Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

Его называют лучевым вектором, так как направление переноса энергии – это и есть направление лучей. В изотропной среде лучи параллельны волновой нормали. Однако в анизотропной среде в общем случае это не так. Из рис. 6.4 видно, что вектор s ,

ортогональный векторам E	и	B , лежит в одной плоскости с	D ,	E	и	N	и составляет с
вектором N такой же угол		, что и вектор E с D .

Плоскость равных фаз перемещается вдоль вектора N со скоростью . Скорость перемещения этой плоскости вдоль вектора луча s называется лучевой скоростью и.

Когда N и s не совпадают, лучевая и фазовая скорости не равны и, как видно из рис. 6.4, связаны соотношением

= u cos = u

Ns

.

(1.490)

Особенности распространения лучей (т.е. переноса энергии) в анизотропной среде обусловлены как дисперсией волн (т.е. зависимостью фазовой скорости от частоты), так

и отличием направлений волновых нормалей

N

и лучей

s . Дисперсия в равной мере

присуща как изотропным, так и анизотропным средам. Чтобы выделить особенности, специфичные только для анизотропной среды, будем в дальнейшем пренебрегать дисперсией, т.е. полагать d d =0. В такой недиспергирующей среде вектор лучевой ско-

рости u us характеризует направление и скорость переноса энергии световой волны. Поэтому задача определения лучевой скорости в зависимости от направления луча представляет наибольший интерес и на ее решении будет сосредоточено основное внимание.

Преобразуем уравнения (1.488) так, чтобы вместо вектора волновой нормали N в них фигурировал лучевой вектор s , а вместо фазовой скорости – лучевая скорость и.

Для этого умножим векторно левую и правую части каждого из них на

s . Двойные век-

торные произведения в левых частях преобразуются следующим образом:

s N E N sE E sN / u E,

s N B N sB B sN / u B.

Здесь мы воспользовались тем, что вектор s в соответствии с (1.489) ортогонален векторам E и B , а произведение sN заменили на u с помощью формулы (1.490). В результате вместо (1.488) получаем

E u s B ,			0c	2	B u s D .			(1.491)
Теперь можно исключить из этих уравнений индукцию						B	магнитного поля:
c / u 2 0E s s D 0.
Раскрывая двойное векторное произведение и учитывая, что s 2 1,								получаем
уравнение, которому должны удовлетворять E					и D в бегущей плоской волне:
c / u	2	0E s		sD D 0.				(1.492)

Cоотношения (1.491) и (1.492) получены на основе уравнений Максвелла без каких бы то ни было предположений о свойствах среды. Чтобы продвинуться дальше,

необходимы материальные уравнения, связывающие E и D в рассматриваемой среде.

203

В анизотропной среде поляризованность	P , в общем случае не совпадает по направле-
нию с создающим ее электрическим полем E . Поэтому не совпадают и направления E
и D , т.е. в материальном уравнении, связывающем E и D		в монохроматической волне,
диэлектрическая проницаемость представляет собой тензор второго ранга:
Di 0 ik Ek ,	(i, k = x, y, z) .	(1.493)
k

Компоненты тензора диэлектрической проницаемости для той или иной модели среды могут быть рассчитаны на основе электронной теории дисперсии. В рамках феноменологической теории (которая положена в основу дальнейшего рассмотрения) их можно считать параметрами, определяемыми на опыте.

В различных системах координат х, у, z компоненты тензора

ik

имеют разные

значения. Специальным выбором системы координат соотношение (1.493) можно упро-

стить, приведя тензор

Dx

ik

к диагональному виду:

x

E

,

D

y

y

E

y

,

D

E

.

