Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

S	P
	D

P

Р и с. 3.19

Учитывая изменение фазы на при отражении на одной из поверхностей пластинки, получим из (1.179) и (1.241), что в точке P будет находиться максимум интенсивности, если разность фаз кратна 2 , или, что эквивалентно, при выполнении условия

2hn cos
	2		0
2			2
и минимумы интенсивности при
2hn cos
	2		0
2			2

	m , m = 0,1,2...
	(2m 1)	0	, m = 0,1,2...,
		2

(1.242)

(1.243)

где

cos2

среднее значение для тех точек источника, свет от которых доходит в P.

Величина hn2, присутствующая в последних соотношениях, представляет собой оптическую толщину пластинки в точке P, и если наше приближение остается в силе, то интерференционный эффект в P не зависит от толщины пластинки в других местах. Отсюда следует, что соотношения (1.242), (1.243) остаются справедливыми даже при неплоских поверхностях пластинки при условии, что угол между ними

остается малым. Тогда если cos2 достаточно постоянен, то интерференционные

полосы соответствуют совокупности мест пленки, где оптические толщины одинаковы. По этой же причине такие полосы называют полосами равной толщины. Такие полосы можно наблюдать в тонкой воздушной прослойке между отражающими поверхностями двух прозрачных пластинок, когда направление

	наблюдения близко к нормальному,	cos2 1и условие минимума (1.243) примет
	вид:
	2hn2		0	(2m 1)	0	,
			2		2

т.е. темные полосы пройдут в тех местах прослойки, толщина которых удовлетворяет условию

где

		0
		n

h	m	, m = 0, 1, 2, ...,	(1.244)
2

длина волны в воздухе.

93

Таким образом, полосы вырисовывают контуры слоев равной толщины. Если толщина слоя всюду постоянна, интенсивность по всей его поверхности одинакова. Это широко используется для контроля качества оптических поверхностей.

При клиновидной воздушной прослойке между плоскими поверхностями полосы будут проходить параллельно ребру клина на одинаковом расстоянии друг от друга. Линейное расстояние между соседними светлыми или темными полосами равно /2, где угол при вершине клина. Таким способом легко измерять углы порядка 0,1 и меньше, а также обнаруживать дефекты поверхности с точностью, недоступной другим методам (0,1 и менее).

Кольца Ньютона являются классическим примером интерференционных полос равной толщины. Роль тонкой пластинки переменной толщины, от поверхностей которой отражаются когерентные волны, играет воздушный зазор между плоскопараллельной пластинкой и выпуклой поверхностью плосковыпуклой линзы с большим радиусом кривизны, соприкасающейся с пластинкой. Чтобы наблюдать много колец, надо пользоваться светом сравнительно высокой монохроматичности.

Интерференционная картина, локализованная в пленке, видна также и в проходящем свете. Как и в случае плоскопараллельной пластинки, картины в отраженном и прошедшем свете дополнительны. Т.е. светлые полосы одной появляются в тех же местах пленки, что и темные полосы другой. При использовании слабо отражающих поверхностей полосы в проходящем свете видны плохо вследствие значительного неравенства интенсивностей интерферирующих пучков.

3.7Многолучевая интерференция

При падении пучка света на прозрачную пластинку на ее поверхности происходят многократные отражения, в результате чего с каждой стороны пластинки выходит ряд пучков с убывающей амплитудой. Рассматривая интерференционные эффекты, возникающие с такими, мы пренебрегали вкладом в результирующую интенсивность пучков, испытавших больше двух отражений. Такое допущение оправдано при малой отражательной способности поверхностей. Теперь мы учтем все отраженные пучки и покажем, что при большой отражательной способности поверхностей распределение интенсивности в интерференционной картине изменяется.

Рассмотрим плоскопараллельную прозрачную пластинку с показателем преломления n2, находящуюся в среде с показателем преломления n1, и предположим, что на эту пластинку под углом 1 падает плоская волна монохроматического света. Пусть луч CB1 (рис. 3.20) представляет направление распространения падающей волны.

94

									C		P'
									1	C
n
										2
1
C
			F								L'
	1
B	1		B	2			B	3
n
2
		2
		D	1		D	2		D	3
					H
n
1
											E
											3
										E
										2	P
									E	1
Ðèñ. 1										L

Р и с. 3.20

На первой поверхности эта волна разделяется на две плоские волны: одну, отраженную в направлении B1C1 и другую, прошедшую в пластинку в направлении B1D1. Прошедшая волна падает на вторую поверхность под углом 2 и здесь снова разделяется на две плоские волны: одну, прошедшую в направлении D1E1, и другую, отраженную обратно в пластинку в направлении D1B2. Такой процесс деления волны, остающейся в пластинке, продолжается как показано на рисунке.

