Оптика. Курс лекций. Саечников В А Хомич М И

			d		u	d
	2
1							l
				L

авозникающая за счет этого разность фаз

kd u kd x

L l

 

x

,

(1.204)

(1.205)

Ðèñ. 1
	S
u	1
0
u
S			d
u		2
	1
0	S
	2
L			l

Р и с. 3.12

Если J(u)du – интенсивность света, испущенного с участка источника длиной du и в точке источника с координатой u, то вклад от этого участка в полную интенсивность интерференционной картины в точке x выражается формулой:

dJ x 2J u 1 cos du ,

(1.206)

где задается равенством (1.205).

J

Принимая во внимание, что

Для полной интенсивности находим выражение:

x 2		J u 1	cos du .
				(1.207)

cos cos

kxd

kud

cos

kxd

cos

kud

sin

kxd

sin

kud

L

l

L

l

l

L

представим (1.207) в форме:

kxd

kud

kxd

J x 2

J u du 2 cos

J u cos

l

du

2sin

l

J u sin

L

С помощью обозначений

J u du

Q 2

kud

C 2

J u cos

du

L

kud

S 2

J u sin

du

L

	,
kud
	L

 

du. (1.208)

(1.209)

выражение (1.208) можно записать аналогично тому, как это было представлено в предыдущем параграфе:

83

где

kxd		S
J x Q C cos				sin
l
sin			S
			2	S	2
		C

kxd		Q	C	2	S	2	cos	kxd
l									l

и cos		C		.
	C	2	S	2

 

,

(1.210)

Следовательно, интенсивность опять изменяется по гармоническому закону, а максимумы и минимумы интенсивности соответственно равны:

Jmax Q	C	2	S	2	;

Видимость представиться выражением:

V C2 S 2 .

Q

J		Q	C	2	S	2	.
	min

(1.211)

Анализ интерференционной картины сводиться к вычислению интегралов Q, C, S. Рассмотрим важный случай: источник с однородным распределением

интенсивности излучения, когда функция J(u) задается формулой:

0,					u u
					0
					u0 u u0
J u J0				,		,
		0,			u u
					0
0,					u u
					0
					u0 u u0 .
J u J0			,
	0,				u u
					0

График функции изображен на рис. 3.13.

	JuJ(u)( )
	JJ	0
	0

u	0		u	u
–-u0			u	u
0	0		0
	Р и с. 3.13

По формулам (1.209) находим:

	u
Q 2		0			du 4J
			J	0				0	u
									0
	u
		0
	u																,
															u
		0				kud							sin
C 2			J		cos					du 4J		u			0
				0							0
							L					0	u
	u
															0
		0
S 0

где = kd/L.

Следовательно, формула (1.210) принимает вид:

(1.212)

84

J x 4J u			sin u			cos	kxd
	1			0
0 0				u				l
				0

График распределения интенсивности показан на рис. 3.14

.

(1.213)

Ри с. 3.14

Всоответствии с (1.210) и (1.212) видимость выражается формулой:

	sin u
V	0		.
	u
	0

(1.214)

Для точечного источника u0 0 и, следовательно, V 1. Источник, описываемый ступенчатой функцией, дает такие же интерференционные полосы, как и точечный источник, но их видимость уменьшается, т.е. видимость полос, согласно (1.214), зависит от размера источника.

Пространственная когерентность

При анализе явлений интерференции по методу деления волнового фронта необходимо учитывать корреляцию фаз по фронту волны в одни и те же промежутки времени. Эта корреляция описывается понятием пространственной когерентности.

Как видно из (1.214), точечный монохроматический источник (u0 0) дает интерференционную картину с видимостью V = 1. Источник конечных размеров (2u0 0), состоящий из точечных монохроматических некогерентных между собой источников, дает интерференционную картину с видимостью, меньшей чем единица. Следовательно, излучение источника конечных размеров, хотя оно и монохроматично, не является когерентным. Степень когерентности этого излучения можно характеризовать видимостью порождаемой им интерференционной картины.

Если видимость равна нулю (V = 0), то излучение полностью некогерентно, если V = 1, то излучение когерентно. При промежуточных значениях видимости частично когерентно.

Когерентного излучения, для которого V = 1, не существует, хотя к этому пределу можно очень близко подойти в специальных случаях. Поэтому необходимо условиться, при какой видимости интерференционной картины, излучение называть когерентным. Общепринятого соглашения по этому вопросу нет. Некоторые считают, что излучение может называться когерентным, если V = 0,5. Другие для V принимают значения 0,9, /4, e-1 и так далее. В зависимости от этого получаются несколько различные величины, которыми характеризуется пространственная

85

когерентность – угол и ширина когерентности. Значения этих величин при различных определениях V отличаются множителями порядка единицы.