0

x

0

z

0 z

z

(1.494)

Если вектор

E

направлен вдоль одной из этих осей, то вектор

D

совпадает с ним

по направлению. Соответствующие оси координат х, у, z называются главными осями тензора, а величины x, y, z – его главными значениями или главными диэлектриче-

скими проницаемостями. Различие главных значений и отражает несовпадение направ-

лений векторов	E	и D (рис.6.5). Если два главных значения диэлектрического тензора
ik совпадают	x	y , то среда оптически одноосная. Ее оптические свойства пол-

ностью определяются двумя параметрами x y и || z , называемыми попе-

речной и продольной диэлектрическими проницаемостями. Когда вектор E лежит в плоскости ху, т.е. перпендикулярен оси z (направление которой параллельно оптической

оси), вектор D совпадает с ним по направлению. Это значит, что в отношении оптических (и электрических) свойств одноосная среда обладает полной симметрией вращения относительно направления оптической оси, хотя в отношении других свойств (например, механических) симметрия может быть более низкой.

К оптически одноосным средам относятся все кристаллы тетрагональной, гексагональной и тригональной (ромбоэдрической) систем; оптическая ось совпадает здесь с осью симметрии соответственно четвертого, шестого или третьего порядка. Изотропное твердое тело (например, стекло), подверженное однородной деформации растяжения или сжатия в одном направлении, или жидкость из анизотропных молекул, помещенная

воднородное электрическое поле, также будут оптически одноосными.

Вкристаллах более низкой симметрии (триклинная, моноклинная, ромбическая

системы) все три главных значения тензора

ik

различны. Можно показать, что в этом

случае существует два направления (оптические оси), вдоль которых обе волны с ортогональными поляризациями распространяются с одной скоростью.

204

z

Dz D

E

Ez

0

Ey Dy y

Р и с. 6.5

	z	Ee
		S
		0
x		y

Р и с. 6. 6

В кристаллах кубической системы (таких, как каменная соль NaCl, флюорит СаF2, алмаз С и т.д.) все три главных направления диэлектрического тензора физически эквивалентны, поэтому главные значения εх, εу и εz одинаковы. Это значит, что тензор εik вы-

рождается в скаляр (векторы E и D всегда совпадают по направлению) и кристаллы кубической системы в отношении оптических свойств ведут себя как изотропная среда. В отношении других свойств, выражаемых тензорами более высокого ранга (например, упругих), кубические кристаллы анизотропны. Оптическая анизотропия кубических кристаллов появляется только при учете очень слабых эффектов пространственной дисперсии, описываемых тензором четвертого ранга.

Перейдем к исследованию распространения света в оптически одноосных кристаллах. Если свет распространяется вдоль оптической оси z, то при любой его поляри-

зации векторы	E и D	лежат в плоскости ху и, как и в изотропной среде, совпадают по
направлению,	причем	D 0 E . Поэтому скорость волн, распространяющихся вдоль
оси, равна c	, а поляризация может быть любой (линейной, круговой, эллиптиче-

ской). Ниже будет показано, что в любом другом направлении могут распространяться только линейно поляризованные волны с ортогональными направлениями поляризации, причем скорости этих двух волн различны.

Из-за симметрии выбор направления осей координат в плоскости ху произволен. Воспользуемся этим для упрощения уравнений. Пусть направление луча s (рис. 6.6) составляет некоторый угол θ с оптической осью (осью z) . Выберем ось у так, чтобы она лежала в плоскости, образуемой оптической осью и лучом (ее называют плоскостью

главного сечения). Тогда вектор s имеет следующие проекции: s 0,sin ,cos . Ска-

лярное произведение sD в (1.492) имеет вид sinθDу+cosθDz. Выразим проекции D в (1.492) с помощью материальных уравнений (1.494), учитывая, что εx = εy = ε , εz = ε║ и запишем (1.492) в проекциях на оси координат х, у, z:

205

c u

2

E

= 0,

x

c u

2

cos

Ey + || sin cos Ez

= 0,

sin cos

E

+

c u

2

sin

2

E

= 0.

y

z

||

(1.495)