Пусть E0 амплитуда электрического вектора падающей волны. E0 может быть комплексной. Она содержит постоянную часть фазы соответствующей волновой

функции. Переменная часть ее, как известно, имеет вид ( t k r ). Для каждого члена совокупности отраженных или прошедших волн переменная часть фазы волновой функции отличается от такой же части фазы предыдущего члена на величину, соответствующую двукратному прохождению луча в пластинке. Эта разность фаз равна

		2	,	(1.245)
		0
где 0	длина волны в вакууме, оптическая разность хода для любой пары
соседних лучей. Например, для лучей B1C1 и B2C2, как видно из рис. 3.20,
	n2 (B1D1 D1B2 ) n1B1F ,			(1.246)

где F основание перпендикуляра, опущенного из B2 на B1C1. Если h толщина пластинки, а 1 и 2 — углы падения и преломления на верхней поверхности, то

95

Согласно (1.225),

2hn2

cos 2

,

а соответствующая разность фаз, равна

	4	hn	cos		.	(1.247)
				2
	2
	0

Следует также учитывать изменение фазы на , которое, согласно формулам Френеля, происходит при каждом отражении от верхней или нижней поверхности. Полная разность фаз равна поэтому

		4	hn2 cos2	.	(1.248)
		0

Если взять любую пару прошедших через пластинку лучей (например, D1E1 и D2E2), то для них полная разность фаз определяется формулой (1.247). Луч D2E2 дважды испытывает отражение (т.т. D1 и B2) в одинаковых условиях. Изменение фазы за счет отражения будет равно или 0 (если n2 > n1) , или 2 (если n1 > n2) и оно не учитывается.

Пусть для волны, идущей из окружающей среды в пластинку, –коэффициент отражения (отношение амплитуд отраженной и падающей волны), а – коэффициент пропускания (отношение амплитуд прошедшей и падающей волны); пусть далее и– соответствующие коэффициенты для волны, идущей из пластинки в окружающую среду. Вообще говоря, эти коэффициенты зависят от угла падения и состояния поляризация света, для границы двух прозрачных сред это показано с помощью формул Френеля. Если мы ограничимся малыми углами 1, то и практически не зависят от угла падения и от поляризации падающего света и для них можно принять значения, соответствующие нормальному падению, а именно:

	2n						2n			n n						n	n
		1	,				2	,		1	2	,				2	1	.	(1.249)
	n	n					n n			n n						n n
	1	2					1	2		1	2					1	2

На границе прозрачных сред и вещественны, а отрицательное значение при n2 > n1 учитывает изменение фазы волны на при отражении от оптически более плотной среды. Из формул (1.249) легко видеть, что отражательная способность границы, или энергетический коэффициент отражения R, не зависит от того, идет свет из окружающей среды в пластинку или наоборот

R и что

	2				2
1			2	1

,

R

.

(1.250)

(1.251)

Поэтому комплексная амплитуда всей прошедшей волны представится

геометрической прогрессией:
E2 E0 E0 2 ei								E0 4 e2i				...
			2	i				4 2i					.	(1.252)
			e
										E0 1 2 ei
E0	1							e	...

96

Мы считаем, что пластинка достаточно длинная, так что число прошедших и отраженных лучей велико. Для нахождения интенсивности прошедшей волны умножим E2 в (1.252) на комплексно-сопряженную величину и воспользуемся формулами (1.250) и (1.251):

где

Таким же волны:

E
1

I E2 . пад 0

способом легко получить выражение для амплитуды отраженной

				i	E			3	e	2i	...
E E e
0	0				0

							2					4								i
				i				e	i				e	2i	...		E 1		e
E E e				1															1			e
0	0																0				2		i

Здесь учтено, что . Для интенсивности отраженной волны находим

.

2R 1 cos

4R sin

2

2

I

I

I

отр

пад

1

2R cos R

2

пад

1

R

2

4R sin2

2

.

(1.254)

Соотношения и (1.254) известны как формулы Эйри. Из них видно, что Iпр + Iотр = Iпад, как и должно быть при отсутствии поглощения.

Предположим теперь, что плоские волны равной интенсивности падают на пластинку под разными, мало различающимися углами и прошедший свет собирается линзой L. В некоторой точке P ее фокальной плоскости интенсивность прошедшего света относится к интенсивности в отсутствие пластинки, как Iпр /Iпад. Следовательно, формула дает распределение интенсивности в многолучевой интерференционной картине, наблюдаемой в фокальной плоскости линзы, там, где при отсутствии пластинки была бы равномерная освещенность. Максимумы Iпр /Iпад = 1 получаются при /2 = m (m – целое число). Подставляя сюда из (1.247), получаем то же условие, что и при двухлучевой интерференции, а именно

2hn cos	2
2

m 0

,

(1.255)

соответственно для минимума

2hn cos		2m 1
	2		0
2			2

.