Угол и ширина когерентности

Значение видимости, при котором излучение принимается когерентным, обозначим Vcog. С учетом (1.214) условие когерентности принимает вид:

		sin u
Vcog				0			,
				u
				0
где kd / L . Решение (1.215) относительно					u0			можно записать в форме:
u0	0		,	kdu		0	0 ,
				L

(1.215)

(1.216)

где 0 зависит от Vcog. Например, при Vcog = 0,5 получаем 0 = 1,9.

Угол когерентности cog определяется как максимальный угловой размер источника, излучение которого в соответствии с принятым критерием когерентности можно считать когерентным.

Во всех представляющих интерес случаях u0 L, поэтому угол когерентности можно представить в виде:

cog		2u	0	,
		L

где u0/L должно удовлетворять равенству (1.216), с учетом которого:

			2 0	0
	cog						.
			kd
						d

При 0 = 1,9 имеем 0/ = 0,6, так что

cog 0, 6 d .

(1.217)

(1.218)

(1.219)

При других значениях 0 измениться значение коэффициента ( 0/), но характер зависимости угла когерентности от длины волны и расстояния между центрами щелей d при этом одинаков.

Вместо угла когерентности можно пользоваться понятием ширины когерентности, определяя ее как то расстояние по фронту волны, на котором излучение в точках фронта может рассматриваться когерентным в соответствии с принятым критерием. Расстояние dcog между центрами щелей, на которые падает фронт волны, удовлетворяющее этому условию, определяет равенство (1.216), откуда получаем:

d			L						L
	cog		0					0
				0						0
			ku							2u

	0,6

,

(1.220)

где – угловой размер источника (рис. 3.12).

Соображения о пространственной и временной когерентности свидетельствуют о сложности явления частичной когерентности. Точное описание

86

этого явления возможно лишь в рамках общей теории случайных процессов. Связь явления частичной когерентности с теорией случайных процессов обусловлена физической природой излучения, создаваемого многими независимыми излучателями, частоты, амплитуды и фазы волн от которых между собой не связаны. Поэтому изменение амплитуды и фазы суммарного излучения имеет случайный характер.

3.6Интерференция света в тонких пленках

Интерференционная картина, получаемая с помощью плоскопараллельной пластинки

Рассмотрим сначала идеализированный случай, когда плоскопараллельная пластинка из прозрачного изотропного материала освещается точечным источником монохроматического света.

S	P
	1
	2
N

S		f
			P
		1	3	4
	N
			2
			E
A			C
h
	B

Р и с. 3.15

Р и с. 3.16

От точечного источника S в любую точку P могут попадать, вообще говоря, только два луча один, отразившийся от верхней поверхности пластинки, и другой, отразившийся от нижней ее поверхности (рис. 3.15). Отсюда следует, что в случае точечного монохроматического источника света каждая точка пространства характеризуется вполне определенной разностью хода приходящих в нее отраженных лучей. Эти лучи, интерферируя, образуют устойчивую во времени интерференционную картину, которая должна наблюдаться в любой области пространства. Про соответствующие полосы интерференции говорят, что они не локализованы (или локализованы всюду).

При увеличении размеров источника в направлении, параллельном плоскости SNP, интерференционные полосы становятся менее четкими. Важным исключением является случай, когда точка P находится в бесконечности, а наблюдение интерференционной картины ведется либо глазом, аккомодированным на бесконечность, либо в фокальной плоскости объектива (рис. 3.16). В этих условиях оба луча, идущих от S к P, а именно лучи SANP и SABCEP, происходят от одного падающего луча, и после прохождения пластинки параллельны. Оптическая разность хода между ними равна:

n2 (AB BC) n1 AN ,

где n2 и n1 - показатели преломления пластинки и окружающей среды,

(1.221)

87

N основание перпендикуляра, опущенного из С. Фокальная плоскость объектива и параллельная ей плоскость NC являются сопряженными, и линза не вносит между лучами дополнительной разности хода.

