4) Если векторы a и b ненулевые, то (a,b) 0 тогда и только тогда, когда

a и b взаимно перпендикулярны.

5) Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины или, обозначая

2

2

откуда

2 ;

(a, a) a2

, получим, a

a

a

a

(a,b)

6) пр a

;

b

b

7) Пусть A это работа, которую совершает сила F по перемещению ма-

териальной точки вдоль вектора S , тогда

A (F,S) .

Пример 2. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенно-

го на векторах a 2i j и b 2 j k .
Решение. Диагоналями параллелограмма являются векторы m			a b и
		(m, n) 4 3 1 0 , сле-
n	a b . Тогда m 2; 1;1 , n 2;3; 1 . Тогда

довательно, векторы m и n перпендикулярны, и угол между диагоналями

равен 90 .

a

4,

b

5

,

60 .

Вычислить длину

Пример 3. Дано: c

2a 3b ,

вектора c .

Решение.

Из

свойства

5)

скалярного

произведения

.

Подставляя числовые зна-

c

c 2

(2a 3b )2

4a

2 12(a,b) 9b 2

чения, получим

409 .

c

10.4. Векторное произведение векторов

Векторным произведением векторов a и b называется вектор с , удовлетворяющий следующим условиям:

1)c a, c b ;

2)a, b и c образуют правую тройку векторов (c направлен так, что с его

конца кратчайший поворот от вектора a к вектору b виден против часовой

стрелки);

3)

b

sin , где угол между векторами a и b , sin 0,0 .

c

a

Обозначается c

a,b или c

a b .

85

с

b

a

10.4.1. Свойства векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов обладает следующими свойствами:

1) ba ab ;

2) a 3 p 2q

b или a 0

или b 0 ;

если a

3) ma

b a mb m ab ;

4) a b c

ab ac ;

, ay , az ;

b bx ,by ,bz в декартовой прямо-

5) Если заданы векторы a ax

угольной системе координат с базисом i ,

j, k , то

i

j

k

ax ay az

.

ab

bx

by

bz

6) Геометрический смысл: длина векторного произведения численно ab

равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, а пло-

1

щадь треугольника – половине длины S

ab

,

S

ab

.

2

Пример 4.

В треугольнике с вершинами A( 3;1;2),B(2;3;5),C(5;0;1) найти

длину высоты AH .

1

2SABC

BA, BC

Решение.

SABC

BC AH , откуда AH

2

BC

BC

Найдем координаты векторов: BA 5; 2; 3 , BC 3; 3; 4 . Тогда

86