2014_velichko

Ниже будет рассмотрен только первый метод. Детально ознакомиться с различными методами гальваномагнитных явлений можно в книге Е.В. Кучиса [4 ].

Теоретические основы эффекта Холла

Рассмотрим образец полупроводника в форме параллелепипеда.

Зададим направление тока по оси Х, магнитное поле В вдоль оси Z так, как это показано на рис. 1.5.

E

d 3

Y

1 a+

X

4

2

Bz

6

l

5

Z

Рис. 1.5. Пространственное расположение электрических и магнитных полей в полупроводнике

Как известно, на электрический заряд e , движущийся со скоростью v в магнитном поле B , действует сила Лоренца

F e v B .

Направление этой силы зависит от знака носителей заряда e и векторного произведения скорости на магнитное поле. Если v В , то носители заряда отклоняются в направлении и v и В. В результате

11

этого возникнет пространственное разделение зарядов и появится электрическое поле EY , направленное по оси Y . В этом случае

направление напряженности E Ex EY результирующего электрического поля уже не будет совпадать с направлением электрического тока.

Возникновение электрического поля EY называется эффектом Холла, а поперечная разность потенциалов VH EY a – напряжением

Холла (а – размер образца по оси Y).

Под действием силы Лоренца для выбранных нами направлений электрического и магнитного поля дырки в акцепторном полупроводнике и электроны в донорном будут отклоняться к верхней грани образца. На нижней грани будет возникать недостаток соответствующих носителей заряда. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока

возникшее поперечное электрическое поле EY не создаст силу, дей-

ствующую на носители заряда, уравновешивающую силы Лоренца. В стационарном состоянии эти силы равны и для электронного полупроводника запишутся в виде

Ee evB .

Если ширина образца равна а , то холловская разность потенциалов VH между противоположными гранями образца будет

VH EY a vBa .

Величину плотности тока можно выразить, через концентрацию носителей заряда и их среднюю скорость дрейфа v :

j evn E ,

откуда

envE .

Введем понятие подвижности носителей заряда. Подвижностью

называется величина скорости дрейфа в электрическом поле единичной напряженности

Ev .

12

Выражение для проводимости будет иметь вид

en .

Выразив дрейфовую скорость v через плотность тока, можно получить значение холловской разности потенциалов VH :

V		1	jBa RjBa =			RIB	.
H		en				d
Решая уравнение относительно R, получим
			R	VНd	.	(1.7)
				IB

Величина R в уравнении (1.7) называется коэффициентом Холла, и в случае электронов она равна

	R	1	,	(1.8)
		en

а для дырок

R ep1 .

Таким образом, зная коэффициент Холла, можно вычислить концентрацию носителей заряда и определить их знак. Измеряя одновременно проводимость полупроводникового образца и постоянную Холла R ,

можно определить концентрацию и подвижность носителей заряда

R.

(1.9)

В таком рассмотрении эффекта Холла не принималось во внимание статистическое распределение носителей заряда по скоростям, которое зависит от механизма рассеяния носителей заряда. Расчет коэффициента Холла в полупроводниках методом кинетического уравнения Больцмана дает следующее выражение:

	R	r	,	(1.9а)
		en

где коэффициент r называется холл-фактором и может принимать значения, лежащие в диапазоне от 1 до 2. При рассеянии носителей

13

заряда на ионах примеси r = 1,93, а при рассеянии на акустических

фононах r 1,2. При комнатной температуре в полупроводниках одновременно участвует несколько механизмов рассеяния, поэтому точное значение r вычисляется методом кинетического уравнения Больцмана [5].

С учетом холл-фактора подвижность, определяемая по формуле (1.9а), примет вид R или можно ввести понятие холловской по-

движности:

H (r / en) (r / en)en r .