Если h толщина пластины, а и углы падения и преломления на верхней поверхности, то

AB BC	h
	cos
		2

,

(1.222)

				AN AC sin 1					2h tg 2					sin .
Из предыдущих формул, с учетом закона преломления
				n sin n sin
				1		1		2
получаем, что
2n AB n AN					2hn		2hn tg				sin
						2				2
	2		1		cos				1				1
						2
	2h	(n	n sin			sin		) 2hn cos					.
							2					2
	cos	2	1	1					2
	2

(1.223)

(1.224)

(1.225)

Соответствующая разность фаз равна:

	2		4 hn cos		,
			2	2
	0		0

(1.226)

где 0 длина волны в вакууме.

Следует также учитывать изменение фазы на , которое, согласно формулам Френеля, происходит при каждом отражении от более плотной среды (мы рассматриваем только электрическую компоненту поля волны). Поэтому полная разность фаз в точке P равна:

или

		4 h
		0

4 hn cos
		2				2
		0
n	2	n	2	sin	2
2		1						1

.

(1.227)

(1.228)

Угол , от значения которого зависит разность фаз, определяется только положением точки P в фокальной плоскости объектива, следовательно, разность фазне зависит от положения источника S. Отсюда вытекает, что при использовании протяженного источника полосы оказываются столь же отчетливыми, как и с точечным источником. Но так как это справедливо только для определенной плоскости наблюдения, то про такие полосы говорят, что они локализованы, и в данном случае локализованы в бесконечности (или в фокальной плоскости объектива).

Если интенсивности рассматриваемых когерентных лучей обозначить соответственно I1 и I2, то полная интенсивность I в точке P определится соотношением:

I I1 I2 2	I1I2 cos ,		(1.229)

88

откуда находим, что светлые полосы расположены при = m или

2hn cos
			0
2	2		2

а темные полосы при = (m + 1) или

2hn cos
	2		0
2			2

	m , m = 0, 1, 2, ...,
	(2m 1)	0	, m = 0, 1, 2,
		2

(1.230)

.(1.231)

Заданная интерференционная полоса характеризуется постоянством величины (а значит и ) и, следовательно, создается светом, падающим на пластинку под каким-то определенным углом. Поэтому такие полосы часто называют полосами равного наклона.

Если ось объектива нормальна к пластине, то при отражении света, близком к нормальному, полосы имеют вид концентрических колец с центром в фокусе. Порядок интерференции максимален в центре картины, где его величина m0 определяется соотношением:

	2hn	0
		2

m
0	0

.

Мы рассматриваем пока только свет, отраженный от пластинки, но подобные рассуждения применимы и для света, прошедшего сквозь пластинку. В этом случае (рис. 3.17) в точку P фокальной плоскости объектива приходят от источника S два луча: один, прошедший без отражений, и другой после двух внутренних отражений.

S

	1	N
n		C
1
	A
n2	h
				DD
		2
n		B
			MD
1					3	4
		1		2
			1
					P

Р и с. 3.17

Оптическую разность хода этих лучей находят таким же образом, как и при выводе формулы (1.225), т.е.

2n2BC n1BM 2n2 AB n1AN 2hn2 cos2						,
а значит соответствующая разность фаз равна:
			4 hn cos	2
2			2		.
	0		0

(1.232)

(1.233)

89

Однако, дополнительная разность фаз, вызванная отражением, здесь отсутствует, так как оба внутренних отражения происходят в одинаковых условиях. Интерференционная картина, создаваемая протяженным источником, и в этом случае локализована в бесконечности.

Сравнивая (1.227) и (1.233), видим, что картины в проходящем и отраженном свете будут дополнительными, т.е. светлые полосы одной и темные полосы другой будут находиться на одном и том же угловом расстоянии относительно нормали к пластинке. Кроме того, если отражательная способность R поверхности пластинки мала (например, на границе стекло воздух при нормальном падении она примерно равна 0,04), то интенсивности двух интерферирующих лучей, прошедших сквозь пластинку, очень сильно отличаются друг от друга (I /I 1/R2 600), поэтому различие в интенсивности максимумов и минимумов (см.(1.229) оказывается малым, а контрастность (видность) полос низкой.

Наше предыдущее рассуждение было не вполне строгим. Так как мы пренебрегли многократностью внутренних отражений в пластинке. В действительности точки P достигает не две, как мы предполагали, а целый ряд пучков, идущих от S (лучи 3, 4 и т.д. на рис. 3.16 или 3.17).

Но если отражательная способность на поверхности пластинки мала, то наше предположение вполне удовлетворительно, так как пучки после первых двух отражений имеют ничтожную интенсивность. При значительной отражательной способности многократные отражения сильно изменяют распределение интенсивности в полосах, но положение полос, т.е. максимумов и минимумов, точно определяется формулами (1.230) и (1.231).

