ГЛАВА 9. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКОВ

9.1. Понятие определителей второго и третьего порядков

Определителем второго порядка называется число, которое записывается в виде квадратной таблицы из четырех чисел и вычисляется по формуле:

	a1	b1	a b a b .
	a2	b2	1	1	2	2

Здесь числа a1, a2 ,b1,b2 – элементы определителя. Числа a1 ,a2 образуют первый столбец определителя, b1,b2 – второй столбец определителя, числа a1,b1 образуют первую строку определителя, a2 ,b2 – вторую строку определителя, числа a1,b2 образуют главную диагональ определителя, числа a2 ,b1 образуют побочную диагональ определителя.

Определителем третьего порядка называется число, которое записывается в виде квадратной таблицы из девяти чисел и вычисляется по формуле:

a11 a12 a13

a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a13a22a31 a11a32a23 a33a21a12.

a31 a32 a33
Здесь aij элемент определителя, гдe	i номер строки, а	j номер
столбца, в которых находится элемент.

Минором любого элемента aij определителя называется определи-

тель, полученный из вычеркиванием i ой строки и j го столбца. Алгебраическим дополнением любого элемента aij определителя на-

зывается минор этого элемента, взятый со знаком ( 1)i j , гдe i номер строки, а j номер столбца, в которых находится элемент.

Теорема о разложении определителя по строке или столбцу. Опре-

делитель равен сумме произведений элементов любого его столбца или строки на их алгебраические дополнения.

9.2. Правила действий над определителями

При выполнении действий над определителями (любого порядка) используются следующие правила:

1.Определитель не изменится, если его строки заменить его столбцами (транспонировать).

2.При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет только знак.

3.Определитель, имеющий два одинаковых столбца (строки), равен нулю.

77

4.Если все элементы какого-либо столбца (строки) определителя содержат общий множитель, то его можно вынести за знак определителя.

5.Определитель, у которого элементы двух столбцов (строк) соответственно пропорциональны, равен нулю.

6.Если каждый элемент какого-либо столбца (строки) определителя есть сумма двух слагаемых, то определитель можно разбить соответственно на сумму двух определителей.

7.Определитель не изменится, если к элементам какого-либо его столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на одно и то же число.

Аналогично, можно ввести понятие определителя n го порядка, где n 4. Такие определители обычно вычисляются с помощью теоремы о разложении определителя по строке или столбцу и применения правил действий над определителями.

9.3.Задания для самостоятельной работы

1.Вычислить определители:

а)

1 4

;

5 2

б)

3

6

;

5 10

в)

а

1

;

а2

а

г)

а 1

b с

;

а2 а

аb ас

д)

cos

sin

.

sin

cos

2. Решить уравнения:

а)		2		x 4		=0;
		1			4
б)			x		x 1			=0;
			4		x 1
в)			3x		1				=	3	;
			x		2x 3
									2

78

г)	x2 4	1	=0.
	x 2	x 2

3. Решить неравенства:

а) 3x 3 2 >0; x 1

б)	x	3x	<14.
	4	2x

4. Вычислить определители:

а)	3	2	1	;
	2	1	3
	0	0	2
	1 2	0
б)	0 1	3 .

50 1

5.Вычислить определители, используя свойства:

1 1 1

а)	1		1	1	;
	1		1	1
б)		1	17 7			;
		1 13		1
		1	7	1
	2		0	5
в)	1		3 16 .

01 10

6.Решить уравнения:

1 3 x

а) 4		5 1 = 0;
2		1	5
б)		3	x	4		= 0.
		2	1	3
	x 10		1	1

7. Решить неравенства:

3 2 1

а) 1 x 2 <1;1 2 1

79

б)	2	x 2	1	>0.
	1	1	2
	5	3	x

8.Вычислить определители:

3 0 0 0

а)	2		2	0	0			;
	1		3 1 0
	1 5			3	5
	2	1 1			0
б)	0	1		2	1			;
	3	1 2			3
	3	1		6	1
	2 3		3		4
в)	2 1		1		2			.
	6 2			1	0
	2 3			0	5

80