				n
		n	0
		0		0

cos

.

139

Р и с. 4.35

Таким образом,

	G	ik G cos .	(1.334)
	n
	0

Теперь вычислим производную /n. Так как эта производная вычисляется в точке M на поверхности ,

M A	exp ik	,
0

где A0 – постоянная, – расстояние от точки Р0 до точки М. Выполняя вычисления подобно тому, как это было сделано для производной G/n, получим



так что:

n

n

	ik		1
		1,				,
	n
		ik .
	n

	,
ik ,

(1.335)

Подставляя (1.329), (1.334), (1.335) в (1.328), получим (1.332), (1.333).

Показано, что приближенное решение волнового уравнения для светового поля, данное Кирхгофом, подтверждает френелевскую теорию дифракции, В настоящее время теория Френеля сохраняет свое значение, прежде всего, как система наглядных образов, хорошо раскрывающая физику дифракции света. Формулировка задачи дифракции, основанная на теории Максвелла, позволяет использовать для решения дифракционных задач хорошо разработанный аппарат математической физики, в частности, метод спектрального разложения, метод параболического уравнения, а также применять мощные и универсальные методы численного моделирования.

4.8Основные понятия Фурье-оптики

Идеи и методы, связанные с направленным воздействием на световые поля с целью формирования заданной структуры поля, объединяют понятием ”фурьеоптика". Тем самым подчёркивается основополагающая роль спектральных

140

представлений для решения задач, связанных с анализом, преобразованием и синтезом световых полей.

Спектральное разложение, основанное на преобразовании Фурье, позволяет представить произвольное световое поле со сложной пространственно-временной структурой в виде суперпозиции плоских монохроматических волн. В силу линейности волнового уравнения, каждая из этих волн распространяется в вакууме или в линейной оптической среде независимо от других волн, что дает возможность свести анализ преобразования сложного поля к задаче о преобразовании элементарной волны. Результирующее поле находят затем путем суммирования прошедших через систему плоских монохроматических волн.

Указанные процедуры – анализ, преобразование и синтез световых полей – являются не только просто математическими операциями, но во многих случаях отчётливо проявляются как реальные физические процессы. Так, при свободной дифракции светового пучка в дальней зоне формируется устойчивое пространственное распределение интенсивности излучения, повторяющее по форме угловой спектр пучка. Такую же форму, только в значительно меньшем масштабе, имеет распределение поля в фокальной плоскости линзы. В обоих случаях осуществляется пространственное спектральное разложение поля. Различные операции над световыми полями, выполняемые в фокальной плоскости линзы с помощью разного рода экранов, масок, фазовых пластин, являются

пространственными аналогами частотной фильтрации электрических колебаний,

применяемой в радиотехнике.

Спектральное описание пространственной структуры поля

Поле световой волны, распространяющейся в свободном пространстве, подчиняется волновому уравнению:

E 1 2E 0 , c2 t2

где

			2				2				2
		x		2		y		2		z		2

(1.336)

,

– оператор Лапласа. Ограничимся рассмотрением дифракции монохроматической волны. Полагая

	E r ,t	1	r exp i t		+ к. с.,
		2
	получим для комплексной амплитуды r			уравнение Гельмгольца:
				2	(1.337)
	k 0 ,
	где k = /c. Задача дифракции состоит		в	отыскании	решения уравнения (1.337),
	удовлетворяющего граничному условию
	x, y, z 0 x, y .				(1.338)

Такое условие возникает, например, при прохождении света через экран типа "чёрная маска", плоский транспарант, вносящий фазовую неоднородность и т.п.

Разложим двумерное световое поле 0(x,y), заданное в начальном сечении z = 0, в интеграл Фурье

141

		1		2
0					0 kx , k y exp i kx x
	x, y
		2

Здесь пространственная спектральная амплитуда обратным преобразованием Фурье:

k y y dkxdk y .

(1.339)

0(kx,ky) определяется

0

Световое поле (x, аналогичном (1.339), но со

kx , k y			x, y exp i kx x k y y dxdy .
		0		(1.340)

y, z) в произвольной точке пространства ищем в виде, спектральной амплитудой, зависящей от z:

0		1
	x, y, z	2

	2
		0 kx , k y , z exp i kx x k y y dkxdk y

.

(1.341)

Подставляя (1.341) в (1.337), находим уравнение для спектральной амплитуды

(kx,ky,z):

2
		k	2	2	2	0						(1.342)
z	2			kx	k y
и его решение			kx , ky exp iz								.
kx , ky , z 0								2	2	2
							k		kx	k y		(1.343)

Подставив теперь (1.343) в (1.341), получим

x, y, z

	1 2			kx , k y exp i kx x k y y z																dkxdk y ,
													2		2			2
			0									k		kx			k y
	2
или, с учетом (1.340)
		x, y, z
																		,
									0 x , y		h x x , y y , z dx dy
где введена функция
						1		2			i kx x k y y z										dkxdk y
									exp					k	2			2		2
	h x, y, z				2											kx			k y

(1.344)

(1.345)

,(1.346)

называемая функцией Грина данной линейной системы. Введем так же функцию
kx , k y , z exp iz k 2 kx2 k y2 ,	(1.347)

называемую частотным коэффициентом передачи системы. Из формул (1.343) и (1.347) следует, что

		kx , ky , z 0 kx , ky kx , ky , z .			(1.348)
Кроме того, в силу (1.346), (1.347)
h x, y, z
	1 2				(1.349)
			kx , k y , z exp i kx x k y y dkxdk y
	2

и, следовательно,

142