Мы получили систему однородных уравнений для нахождения проекций вектора

E плоской волны. Система имеет ненулевое решение только тогда, когда ее определитель равен нулю. Это условие и дает уравнение для нахождения лучевой скорости u(θ) при данном направлении луча. Определитель распадается на произведение двух множи-

телей, один из которых равен

c u 2

. Отсюда сразу находим первый корень

уравнения: и = с/

= с/п0. Подставив его в коэффициенты системы (1.495), получим,

что у соответствующего этому корню решения проекции напряженности поля Еу и Еz тождественно равны нулю, а Ех может иметь любое значение. Это значит, что описываемая этим решением волна линейно поляризована вдоль оси х, т.е. перпендикулярно оптической оси (и плоскости главного сечения). Ее лучевая скорость и=с/п0 не зависит от угла θ, т.е. от направления распространения. Такую волну называют обыкновенной и относящиеся к ней величины снабжают индексом о.

Приравнивая нулю второй множитель в определителе системы (1.495), находим еще один корень:

и(θ) = с/(ε cos2θ + || sin2θ)1/2.

(1.496)

Подставляя его в коэффициенты системы (1.495), находим

E	x	0,

E	z	E	y

tg

.

Это значит, что распространяющаяся с зависящей от направления (т.е. от угла θ) скоростью и(θ) (1.496) волна поляризована в плоскости главного сечения, причем вектор

E перпендикулярен s (рис. 6.6). Эту волну называют необыкновенной (индекс е). Наря-
ду с главными диэлектрическими проницаемостями		и	|| для характеристики одно-
осных сред используют также параметры n0 ≡ и	пе≡		|| , называемые соответствен-

но обыкновенным и необыкновенным показателями преломления.

Других решений система (1.495) не имеет, т.е. двумя найденными выше волнами с

ортогональными линейными поляризациями, имеющими скорости

и0=

c

=с/п0 и

ие(θ) (1.496), исчерпывается все многообразие нормальных волн, которые могут распространяться по заданному направлению θ.

Для нахождения хода лучей в одноосных кристаллах обычно выполняют геометрические построения, в которых используют поверхности лучевых скоростей (лучевые, или волновые, поверхности). Для построения лучевой поверхности из произвольной точки О во всевозможных направлениях проводят лучи и откладывают на них отрезки, пропорциональные соответствующим значениям лучевой скорости.

206

z	С			С
				n
				0	z

0

y

0

y

С

С

n

e

n

n ( )

n

n

( )

e

0

e

0

а)

б)

Р и с.

6.7

Множество концов отложенных отрезков образует замкнутую поверхность, кото-

рая для обыкновенной волны, очевидно, представляет собой сферу радиусом и0= c

,

а для необыкновенной волны – эллипсоид вращения с полуосями c

и c

||

. Что-

бы убедиться в этом, достаточно переписать соотношение (1.496) в виде

и

2

cos

2

и

2

sin

2

1.

(1.497)

c

2

c

2

||

Так как иcosθ=иz, usinθ=иy, то ясно, что уравнение (1.497) определяет эллипсоид вращения в пространстве скоростей, соприкасающийся со сферой для обыкновенной волны в точках, соответствующих направлению оптической оси. Сечение лучевых поверхностей плоскостью yz, проходящей через оптическую ось, показано на рис. 6.7. При пе>п0 (кварц) вытянутый эллипсоид целиком лежит внутри сферы (рис. 6.7, а). Такие кристаллы называют положительными. У отрицательных кристаллов ne<n0 (исландский шпат) и сфера лежит внутри сплющенного эллипсоида (рис. 6.7, б).