(1.256)

При малом коэффициенте отражения R < < 1 формулы и (1.254) дают то же самое распределение интенсивности, что и при двухлучевой интерференции. Это распределение, однако, существенно изменяется при увеличении R, в особенности, когда R приближается к единице. На рис. 3.21, а приведены построенные по формуле кривые интенсивности прошедшего света в зависимости от .

При R < < 1 они имеют вид, типичный для двух интерферирующих пучков. С увеличением коэффициента отражения максимумы сужаются, а в промежутках между ними интенсивность становится очень мала. Отношение интенсивности в максимумах и минимумах, характеризующее контрастность интерференционных полос, как видно из , определяется только коэффициентом отражения:

97

I	max		1 R
Imin			1 R



2 2

.

Многолучевая интерференционная картина в прошедшем свете при значениях R, близких к единице, имеет вид узких светлых полос на почти совершенно темном фоне.

Подобное пространственное перераспределение поток энергии с концентрацией его в некоторых преимущественных направлениях всегда возникает при интерференции многих пучков. Чтобы наблюдались полосы, плоскопараллельную однородную пластинку нужно освещать рассеянным пучком, в котором имеются лучи самых разных направлений. Каждая интерференционная полоса образована лучами, падающими на пластинку под одинаковыми углами. Такие полосы носят название полос равного наклона. Так как каждая точка интерференционной полосы образована лучами, которые до прохождения линзы образуют параллельный пучок, то полосы локализованы в бесконечности (или в фокальной плоскости линзы). Полосы равного наклона имеют вид концентрических колец с центром на оси линзы. Центру картины соответствует наибольший порядок интерференции.

98

	I		пр	Iï ð
				Iï àä
	I
			1,0
		пад

Ðèñ. 2à

I R = 0,04

0,5		II
				R = 0,27
		III	R = 0,87
	2m		(2m+2)

I I

Iî òð
отр		Ðèñ. 2á
Iï àä
пад	III
1,0
	II
0,5
	I
2m	(2m+2)

Р и с. 3.21

Аналогично, если свет, отраженный от пластинки, собирается линзой L , то в ее фокальной плоскости так же появляются линии равного наклона. Из сравнения формул и (1.254) следует, что Iотр + Iпр = Iпад, поэтому в отраженном свете наблюдается дополнительная картина, т.е. там, где в отраженном свете наблюдается максимум, в проходящем будет минимум и наоборот. Это связано с тем, что разность фаз лучей в отраженном и проходящем свете, согласно (1.247) и (1.248), различается на . Кроме того, различным будет и качество картин. Полосы имеют вид узких темных колец на почти равномерном светлом фоне (рис. 3.21, б). Резкость полос принято измерять полушириной интенсивности или просто полушириной максимума.

Для картины в прошедшем свете она равна расстоянию между точками, лежащими по обе стороны максимума в том месте, где интенсивность уменьшается до половины максимальной величины. Отношение расстояния между соседними полосами к полуширине называют резкостью полос и обозначают буквой F. У полосы целого порядка m точки, где интенсивность равна половине максимальной величины находятся при

99

	2m		,
		2

где в соответствии с определяется соотношением

1					I		1 R			2				2	R
	I					пад						,	т.е.			sin		1.
2		пад							2m		2			1 R			4
			1 R	2				2
					4R sin
										2

Когда R достаточно велико, то настолько мало, что в последнем соотношении мы сможем принять sin ( /4) /4, и получим для полуширины

	2	1 R	.
		R

Так как расстояние между соседними полосами соответствует изменению на 2, то для резкости находим

F	2				R .
			1	R

До сих пор мы предполагали, что свет строго монохроматичен. В случае немонохроматического света распределение интенсивности равно сумме распределений интенсивностей типа , обусловленных каждой монохроматической компонентой. Из предыдущего ясно, что положение максимумов и минимумов зависит от длины волны монохроматической компоненты. Кроме того, при увеличении R распределение интенсивности становится более благоприятным для определения положения максимума, т.е. полосы, принадлежащие различным монохроматическим компонентам, в интерференционной картине в проходящем свете разделяются более четко. По этим причинам многолучевая интерференция находит большое практическое применение.

