11.2. Интегральная форма уравнения роста культуры микроорганизмов

Одним из главных факторов, приводящим к замедлению скорости роста популяции клеток, является расход лимитирующего субстрата. Если этот фактор — единственный, который ограничивает рост культуры, то его можно учесть в той или иной модели роста.

Рассмотрим простейшую двухстадийную модель роста микробной популяции, приводящую к гиперболической зависимости скорости роста от концентрации субстрата, и учтем, что между концентрацией биомассы в замкнутой системе и количеством субстрата имеется линейная связь.

Уравнение скорости роста культуры имеет вид ,или

(11.15)

Знак минус показывает, что субстрат расходуется в процессе роста. Коэффициент Y_S имеет смысл стехиометрического коэффициента, который в микробиологической литературе получил название экономического коэффициента. Предполагается, что во всем временном интервале развития культуры Y_S постоянен. Из уравнения (11.15) следует

(11.16)

Интегрирование последнего соотношения приводит к линей­ной связи между концентрацией субстрата и биомассы:

N-N₀= Y_S (S₀-S); (11.17)

(11.18)

Уравнения (11.15) — (11.18) справедливы для всех механизмов роста, характеризуемых многостадийностью превращения субстрата при отсутствии осложняющих факторов, таких, как ингибирование избытком субстрата или продуктом ферментационного превращения.

Если в уравнение (11.15) подставить S, выраженное по уравнению (11.18) через S₀, то получим

(11.19)

Уравнение (11.19) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

(11.20)

Интегрирование этого уравнения следует вести по перемен­ной N в пределах от N₀ до N, по переменной τ в пределах от нуля до τ:

(11.21)

Подынтегральную функцию в уравнении (11.21) можно представить в виде

(11.22)

где коэффициенты А и В связаны уравнением

(11.23)

Если А=В получаем

(11.24)

или

(11.25)

Соответственно интеграл уравнения (11.21) можно записать:

(11.26)

С учетом этого интегральная форма уравнения (11.15) будет иметь вид

(11.27)

Это уравнение известно как интегральное уравнение Моно.

Если перейти к безразмерной переменной Х = N/N₀, то уравнение (11.27) можно представить в виде

(11.28) где а = N₀/(Y_SS₀).

Культивирование микроорганизмов обычно проводят в условиях, когда предельное накопление биомассы существенно превышает биомассу в исходном инокуляте: Y_SS₀ >>N₀, или а<<1. При этом условии уравнение приобретает вид

(11.29)

Принципиально важны два следующих режима функционирования системы.

1 . Условия малого накопления биомассы и небольшого расхода субстрата'.

(11.30)

В этом режиме второй логарифмический член уравнения (11.29) близок к нулю:

(11.31)

(11.32)

Таким образом, имеет место экспоненциальный рост культуры и экспериментально проявляется экспоненциальная фаза роста.

2. Режим, близкий к истощению субстрата, аХ → 1. При этом условии

(11.33)

(11.34)

(11.35)

При бесконечно больших временах (при τ→∞)

(11.36)

или

(11.37)

Накопление биомассы в системе имеет предел, определяемый концентрацией субстрата.

В несколько более общем случае предельное накопление биомассы будет дано функцией

(11.38)

1. Рост в условиях первого порядка по субстрату. Если , то уравнение (11.29) будет иметь вид

(11.39) или

(11.40)

Это уравнение логистической кривой [см. уравнение (11.4) и его решение].

Зависимость Х в условиях (система не насыщенасубстратом) будет представлена функцией

\ (11.41)

Из уравнения (11.41) проясняется молекулярное истолкование уравнения Ферхюльста. В условиях истощения субстрата в замкнутой системе в дифференциальном уравнении роста возникает отрицательный квадратичный по биомассе член вследствие того, что концентрации субстрата и биомассы связаны между собой линейной связью. Действительно, если то

(11.42)

С учетом того, что , имеем

(11.43)

По своей форме это дифференциальное уравнение эквивалентно уравнению (11.1).

К анализу кинетических кривых роста в условиях применимы методы, используемые при исследовании логистических кривых:

а. Если найдено время τ, в течение которого величина X достигает половины от предельно возможной, то при известном значении Y_SS₀/N₀ можно определить группу па­раметров:

(11.44)

б. Линеаризация кинетической кривой во всем интервале времени в координатах уравнения

(11.45)

позволяет из тангенса угла наклона прямой определить параметр μ_mS₀/K_S. Если исследование кинетики роста микро­организмов проводится при нескольких различных начальных концентрациях субстрата, то наблюдаемые тангенсы должны линейно зависеть от концентрации субстрата (критерий справед­ливости соотношения . Это позволяет из эксперимен­тальных данных найти параметр μ_т/К_S.

2. Рост в условиях нулевого порядка по субстрату. Если начальная концентрация субстрата существенно превышает значение константы К_S (), то уравнение роста популяции в неявной форме будет дано выражением

. (11.46)

Рис.11.2. Сравнение кинетических кривых роста микробной популяции в режиме первого (K_S >>S₀, кривая 1) и нулевого (K_S <<S₀, кривая 2) порядков по концентрации лими­тирующего субстрата: пунктирными линиями обозначены проекции верхней половины кинетических кривых, получаемых в результате их двойного зеркального отражения относительно осей, обозначенных штрихпунктирными линиями

В этом случае кинетическая кривая роста не будет иметь вид симметричной логистической кривой (рис. 11.2). В случае нулевого порядка по субстрату система значительный период времени развивается экспоненциально, однако затем на ограниченном отрезке времени выходит на предельное значение биомассы. Таким образом, качественный вид зависимости Х может дать первичную информацию о соотношении начальной концентрации субcтрата и К_S.

Интегральное уравнение роста микробной популяции в условиях истощения субстрата можно представить в форме

, (11.47)

где

; (11.48)

; (11.49)

. (11.50)

Это же уравнение можно записать в виде

. (11.51)

Из трех параметров Ф, μ и а, входящих в уравнение (11.47), из экспериментальных данных наиболее просто определяется а по отношению количества концентраций введенных клеток к предельному количеству (концентрации) клеток. Если известно а, то параметры Ф и μ можно определить, воспользовавшись одной из линеаризованных форм уравнения (11.47).

Например, уравнение (11.47) можно трансформировать к виду

(11.52)

В этом случае зависимость lnХ/τ должна быть линейной функцией переменной

[ln (1 — аХ) ]/τ; при этом отрезок, отсекаемый на оси ординат, дает параметр μ, имеющий размерность обратного времени, тангенс угла наклона позволяет определить безразмерный параметр Ф.

Для определения параметров Ф и μ можно использовать также другую анаморфозу уравнения (11.47):

. (11.53)

В этом случае отрезок, отсекаемый зависимостью lnХ/ln(1 – aX) от τ/ln(1—аХ) на оси ординат, равен Ф, тангенс угла наклона μ.

• Таким образом, на основании одной кривой роста микроорганизма при использовании интегрального уравнения, учитывающего динамику расхода субстрата, можно найти оба кинетических параметра роста микроорганизма: константу сродства К_S и максимальную удельную скорость роста μ_m.