Коэффициент Холла для двух типов носителей

Если полупроводник имеет смешанную проводимость, при которой одновременно имеются электроны (n) и дырки (p), расчет дает следующее выражение для коэффициента Холла [5]:

	r	p	p 2	r	n 2
R			p	n	n	,	(1.10)
H	e( p p			n n )2

где rp и rn – холл-факторы дырок и электронов соответственно. Или, полагая

rn rp rH , n / p an и n p b ,

(равенство rn rp rH справедливо при условии одинаковой зависи-

мости времени релаксации электронов и дырок от энергии), можно записать:

		r		1 a b2
					n
R		H						.	(1.11)
H		ep (1			a b		)2
					n

Нетрудно убедиться, что если n = 0 или p = 0, то (1.11) переходит в (1.8); если anb2 1 (в частном случае n = p и n p ), коэффициент

Холла, а следовательно, и ЭДС Холла равны нулю. В случае собственного полупроводника, когда n = p, т. е. an 1, выражение (1.11) упро-

щается:

14

RH rH 1 b . ep 1 b

Отсюда видно, что в области собственной проводимости знак ЭДС Холла соответствует знаку носителей, подвижность которых больше. В случае смешанной проводимости выражение для электропроводности имеет вид

e(n n p p ) ep p (1 anb ),

адля собственной проводимости

ep p (1 b ).

Выражение показывает, что относительный вклад более подвижных носителей заряда в образование холлова поля определяется вели-

чиной anb2 , в то время как их вклад в проводимость определяется ве-

личиной anb , т. е. в эффекте Холла носители заряда с большей

подвижностью играют большую роль, чем в проводимости.

Если в переносе тока участвует два сорта носителей заряда с разными эффективными массами, как это имеет место в p-германии, выражения для электропроводности и коэффициента Холла принимают вид:

ep1 1 1 n2 2 ,

n1 1

	RH		3 1			1 n2		n1 2			1	2	,
			8	ep1 1			n	n		2		2
							2	1			1

где индексы 1 и 2 относятся к тяжелым и легким дыркам. Соответственно можем получить выражение для холловской по-

движности

H RH	3	1 n2 n1 2 1 2
	8	1							.
			1 n	n		2
		2		1			1

15

Экспериментальные методы определения эффекта Холла Двухконтактный метод

Для определения удельного сопротивления и эффекта Холла этим методом тонкий образец изготовляется по топологии, показанной на рис. 1.6. На этом рисунке 1 и 4 – токовые контакты, 2 и 3 – контакты для измерения удельного сопротивления, 5 и 6 – контакты для измере-

ния холловской разности потенциалов VH .

	2		6
		R	3

1 VH

5

4

J

Рис. 1.6. Топология расположения контактов и схема измерения эффекта Холла и проводимости образца (пояснения в тексте)

Выводы припаиваются к металлическому покрытию контактов. Качество контактов проверяется так: измеряют разности потенциалов между контактами 1–3, 2–3, 3–4 4–5 и 5–1. Разделив эти значения разности потенциалов на соответствующие расстояния между контактами, находят соответствующие напряженности электрических полей между этими точками, которые не должны отличаться между собой более чем на 10…20 %.

В этом случае вместо балластного сопротивления R между контактами 2 и 3 включают вольтметр с высоким входным сопротивлением или используют компенсационную схему измерений, как это описано в двухзондовом методе. Удельное сопротивление определяется по формуле

U23ad / Il ,

1,

(1.12)

16

где U23 – разность потенциалов между контактами 2 и 3; I – ток меж-

ду контактами 1 и 4; а – ширина пленки; d – ее толщина; l – расстояние между контактами 2 и 3. Точность этого метода – 3…5 %. Он более точный, чем четырехзондовый, так как нет краевых условий и все контакты омические (нет влияния инжекции и нагрева). Однако двухконтактный метод более трудоемкий (нужны специальная топология и стационарные контакты). Подвижность носителей зарядов определяется из измерений ЭДС Холла с использованием величины электропроводности, которая определяется на этом же образце двухконтактным методом – формула (1.12).

ЭДС Холла измеряется по схеме, показанной на рис. 1.6. В этом случае между контактами 2 и 3 включают потенциометр R, с его помощью выбирают рабочую точку, при которой в отсутствие магнитно-

го поля VH 0 .

Эта операция нужна для того, чтобы устранить напряжение неэквипотенциальности (паразитный сигнал), которое появляется на холловских контактах без магнитного поля вследствие их расположения в различных точках по длине образца. Этот сигнал наблюдается сов-

местно с ЭДС Холла и обозначается VНЭ . Производятся четыре измерения прибором VH при двух направлениях магнитного поля и при

двух направлениях тока.

Если результаты всех четырех измерений отличаются слабо, то их нужно сложить по абсолютной величине и разделить на 4. Полученная

величина будет равна ЭДС Холла U Н , из которой определяется постоянная Холла

RН VBН Id ,

где В – величина магнитной индукции (магнитное поле направлено перпендикулярно плоскости пленки; d – толщина пленки).