Из этих рисунков видно, что при распространении вдоль оптической оси обе волны имеют одинаковую скорость и=с/п0, определяемую обыкновенным показателем преломления п0. Для этого направления любая плоскость, содержащая оптическую ось, будет плоскостью главного сечения, поэтому возможны как любое направление линейной поляризации, так и в равной мере круговая или эллиптическая поляризация. При распространении в перпендикулярном оптической оси направлении обыкновенная волна имеет

по-прежнему скорость и0=с/п0, а необыкновенная, в которой вектор

E

направлен вдоль

оптической оси, – скорость ие= c

|| =с/пе, определяемую необыкновенным показате-

лем преломления. Для всех других направлений распространения векторы N и	s	не
совпадают.

207

6.3. Преломление на границе анизотропной среды. Построения Гюйгенса

Полное количественное решение задачи о преломлении и отражении света на границе анизотропной среды может быть получено на основе электромагнитной теории. Как и в случае границы изотропных сред, электромагнитное поле должно удовлетворять

тем же граничным условиям: тангенциальные составляющие векторов E и B по обе стороны границы должны совпадать в каждой ее точке в любой момент времени. Метод решения задачи остается прежним: в первой среде наряду с заданной падающей монохроматической плоской волной рассматривается еще одна – отраженная, а во второй среде – преломленная. Отличие состоит в том, что для волн в анизотропной среде нужно учитывать зависимость фазовой скорости от направлений волновой нормали и поляризации. Эта зависимость может быть найдена с помощью уравнений Максвелла и материальных уравнений примерно так, как это было сделано для лучевой скорости в одноосных кристаллах.

Электромагнитная теория позволяет найти как направления отраженной и преломленных волн, так и их амплитуды. Однако в общем случае окончательные формулы оказываются чрезвычайно громоздкими. Поэтому ограничимся лишь иллюстрацией применения электромагнитной теории на наиболее простом примере.

Пусть плоская волна падает из вакуума (или воздуха) на границу оптически одноосной анизотропной однородной среды, занимающей верхнее полупространство (рис. 6.8). Рассмотрим частный случай: оптическая ось параллельна границе ху и перпендикулярна плоскости падения xz (т.е. параллельна оси у). Падающую волну разложим на составляющие, поляризованные в плоскости падения и в перпендикулярном направлении. Граничные условия, как и для изотропной среды, выражаются уравнениями (5.36). Чтобы эти условия выполнялись сразу во всех точках границы, у всех трех экспонент зависимость от координат х и у должна быть одинакова. Отсюда, во-первых, следует, что у

волновых векторов

k	и k	2
1

отраженной и преломленной волн равны нулю y-

составляющие, т.е. нормали к волновым поверхностям отраженной и преломленной волн лежат в плоскости падения. Во-вторых, из равенства x-составляющих векторов

k0 , k1 и k2 следуют геометрические законы отражения и преломления, определяющие

направления этих волн. Так как k0x=(ω/с)sinφ, k1x =(ω/с)sinφ1, то φ1=φ: угол отражения φ1 от анизотропной среды равен углу падения φ.

208

z

E 2

				E
		( e )		2
		2
			( 0 )
			2		x
E		k	1	E
	0			1
		0			k
					1
		E		E
				1
		0

Р и с. 6.8

Что касается угла преломления φ2 , то теперь он будет иметь разные значения для двух ортогональных поляризацией. В самом деле, при рассматриваемом направлении

оптической оси (вдоль оси у) в волне, поляризованной в плоскости падения, вектор					E
направлен перпендикулярно оптической оси. Скорость такой (обыкновенной) волны					0
равна c	=с/п0, а модуль ее волнового вектора
	k2 0 c n0 .
	(0)		(0)
Из	k2 x =k0x, учитывая, что k2 x = k2 sin 2	, находим	n0 sin 2	sin . Если же

волна линейно поляризована в направлении, перпендикулярном плоскости падения, то

для рассматриваемого расположения вектор			E в ней направлен вдоль оптической оси.
Скорость этой (необыкновенной) волны e			равна c	|| c ne ,	а модуль волнового
вектора		e c ne . Поэтому для нее угол преломления			(e)	определяется из
	k2				2
условия	n sin (e) sin . Так как здесь скорость необыкновенной волны одна и та же
	e	2

