Пример 11.				Вычислить																значение				cos 2700 sin 2700																,	если
																												tg 1800
sin 1800				2				.
					5
Решение.		Упрощаем												с			помощью						формул					приведения, и, так													как
sin 1800 sin 1800														sin , то sin														2					.
																												5
Выражение примет вид
	cos 2700 sin 2700																		sin cos							cos2					.
	tg 1800
																						tg
cos2 1 sin2			1									4					1	.
Ответ: 0,2.					5											5
																															1
Пример 12. Найтиsin 2 , если sin cos																																				.
																															2
Решение. Возведем в квадрат обе части данного равенства
		2				1 2
sin cos											.
									2												1					1											1
sin2 2sin cos cos2																						, 1 sin 2					, sin 2											.
																				2
																							2								2

По формуле приведения sin 2 sin 2 1 . 2

Ответ: 0,5.

7.4. Простейшие тригонометрические уравнения

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, в котором переменная является аргументом одной или нескольких тригонометрических функций.

	Уравнение								Решение
1.	sin x= a, где		a					1	x 1 k arcsin a k, k Z
2.	cos x= a, где			a				1	x arccos a 2 k, k Z
3.	tg x= a								x arctg a k ,	k Z
4.	ctg x= a								x arcctg a k,	k Z

Рассмотрим некоторые методы решений тригонометрических уравнений.

65

Пример 1. Решить уравнение sin 2x 3 . 2

						n							3
Решение. 2x 1															n , n Z .
							arcsin						2
n									n 1
2x 1				n					1				n.
		3									3
						n
Тогда x 1 n								,	n Z .
				6			2

Пример 2. Найти количество корней уравнения

ке			; 2 .
		2
										2n, n Z .
Решение.				x		arccos		2
							2
				4

					2	на отрез-
	cos x
		4			2

		x								2n x																				2n, n Z .
																								4
	4				4																								4
	При n 0 получим корни																										x		0, x					оба подходят.
																															2
																											1					2
																3
	При n 1								корни x													и					x		2		тоже подходят.
																												4
									3						2
	Остальные корни вне отрезка.
	Ответ. 4 корня.
																																			x					на отрезке ;2 .
	Пример 3. Найти сумму корней уравнения tg																																					3
																																					3
																																2
										x
																				3
	Решение.																										n, n Z .
									2		arctg
		x													3
							n x										2n, n Z .
	6
					6										3
	При n 0								корень x																	принадлежит указанному отрезку.
															3
	При n 1, x 2																	5								тоже удовлетворяет условию ;2 .
												3
															3

Остальные корни вне отрезка. Сумма корней равна 5 4 . 3 3 3

Ответ. 4 . 3

66

Пример 4. Решить уравнение ctg2 x 1.

Решение:

1) ctg x 1 x arcctg 1 n, n Z ,

x

n

3

n, n Z ;

4

4

2) ctg x 1 x arcctg 1 k,

k Z ,

x

k,

k Z .

4

3

Ответ.

x

k; x

n, n,k Z .

4

4

cos2 x 2cos x 3 0.

Пример 5. Решить уравнение

Решение. Сводим данное уравнение к квадратному. Пусть cos x t,

t

1,

тогда t

2 2t 3 0 . Корни t 1 и t

2

3 посторонний.

1

cos x 1 x 2 n, n Z .

Ответ. x 2 n, n Z .

Пример 6. Найти сумму корней уравнения sin 2x 4 cos x sin x 2, принадлежащих 2 ;2 .

Решение. Разложим на множители, применяя метод группировки

sin 2x 4 cos x sin x 2 0.			sin x 2 2 cos x 1 0.
2 cos x sin x 2 sin x 2 0,
sin x 2 0 sin x 2 нет решений.
2cos x 1 0 cos x	1	,

					1				2
	x arccos					2 n, n Z ,
					2
							2		2 n, n Z .
	x			2 n
							3
		3
	Произведем отбор корней:
	при n 0	получим x						2		подходят;
									3		2		4
	при n 1	подойдет корень x										2		;
													3
									3

при n 1 подойдет корень x 2 2 4 . 3 3

Сумма всех корней равна нулю.

Ответ. 0.

67

7.5. Простейшие тригонометрические неравенства

При решении тригонометрических неравенств применяются графические методы решения, для чего используется единичная окружность и графики тригонометрических функций.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1. Решить неравенство sin x 1 . 2

Решение:

1) Используем единичную окружность. Решению неравенства соответст-

5

вует дуга 6 ; 6 .

Для окончательного ответа надо добавить 2 n , учитывая периодичность функции y sin x .

Ответ. 2n								x	5	2n, n Z ;
					6			6
															y
															1
											5				1
																	2
																											6
											6																					x
										1					0											1
															1
2) Используем								график y sin x														на				отрезке								; . Проведем прямую
y	1	. Точки пересечения:											x									и				x			5		.			Синусоида выше прямой на
2					5										6															6
отрезке				;				.
					6																	y
		6
															1																				x
																																5
															2							6						2				6
																									1

Ответ. 2n x 5 2n, n Z ; 6 6

68