Холловская подвижность рассчитывается по формуле

Н R .

Как уже отмечалось, определенная таким образом подвижность называется холловской (μ – омическая подвижность). Холл-фактор определяется типом механизма рассеяния носителей заряда в пленке.

Измерение эффекта Холла затруднено тем, что наряду с ЭДС Холла появляется ряд дополнительных поперечных ЭДС, вызванных

17

сопутствующими эффектами. Поэтому поперечное напряжение, измеряемое на контактах Холла, определяется алгебраической суммой различных ЭДС.

Дополнительные ЭДС возникают вследствие явлений, связанных с движением носителей заряда, таких как электропроводность и теплопроводность, гальваномагнитные, термоэлектрические и термомагнитные эффекты. Одной из тривиальных причин возникновения поперечной ЭДС (ЭДС неэквипотенциальности) в отсутствие магнитного поля служит электрическая асимметрия контактов Холла, т. е. такой случай, когда контакты не расположены на одной эквипотенциальной поверхности. Это бывает из-за неточного геометрического расположения контактов 2–5 или 3–5 (см. рис. 1.6) и из-за нарушения однородности образцов.

Метод Ван дер Пау

Метод Ван дер Пау – четырехзондовый способ измерения величины удельного сопротивления и коэффициента Холла образца произвольной формы. Его применяют для измерения параметров двумерных образцов произвольной формы. Его топология должна удовлетворять условиям: толщина должна быть намного меньше, чем расстояние между контактами, и электроды помещены по его периметру [4].

Проведенные измерения позволяют рассчитать следующие свойства материала:

удельное сопротивление материала;

тип проводимости;

концентрацию основных носителей заряда;

подвижность основных носителей тока.

Для использования метод Ван дер Пау толщина образца должна быть много меньше, чем его ширина и длина. Для измерений требуется наличие четырех омических контактов, помещенных на краях образца.

Контакты должны быть бесконечно маленькими. Фактически они должны быть как можно меньше, поскольку ошибка приводит к поправкам порядка D/L, где D – средний диаметр контакта и L – расстояние между контактами.

Для уменьшения ошибки в вычислениях желательно использовать симметричный образец (квадратной или круглой формы). На рис. 1.7 показана нумерация контактов, которая используется в вычислениях.

18

1 2

3

4

Рис. 1.7. Расположение и нумерация контактов в образце для метода Ван дер Пау

Ван дер Пау показал, что в условиях произвольного растекания тока по образцу для точного вычисления сопротивления образца необходимо провести два измерения.

1. На первой стадии измерений ток пропускается между контактами 1 и 2 (I12 ) (рис. 1.7), и напряжение измеряется на конактах 3

и4 (V34 ) .

2.На второй стадии ток пропускается через контакты 2 и 3 и изме-

ряется напряжение на контактах 4 и 1 (V41) .

3. Для измерения эффекта Холла ток пропускается через контакты 1 и 3 и при включенном магнитном поле В измеряется напряжение на

накрест лежащих контактах (V24 ) .

Во всех случаях величина тока через образец остается неизменной и равной I.

Искомые параметры рассчитываются по формулам, приведенным ниже. В квадратных скобках показаны размерности измеряемых величин.

RH см3 Кл V42[В]d[мкм];

I[А]B[Тл]

2,27d мкм (V

V

)[В]

V

Ом см

43

41

f

43

;

I[А]

V

14

44,12V

cм2

42

;

(V43

V23)BIf

В с

R ;

19

	n( p) 1	6,25 1018	[cм 3].
	eR	R
Важно отметить, что при вычислении удельного сопротивления для
правильного учета растекания тока по образцу произвольной формы
вводится корректирующая функция f (V43 / V14 ) , которая присутствует
в формуле для вычисления ρ.		f (V43 / V14 ) , которую можно исполь-
На рис. 1.8 показана функция
зовать при вычислениях [4].
ff 1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0	20	40	60	80	100
		V34//V41
	Рис. 1.8. Функция f от отношения V34/V41

В случае, если V43 V14 , берется значение отношения V14 / V43 .

Измерение коэффициента термоЭДС

Теоретическое введение

Если составить электрическую цепь из нескольких разнородных проводников, допустим, трех и затем поддерживать места контактов при разных температурах, то в цепи появится термоэлектродвижущая

20