для любого ее направления в плоскости xz, то отношение синусов угла падения и угла

преломления постоянно и равно nе. Полученные выше выражения для

(0)

2

и

(e) 2

опре-

деляют направления волновых нормалей преломленных волн. Для сравнения с опытом важно знать ход лучей, представляющих пути распространения световой энергии. Однако при выбранном расположении преломленные волны идут перпендикулярно оптической оси, когда лучи и волновые нормали совпадают. Таким образом, в этом частном случае падающий из вакуума под углом луч создает два преломленных луча (обыкно-

венный и необыкновенный), углы преломления которых 2(0) и 2(e) (рис. 6.8) даются соотношениями

n sin (0)		sin ,	n sin (e) sin .		(1.498)
0	2		e	2

Граничные условия позволяют найти не только направления отраженной и преломленных волн, но и их амплитуды. Действуя так же, как и в § 5.4, мы в рассматриваемом случае придем к таким же формулам Френеля (5.65–5.68) с той лишь разницей, что для поляризации, перпендикулярной плоскости падения, выражения для амплитуд от-

209

раженной и преломленной волн содержат пе в качестве показателя преломления второй

(e)

из (1.498) вместо 2

:

среды и угол преломления 2

E10

cos n cos (e)

sin 2(e)

e

2

,

E00

cos ne cos 2(e)

sin 2(e)

E20

2cos

2cos sin 2(e)

E00

.

cos ne cos 2(e)

sin 2(e)

Составляющая падающей волны, поляризованная в плоскости падения, преломляется на иной угол 2(0) , и для нее амплитуды отраженной и преломленной волн выражаются соответствующими формулами Френеля

с заменой n2 на п0

иφ2

E20

E00

на





		(0)
		2
	10
	E
	00
	E
		n
			0

:

					(0)			tg						(0)
	n	cos cos												2
																	,
	0				2
														2
	0				2
	n	cos cos			(0)			tg						(0)
2cos							2cos sin								(0)
															2
			2						2									2
cos cos			(0)	sin					(0)				cos					(0)

	.

Мы видим, что в данном случае электромагнитная теория дает исчерпывающее описание отражения и преломления света на границе анизотропной среды. При ином расположении оптической оси относительно границы принципиальные затруднения не возникают, но вычисления оказываются громоздкими. В таких случаях возможно получить частичное решение задачи – определить направления преломленных волн в одноосном кристалле – с помощью изящного геометрического построения, впервые примененного Гюйгенсом для объяснения двойного лучепреломления в исландском шпате.

			1
		A
	0
			0
			B

Р и с. 6.9

Напомним, как выполняется построение Гюйгенса в случае изотропной среды (рис. 6.9). Когда волновая поверхность падающей из вакуума плоской волны достигает точки O на границе изотропной среды, она становится источником вторичной волны,

210

распространяющейся во второй среде со скоростью

=с/п. Вторичные волны от всех

точек границы раздела (между точками O		и О) имеют общую огибающую ОВ, которая

и представляет собой поверхность равных фаз преломленной волны. Учитывая, что вторичная волна проходит расстояние О'В за то же время, что падающая волна расстояние АО, из треугольников ОО'А и ОО'В получаем закон преломления: sinφ=nsinφ2.

При обобщении построений Гюйгенса на случай анизотропной одноосной среды для вторичных волн нужно использовать найденные раньше поверхности лучевых скоростей. Касательная к ним плоскость дает положение фронта (т.е. поверхности равных фаз) преломленной волны, а прямая, проведенная из центра вторичной волны в точку касания, – направление преломленного луча. Так как лучевая поверхность состоит из сферы и эллипсоида, то построение Гюйгенса дает два луча: обыкновенный, направление которого совпадает с нормалью к фронту, как и в изотропной среде, и необыкновенный, направление которого в общем случае отклоняется от нормали к фронту необыкновенной волны.

