ГЛАВА 3. НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

При решении задач часто встречаются неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля).

Для решения таких неравенств рекомендуется разбить числовую ось на отдельные промежутки так, чтобы на каждом из них можно было записать неравенство, не используя знака абсолютной величины.

Пример 1. Решить неравенство x2 5x 6 0 .

			6				6
	Всю числовую ось разобьем на два промежутка:	;			и			;
			5				5

На каждом из этих промежутков неравенство может быть записано без знака модуля.

	Для промежутка		;	6		верно равенство		5x 6		5x 6, и, следова-
				5

	тельно, неравенство принимает вид x2 5x 6 0 или			x 3 x 2 0 ,
	откуда x ; 3 2; .				6
	Учитывая, что переменная принадлежит промежутку		;				, получаем
					5

решение исходного неравенства на этом промежутке ; 3	2;	6	.
		5

			6						5x 6		5x 6 , и,
	На втором промежутке				; справедливо равенство
			5
								так x2 5x 6 0, или
	следовательно,	неравенство					записывается
	x 1 x 6 0 ,	откуда x ; 1 6; .						Учитывая, что переменная
						6
	принадлежит промежутку						; , получаем множество решений нера-
						5

	венства на этом промежутке:		6		6; .
				; 1
			5

Ответ. ; 3 2; 1 6;
Пример 2. Решить неравенство		2x 1				1	.
	x2 x 2
					2

Для x	1	неравенство можно переписать без знака абсолютной величины
2			2x 1			1
							.
			x2 x	2
					2

Это рациональное неравенство. Приводим его к стандартному виду

22

x 5 x

x 1 x 2 0.

Применяя метод интервалов, получаем x 1;0 2;5 .Ограничение x 1 2

заставляет оставить лишь интервал 2;5 .

Если x

1

, то неравенство примет вид

2x 1

1

.

x2 x 2

2

2

1 x x 4

Приводим неравенство к стандартному виду

0.

x 1 x 2

Применяя метод интервалов, легко получаем, что x 4; 1 1;2 .

Ограничение x

1

заставляет оставить только интервал 4; 1 .

2

Ответ. 4; 1 2;5 .

Пример 3. Решить неравенство

x 1

x 1

4 .

На интервале

; 1 по определению

модуля имеем

x 1

x 1,

x 1

x 1,

и, следовательно, на этом

интервале неравенство равно-

сильно линейному неравенству 2x 4 , которое справедливо при x 2 . Таким образом, в множество решений входит интервал 2; 1 . На отрез-

ке 1; 1 исходное неравенство равносильно верному числовому неравен-

ству 2 4. Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

На интервале 1; опять получаем линейное неравенство 2x 4 , справед-

ливое при x 2. Поэтому интервал 1;2 также входит в множество решений.

Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетво-

ряют все значения переменной из интервала 2;

2 и только они.

Тот же результат можно получить из наглядных и в то же время стро-

гих геометрических соображений.

Ответ. 2; 2 .

3.1. Задачи для самостоятельного решения

1)

x 6

4 ;

3)

x 1

10

2 ;

2) 1

x2 7

29 ;

4

x 1

3

1

1

4)

; 5) x2 2

x

8;

x

x2

x

x 1

1

x 1

2

6)

1;

23

x

2

7)	3	x	11		3x 14	;	8)	1			1	2;	9)	1					3				1	;
											x						x		1			x
		x 3
					6 x			x 1						x 1									1

10)x 1 x 2 1.

x199

24