Интерферометр Фабри-Перо

Многолучевые интерференционные полосы, создаваемые плоскопараллельной пластинкой при почти нормальном освещении, используются в интерферометре Фабри-Перо. Основными частями его служат две стеклянные или кварцевые пластины P1 и P2, (рис. 3.22) с плоскими поверхностями. Внутренние поверхности пластин, покрытые частично прозрачными пленками с высокой отражательной способностью, параллельны, и воздух, заключенный между этими поверхностями, образует плоскопараллельную пластинку. Сами пластины делают слегка клиновидными, чтобы устранить вредные влияние света, отраженного внешними непокрытыми поверхностями. Пластины разделяют кольцом из инвара или кварца с тремя выступами на торцах, к которым пластины прижимаются пружинами. Кольца обработаны с большой точностью, так что положение плоскостей, заданное выступами, максимально близко к параллельному, а тонкая регулировка осуществляется изменением нажима пружин. Интерферометр такого типа с фиксированным расстоянием между пластинами называют эталоном Фабри-Перо.

Отражающими покрытиями пластин могут служить либо металлические пленки (чаще всего из серебра или алюминия) либо диэлектрические пленки из

100

чередующихся слоев материалов с высоким и малым показателем преломления, например, сульфида цинка (n = 2,3) и криолита (n = 1,35).

Ðèñ. 3

φ

P1	P	L
	P2

Р и

с. 3.22

Известно, что металлические пленки поглощают свет, поэтому использованное при выводе формул Эйри условие (1.251) должно быть заменено для них следующим

где А – доля светового потока, получается выражение

I	пр	I

		1 R A,

поглощаемая слоем металла. Тогда, например, вместо

		A		2		1 R		2
											.
пад 1					1 R	2	4R sin
		1 R							2		2

При прежнем характере пространственного распределения интенсивности в интерференционной картине поглощение приводит к ее общему уменьшению.

Многослойные диэлектрические покрытия мало поглощают свет и обеспечивают высокий коэффициент отражения. Но следует отметить, что коэффициент отражения таких покрытий высок только в ограниченной области длин волн вблизи длины волны 0, для которой оптическая толщина каждого слоя составляет 0/4.

1. Угловая дисперсия интерферометра находится дифференцированием выражения (1.255) по длине волны . Она определяет приращение угла d при единичном изменении длины волны, Получаем для максимума порядка m:

2hn sin d

md

,

(1.257)

откуда

D	d		m	.
	d		2hn sin

Учитывая малую величину угла (он составляет обычно сотые доли радиана) и подставляя значение m из (1.255), можем записать:

D		m		1		1
		2hn sin		tg

f

R

,

(1.258)

101

где f – фокусное расстояние объектива L (рис. 3.22) и R – радиус соответствующего углу интерференционного кольца порядка m. Из (1.258) следует, что угловая дисперсия не зависит от расстояния между зеркалами и других параметров интерферометра. Она неограниченно возрастает при приближении к направлению нормали ( = 0). Знак минус в (1.258) показывает, что с ростом угол для фиксированного максимума убывает.

2. Линейная дисперсия DR, определяющая приращение радиуса колец R при единичном изменении длимы волны света, может быть подсчитана следующим образом:

D		dR	fD		mf
R		d			2hn sin

f 2

R

.

(1.259)

Знак минус в последнем соотношении указывает, что увеличение длины волны соответствует уменьшению радиусов интерференционных колец.

3. Область дисперсии интерферометра, т.е. предельная ширина спектрального интервала , входящего в эталон света, при котором еще возможно получение не перекрывающихся интерференционных максимумов. Если интерференционное кольцо m-го порядка для длины волны совпадает с интерференционным кольцом длины волны порядка m + 1, то при одинаковых и R получим :

		m m 1 ,
	откуда			.
			m

В случае малых углов имеем соответственно:

			2
		2h
В волновых числах	1
		1
		2h

(1.260)

(1.261)

(1.262)

Величина

практически есть постоянная интерферометра. Она зависит

только от расстояния между отражающими поверхностями и не зависит от длины волны падающего света.

4. Разрешающая способность интерферометра Фабри-Перо, как и вообще любого спектрального аппарата, определяется выражением , где - максимальная разность длин воли двух бесконечно узких спектральных линий, которые еще может различить аппарат.

Реальные возможности интерферометра разделять две монохроматические линии, т.е. более или менее детально исследовать спектр излучения источника, в значительной степени определяются шириной и формой его максимумов, а также зависят от точности, с которой может быть измерен наблюдаемый контур этого максимума. Поэтому количественный критерий разрешающей способности можно сформулировать только условно. Условный критерий, удобный для сравнения

102