Для иллюстрации построений Гюйгенса рассмотрим несколько сравнительно простых частных случаев.

А. Оптическая ось параллельна границе. Плоскость падения перпендикулярна оп-

тической оси (рис. 6.10, а). Сечения лучевых поверхностей обыкновенной и необыкновенной волн представляют собой окружности. Поэтому направления лучей и волновых

нормалей совпадают как у обыкновенной, так и у необыкновенной волн. Вектор E в обыкновенной волне ориентирован перпендикулярно оптической оси, в необыкновенной – параллельно оси. Точки и стрелки на рисунке показывают направление колебаний электрического вектора волны. При п0>пе (отрицательный кристалл) обыкновенный луч

преломляется сильнее, чем необыкновенный:	sin (0)	sin / n ,	sin (e) sin / n .
	2	0	2	e

Этот случай для положительного кристалла был рассмотрен выше на основе электромагнитной теории.

Б. Оптическая ось параллельна границе. Плоскость падения проходит через оп-

тическую ось (рис. 6.10, б). Сечения лучевых поверхностей плоскостью падения – окружность и эллипс, соприкасающиеся вдоль оптической оси. Направление преломленного луча задается прямой, проведенной из центра лучевой поверхности в точку ее касания с огибающей (т.е. с фронтом волны). Оба преломленных луча лежат в плоскости падения. При п0>пе необыкновенный луч преломляется сильнее, чем обыкновенный, хотя направление волновой нормали для него (в данном случае не совпадающее с лучом) изменяется при преломлении меньше, чем для обыкновенного луча. Если свет падает по нормали (φ=0), то обе волны будут распространяться в прежнем направлении, но с разными скоростями.

В. Оптическая ось перпендикулярна границе (рис. 6.10, в). Оба преломленных луча лежат в плоскости падения. При п0>пе обыкновенный луч преломляется сильнее, чем

необыкновенный. Если для обыкновенного луча

sin / sin (0) 2

n0

const

, то для не-

обыкновенного

sin

/ sin (e) 2

зависит от угла падения. При нормальном падении обе

волны распространяются в прежнем направлении (вдоль оси) с одинаковой скоростью, т. е. нет двойного лучепреломления. Состояние поляризации волны в кристалле будет таким же, как у падающей волны.

211

Р и с. 6.10

Г. Оптическая ось образует произвольный угол с преломляющей гранью кристал-

ла. Свет падает по нормали (рис. 6.10, г). Волновые поверхности обыкновенной и необыкновенной волн (т.е. касательные к сферам и эллипсоидам) представляют собой плоскости, параллельные границе. Из расположения точек касания этих плоскостей с эллипсоидальными лучевыми поверхностями ясно, что необыкновенные лучи при нормальном падении отклоняются от первоначального направления. Этим объясняется двойное лучепреломление при нормальном падении света на естественную грань кристалла.

При наклонном падении света преломление становится еще сложнее. Если оптическая ось не лежит в плоскости падения, то по положению точек касания огибающей плоскости с эллипсоидами вторичных волн можно установить, что необыкновенный луч при преломлении выходит из плоскости падения.

Из рассмотренных примеров видно, что построение Гюйгенса дает наглядную картину двойного лучепреломления и позволяет сравнительно просто найти направление обыкновенной и необыкновенной преломленных волн. Однако оно оставляет открытым вопрос об их амплитудах, фазах и поляризации.

6.4. Кристаллические фазовые пластинки.

Рассмотрим нормальное падение (вдоль оси Oz) поляризованного света на поверхность пластинки, вырезанной параллельно оптической оси (оптической осью пусть служит ось Oy). Плоскостью главного сечения, следовательно, является плоскость yOz. Падающий на пластинку свет представим как совокупность двух волн, поляризованных вдоль оптической оси и перпендикулярно к ней (рис. 6.11).

212