ГЛАВА 5. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ

5.1. Основные понятия и обозначения

Помимо привычной декартовой прямоугольной системы координат существуют и другие системы координат, позволяющие определять положение точки на плоскости с помощью пар действительных чисел. К таким относится, например, полярная система координат.

Возьмем на плоскости точку и проходящую через неё ось . Будем называть точку O полюсом, а полуось (луч), выходящую из точки в положительном для оси направлении, – полярной осью. Задание полюса, полярной оси и единичного (масштабного отрезка) определяет на плоскости полярную систему координат.

Полярным радиусом любой точки плоскости называется её рас-

стояние от полюса , т.е. длина отрезка . Полярным углом точки

называется угол наклона направленного отрезка к полярной оси. Угол определяется с учетом знака и с точностью до слагаемого вида

2 k , где k – целое число. Обычно в качестве полярных углов точек плоскости берут так называемые главные их значения, т.е. значения, определяемые условиями 0 2 , (иногда главными считают значения в

пределах ).

Числа и , т.е. полярный радиус и полярный угол точки , называ-

ются её полярными координатами. Точка с полярными координатами иобозначается так: ( , ).

Таким образом, любой точке плоскости, кроме полюса, соответствует определенная (если берется главное значение полярного угла) пара действительных чисел – её полярных координат. Для точки (полюса) по определению первая полярная координата равна нулю, а вторая – угол не имеет определенного значения.

Задание любой пары действительных чисел ( , ), 0 , позволяет по-

строить на плоскости одну (и только одну) точку , для которой эти числа являются её полярными координатами. Если 0 , то точка совпадает с полюсом . Если же 0, то построение точки сводится

46

кпостроению отрезка , угол наклона которого к полярной оси равен

, а длина равна . (рис. 5.1).

M ,

O						P
			Рис. 5.1
Пример. Построить точки		1	(2,	3	) ,	2	(2,		) ,		3	(	3	,	17	) в заданной
			4				6					2		4

полярной системе координат.

Решение. Проведем через полюс луч (полуось) под углом 3 к поляр- 4

ной оси (иначе, повернем полярную ось на угол 3 вокруг точки про- 4

тив часовой стрелки), затем отложим на полученном луче от полюса (в положительном направлении) отрезок длины, равной 2. Его конец – точка

1 (рис. 5.2).

Для построения точки 2	надо провести луч под углом		к полярной
	6

оси (иначе, повернуть полярную ось на угол										вокруг точки по часо-
						6
вой стрелке) и отложить на нем от полюса две единицы масштаба.
Для построения точки 3 надо провести луч,										составляющий с полярной
осью угол	17	или		(так как	17			4 ) и отложить на нем из точки
4		4		4		4

отрезок, длина которого 3 .

	2
М1	М3
	М4
	М
	М5

Рис. 5.2

47

Примечание. В некоторых случаях ограничение 0 , накладываемое на полярный радиус точки, оказывается по тем или иным причинам неудобным. Иногда условливаются допускать значения 0 , понимая при этом под точкой ( , ) точку , .

Для построения точки ( , ), где 0 , нужно построить луч, имеющий к полярной оси угол наклона , а затем отложить от полюса на продолже-

нии луча отрезок, длина которого равна .

На рис.2				построены точки 4	и 5 с полярными координатам (1,0) и
	2,	3		соответственно.
		4

Введение обобщенной полярной системы координат позволяет каждой паре действительных чисел поставить в соответствие одну определенную точку плоскости.

5.2.Связь между прямоугольными декартовыми и полярными координатами

В некоторых случаях приходится пользоваться одновременно декартовыми прямоугольными и полярными координатами точек. В связи с этим представляют интерес формулы, позволяющие по декартовым координатам точки находить полярные координаты и наоборот.

Рассмотрим на плоскости прямоугольную декартову систему координат и полярную систему координат, у которой полюс совпадает с началом координат , а полярная ось совпадает с осью абсцисс.

Пусть произвольная точка плоскости (отличная от полюса), x, y – её декартовы координаты, а , – полярные.

М

Так как cos	x	, sin	y	, то	x
		x cos ,			y sin .			(1)

Формулы (1) выражают прямоугольные декартовы координаты точки через полярные координаты.

48

Далее, при любом положении точки
2	x2 y2 , следовательно,
					x				y
		x2 y2 , cos					, sin
										.	(2)
					x2 y2				x2 y2

Формулы (2) позволяют определить полярные координаты точки по ее декартовым координатам.

Если точка не лежит на оси , то из формул (2) следует также соот-

ношение tg y . x

5.3. Построение кривых в полярной системе координат

Пример. Построить по точкам линию, заданную в полярной системе координат уравнением 1 cos . Найти уравнение линии в прямоуголь-

ной системе координат.

Решение: Сначала необходимо отметить полюс, изобразить полярную ось и указать масштаб. Кроме того, на первоначальном этапе желательно найти область определения функции, чтобы сразу же исключить из рассмотрения лишние угловые значения.

Поскольку условие 1 cos 0 выполнено для любого значения , то, на

угол не наложено никаких ограничений и предстоит рассмотреть все значения 0 2 .

Удобно сразу заносить результаты в таблицу:

	0													2			3			5
			6			4			3			2		3			4			6
	2	1,85			1,7			1,5			1		0,5			0,3			0,15			0
В промежутке 2 значения											будут повторяться в обратном по-

рядке.

Отметим найденные точки на чертеже и аккуратно соединим их линией:

O P

Полученная кривая носит название – кардиоида.

Найдём уравнение данной линии в декартовой системе координат.

49