При сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и мнимые части соответственно.

2) Умножение на действительное число происходит по правилу

z x i y .

3) Произведением комплексных чисел z1 и z2 называется число

z z1 z2 x1x2 y1y2 i(x1y2 y1x2 )

Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывают, что i2 1.

4) Частным от деления чисел z1 и z2 0 называется число

	z	z1		x1x2 y1 y2	i	x2 y1 x1 y2		. Для выполнения деления следует числи-
		z2		x22 y22		x22 y22
	тель		и знаменатель			дроби		z1	умножить на число, комплексно-
								z2

сопряженное знаменателю.

8.3. Комплексные числа в тригонометрической форме

8.3.1. Тригонометрическая форма комплексного числа

Если x и y – декартовы координаты точки плоскости, то, используя

формулы перехода к полярным координатам ,r x r cos , y	r sin
можно получить тригонометрическую форму комплексного	числа
z r cos isin .

Модулем комплексного числа z = x + iy называется число r – длина ради-

ус-вектора точки M(x, y). Очевидно, что	z	r	x2 y2 .
Аргументом комплексного числа Arg z	называется угол поворота оси Ox

до совмещения с радиус-вектором точки M .

Заметим, что Arg z =arg z + 2πk, k Z , где arg z называется главным зна-

чением аргумента и arg z .

Для вычисления главного значения аргумента можно использовать формулу:

73

						y
	arctg						,
						x
	arctg
						y	,
						x
						y
	arctg						,
						x
	arg z		,
		2
					,
			2
	0

неопределен,

x 0,

x 0, y 0,

x 0, y 0,

x 0, y 0,

x 0, y 0,

x 0, y 0, x 0, y 0, x 0, y 0.

8.3.2. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть z1 r1 cos 1 i sin 1 , z2 r2 cos 2 i sin 2 .

Тогда

1)

Произведение

комплексных чисел

z1 и

z2

находится

по

формуле

z1 z2 r1 r2 cos 1 2 i sin 1 2 .

2)

Частное

комплексных

чисел z1

и

z2

находится

по

формуле

z1

r1

cos

2

i sin

2

.

z2

1

1

r2

Если z r cos i sin , то

3)

Возведение в

натуральную степень

n.

n N zn rn cosn isin n . Данная формула носит название формулы

Муавра-Лапласа.

4) Корнем n-й степени из комплексного числа z называется число w nz

такое, что wn z .

Для любого комплексного числа z r cos i sin , z 0 , существует ровно n различных значений w nz , которые имеют вид:

	n			2k		2k
wk		r cos			i sin		, k 0, n 1.
				n		n

Точки, соответствующие значениям nz , являются вершинами правильного n угольника, вписанного в окружность радиуса R n r с центром в начале координат.

74