90

Интерференционная картина, получаемая с помощью пластинки переменной толщины

Допустим теперь, что точечный источник S монохроматического света освещает прозрачную пластинку или пленку с плоскими, но не обязательно параллельными отражающими поверхностями (рис. 3.18).

P

S

					n1
			A		D
В		E
				N
N				2
					n
1			N	2
N		2			2
	1
					n
					1

Р и с. 3.18

Пренебрегая многократными отражениями, можно сказать, что в каждую точку P, находящуюся с той же стороны пластинки, что и источник, приходят опять только два луча, исходящие от S, а именно SAP и SBCDP, следовательно, в этой области интерференционная картина от точечного источника не локализована.

Оптическая разность хода между двумя путями от S до P равна

n1(SB DP SA

AP) n	(BC
2

CD)

,

(1.234)

где n1 и n2 соответственно показатели преломления пластинки и окружающей среды. Точную величину трудно вычислить, но если пластинка достаточно тонкая, то точки B, A, D находятся на очень малом расстоянии друг от друга, и значит

n SA n SB n			BN
1	1	2

,

(1.235)

n1AP

n1DP

n N		D
2	2

,

(1.236)

где AN1 и AN2 перпендикуляры к BC и CD. С учетом (1.235) и (1.236) имеем

n2 (N1C CN2 ) .

(1.237)

Кроме того, если угол между поверхностями пластинки достаточно мал, то

N C CN	2
1

N1 C

CN2

.

(1.238)

Здесь N1 и N2 основание перпендикуляров, опущенных из Е на ВС и CD, а точка Е

– пересечение верхней поверхности с нормалью к нижней поверхности в точке С. Но

N C N	С h cos ,	(1.239)
1	2

где h = CE толщина пластинки вблизи точки С, измеренная по нормали к нижней поверхности; угол отражения на внутренней поверхности пластинки.

91

Следовательно, для тонкой пластинки, мало отличающейся от плоскопараллельной, можно написать, пользуясь последними соотношениями,

2hn2 cos 2

,

асоответствующая разность фаз в точке P равна

2 4 hn2 cos20 0

.

(1.240)

(1.241)

Величина зависит от положения P, но она однозначно определена для всех P, так что интерференционные полосы, являющиеся геометрическим местом точек, для которых постоянна, образуются в любой плоскости той области, где встречаются оба луча от S. Мы говорим про такие полосы, что они не локализованы (или локализованы всюду). Они наблюдаются всегда с точечным источником, а их контрастность зависит только от относительной интенсивности интерферирующих пучков.

В общем случае для данной точки P оба параметра h и , определяющие разность фаз, зависят от положения источника S, и даже при небольшом увеличении размеров источника интерференционные полосы становятся менее четкими. Можно предположить, что такой источник состоит из некогерентных точечных источников, каждый из которых создает нелокализованную интерференционную картину.

Тогда в каждой точке полная интенсивность равна сумме интенсивностей таких элементарных картин. Если в точке P разность фаз излучения от различных точек протяженного источника неодинакова, то элементарные картины смещены друг относительно друга в окрестности P и видность полос в точке P меньше, чем в случае точечного источника. Взаимное смещение растет по мере увеличения размеров источника, но зависит от положения P. Таким образом, хотя мы имеем дело с протяженным источником, видность полос в некоторых точках P может оставаться такой же (или почти такой же), как и в случае точечного источника, тогда как в другом месте она упадет практически до нуля. Такие полосы характерны для протяженного источника и называются локализованными. Можно рассмотреть частный случай, когда точка P находится в пластине, а наблюдение ведется с помощью микроскопа, сфокусированного на пластинку, или сам глаз аккомодируется на нее. Тогда h практически одинакова для всех пар лучей от протяженного источника, приходящих в точку P, сопряженную с P (рис. 3.19), и различие величин в точке P вызывается главным образом различием значений cos . Если интервал изменений cos достаточно мал, то интервал значений величин в точке P много меньше 2 даже с источником значительных размеров, и полосы видны отчетливо. Очевидно, что они локализованы в пленке и локализация возникает как следствие использования протяженного источника.

Практически условие малости интервала изменений cos можно выполнить при наблюдении в направлении, близком к нормальному, или при ограничении входного зрачка диаграммой D, хотя зрачок невооруженного глаза и сам по себе может быть достаточно мал.

92