ГЛАВА 6. ЛОГАРИФМЫ

6.1.Основные свойства логарифмов. Преобразование выражений,

содержащих логарифмы

Логарифмом положительного числа b по основанию a a 0,a 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b

loga b n an b .

Логарифмы с основанием a 10 называются десятичными и обозначаются lgb .

Логарифмы с основанием a e e 2,72 называются натуральными логарифмами и обозначаются lnb.

Приведем основные свойства логарифмов, которые выполняются при условии, что основание и логарифмируемое число положительны и основание 1:

1.loga 1 0;

2.loga a 1;

3.loga b loga c loga b c ;

b

4. loga b loga c loga ;с

5.

log

bn

n

log

b log

bn

log

b ;

am

m

a

an

a

6.

loga b

logc b

loga b

1

переход к другому основанию;

logc a

logb a

7.

aloga b

b основное логарифмическое тождество.

Пример 1. Вычислить log1

49 log

343.

7

7

Решение. Приводим логарифмы к одному основанию и применяем свой-

ства log7 1 72 log	1	73	2	log7 7 2 3log7 7 2 6 4.
72		1
Ответ. 4.

Пример 2. Вычислить log9 21 9log3 2 . log3 21

Решение. Преобразуем выражение

51

	1							1	log3 21
log	2 21
		2			log	2						1
3				9		9		4			2		2 2,25.
log3 21												4
								log3 21

Ответ. 2,25.

Пример 3. Вычислить log16 log3 81 log7 13 log13 49 .

Решение. Преобразуем по свойствам

log16 log	3 3	4	log7	13	log	7 49	log16 4 log7 49	1	log	4	4 2log7 7	1	2 1,5.
					log7 13			2				2

Ответ. –1,5.

Пример 4. Вычислить log6 9 log 6 2 .

Решение. Приводим к одному основанию

log6 9 log6 4 log6 9 4 log6 36 log6 62 2 .

Ответ. 2.

Пример 5. Упростить log6 3 3 27 .

1

Решение. Преобразуем выражение log 1 33 6 log3 33 3.

36

Ответ. 3.

81

Пример 6. Найти значение loga a4 , если log3 a 4.

Решение. Преобразуем выражение по свойствам, чтобы выделить данный логарифм log3 a :

loga 81 loga a4	loga 34 4 4loga 3 4	4	4	4	2 .
		log3 a
			2

Ответ. –2.

Пример 7. Найти сумму целых чисел, между которыми находится чис-

ло ln 7 .

Решение. Так как e 7 e2 , то lne ln7 lne2 1 ln7 2. Сумма целых 1 2 3.

Ответ. 3.

1 lg2 5

Пример 8. Упростить выражение lg5.

2lg 10 lg5

Решение. Преобразуем знаменатель по свойствам, а числитель разложим на множители:

52