ГЛАВА 10. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

10.1. Основные понятия и определения

Вектором называется направленный отрезок. Обозначается вектор a или AB ( A – начало вектора, B – его конец).

Нулевым вектором (обозначается 0 ) называется вектор, начало и конец которого совпадают.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной, или

модулем, или абсолютной величиной (обозначается				или				).
		a				AB

Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной

прямой или на параллельных прямых (обозначают a				b , а также a b , если

векторы сонаправлены, и a b , если они противоположно направлены).

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Два вектора называются равными, т.е. a b , если они сонаправлены и имеют равные длины.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему

10.2. Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

10.2.1. Сложение векторов

Пусть a и b – два произвольных вектора. Возьмем произвольную точку O и построим вектор OA a; затем от точки A отложим вектор AB b. Вектор OB , соединяющий начало первого слагаемого вектора с

концом второго, называется суммой этих векторов и обозначается a b . Ту же сумму можно получить иным способом. Отложим от точки O век-

торы OA a и OB b . Построим на этих векторах как на сторонах парал-

лелограмм OACB . Вектор OC – диагональ параллелограмма – является суммой векторов a и b .

81

Понятие суммы можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых.

10.2.2. Вычитание векторов

Разностью a b векторов a и b называется такой вектор c , который в сумме с вектором b дает вектор a .

Если векторы a и b привести к общему началу, то разность представляет собой отрезок, соединяющий их концы и направленный от «вычитаемого»

к«уменьшаемому».

10.2.3.Умножение вектора на число

Произведением вектора a на действительное число называется вектор

b

(обозначают b a ), определяемый следующими условиями:

1)

b

;

a

2)

b при 0

a

и a b при 0 .

Из определения следует: два вектора a и b коллинеарны тогда и только

тогда, когда имеет место равенство b a

Пусть дан вектор a . Ортом вектора a (обозначается ao ) называется вектор единичной длины, сонаправленный с вектором a .

a

Очевидно, ao для любого вектора a . a

10.2.4. Проекция вектора на ось

Пусть дана произвольная ось l и некоторый вектор AB . Опустим из точек A и B перпендикуляры на ось l и обозначим их основания соответственно A1 и B1 .

Длина отрезка A1B1 оси l называется проекцией вектора AB на ось и обо-

значается прl AB . Если вектор AB составляет с осью l угол , то справедлива формула:

прl AB AB cos .

Пример 1. При каком условии на ненулевые векторы a и b справедливо

равенство								?
		a b				a b

82

Решение. Отнесем векторы a

и b к общему началу и построим на них

параллелограмм. Тогда

– длина одной диагонали

этого параллело-

a b

грамма,

а

–

длина другой диагонали. Диагонали параллелограмма

a b

равны,

если этот

параллелограмм – прямоугольник.

Следовательно,

, если a перпендикулярен b .

a b

a b

10.2.5. Координаты вектора

Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxyz . Обо-

значим i , j , k – единичные векторы, направленные соответственно вдоль осей Ox , Oy , Oz (орты осей). Эти векторы называются декартовым прямоугольным базисом в пространстве.

Пусть a – произвольный вектор в пространстве. Найдем его проекцию на каждую из координатных осей и обозначим их соответственно ax , ay , az .

Тогда

a axi ay j az k .

Это равенство называется разложением вектора a по базису i , j , k , а числа ax , ay , az называются координатами вектора a в этом базисе, или

декартовыми прямоугольными координатами вектора. Используют обозначение a ax , ay , az .

Таким образом, прямоугольные декартовы координаты вектора – это его проекции на соответствующие оси координат.

Зная координаты вектора, легко выразить его длину:

	ax2 ay2 az2 .
a

Если a AB , где A(xA , yA , zA ) , B(xB , yB , zB ) , то

a xB xA , yB yA , zB zA .

Из свойств проекций (а координаты вектора – это его проекции на оси координат) следует, что, если a ax , ay , az , b bx ,by ,bz , R , то:

1) a b ax bx , ay by , az bz , т.е. равные векторы имеют соответственно равные координаты;

2) a b ax bx , ay by , az bz ;

3) a ax , ay , az – при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число;

83