Определение полной доходности облигации, которую инвестор держит до срока ее погашения

Основная идея определения полной доходности облигации проста: требуется рассчитать будущие денежные потоки, генерируемые облигацией в период владения ею. Показатель полной доходности облигации равна той ставке дисконтирования, которая обеспечивает равенство приведенной суммы будущих денежных потоков инвестированной сумме денежных средств. Для иллюстрации метода определения полной доходности облигации мы будем исходить из условия, что облигация находится у инвестора до срока ее погашения.

Процедура расчета выглядит следующим образом:

Шаг 1: Подсчитать все будущие доходы, полученные от инвестиции:

а) купонные выплаты;

б) доход от их реинвестиции купонных платежей под предполагаемый процент;

в) номинальная стоимость облигации.

Купонный доход и доход от реинвестирования купонных платежей определяется по формуле:

где

r – ставка реинвестирования (в пересчете на полугодие), %;

с – купонный доход ( в пересчете на полугодие), руб.;

n – количество периодов до погашения облигации (Т×m).

Ставка реинвестирования купонных платежей пересчитывается на полугодие, как это делалось при определении доходности к сроку погашения облигации.

Отметим, что величина будущих денежных потоков не равна денежному доходу. Мы в предыдущей части лекций исходили из равенства этих значений, когда показывали важность дохода от реинвестирования купонных платежей. Общий денежный доход, генерируемый облигацией, включает только купонные доходы, доход от реинвестиции купонных платежей и прирост (потери) капитала. Номинальная стоимость облигации не включается в денежный доход. Он учитывается при определении будущих денежных потоков, генерируемых облигацией. Можно записать, что:

Общий денежный доход = будущие денежные потоки – цена облигации.

Шаг 2: Подсчитать полную доходность облигации в расчете за полугодие по следующей формуле:

,

где

R_Σ – общая сумма будущих денежных потоков, руб.;

P – цена облигации, руб.;

n – количество периодов.

Шаг 3: Годовой полный доход рассчитывается удвоением полученного значения r.

Полная доходность облигации в расчете на год может быть найдено из выражения:

r_Σ = (1 + r)² - 1

Доходность облигации, рассчитанная этим методом, называется эффективной годовой нормой доходности облигации.

Рассмотрим следующие примеры по определению полной доходности облигации.

Пример 7.1.Определение совокупной доходности облигации при инвестиционном горизонте, равном сроку обращения облигации

Инвестор решает купить 9% купонную облигацию по номиналу 100 000 руб. Срок обращения облигации – 7 лет. Доходность к сроку погашения облигации будет равна 9% в год. Купонные платежи, которые выплачиваются дважды в год, будут реинвестированы под 9 % в год. Определить совокупную доходность облигации к концу инвестиционного горизонта.

Задано:

P_N =P_M= 100 000;m= 2; r_cp= 0,09;r_reinv= 0,09;r_ytm = 0,09;СР= 4 500.

Будущие денежные потоки, генерируемые этой облигацией, включают:

а) 14 купонных платежей в течение инвестиционного горизонта (7 лет) по 4 500 руб.

б) доход от реинвестирования купонных платежей под 9 % в год

в) ожидаемую цену облигации к концу инвестиционного горизонта.

Купонные платежи и доход от реинвестирования купонных платежей находим по формуле:

(1)

Подставив в (1) заданные параметры, находим сумму купонных платежей и дохода от их реинвестирования:

= 85 194 руб.

Итого денежных потоков, генерируемых облигацией за 7 лет:

85 194 + 100 000 = 185 194 руб.

Определяем полную доходность облигации в расчете на полугодие:

(185 194/100 000)^1/14– 1 = 0,045 или 4,5 %.

В пересчете на год полная доходность облигации равна: 4,5 × 2 = 9 %.

Пример 7.2. Определение совокупной доходности облигации при инвестиционном горизонте, равном сроку обращения облигации

Инвестор решает купить 7,5% купонную облигацию за 81 400 руб. (при номинале 100 000 руб.). Срок обращения облигации – 20 лет. Доходность к сроку погашения облигации будет равна 9 % в год. Купонные платежи, которые выплачиваются дважды в год, будут реинвестированы под 6,5 % в год. Определить совокупную доходность облигации к концу инвестиционного горизонта.

Задано:

P_N = 100 000;P_M= 81 600;m= 2;r_cp= 0,075;r_reinv= 0,065;r_ytm= 0,09;СР= 3 750.

Будущие денежные потоки, генерируемые этой облигацией, включают:

а) 40 купонных платежей в течение инвестиционного горизонта (20 лет) по 3 500 руб.

б) доход от реинвестирования купонных платежей под 6,5 % в год

в) номинальную цену облигации к концу инвестиционного горизонта.

Купонные платежи и доход от реинвестирования купонных платежей равны:

= 299 331 руб.

Итого денежных потоков, генерируемых облигацией за 7 лет:

299 331+ 100 000 = 399 331 руб.

Определяем полную доходность облигации в расчете на полугодие:

(399 331/81 400)^1/40– 1 = 0,0405 или 4,05 %.

В пересчете на год полная доходность облигации равна: 4,05 × 2 = 8,1 %.

Пример 7.3. Определение совокупной доходности облигации при инвестиционном горизонте, равном сроку обращения облигации

Инвестор решает купить 7,5% купонную облигацию за 81 400 руб. (при номинале 100 000 руб.). Срок обращения облигации – 20 лет. Доходность к сроку погашения облигации равна 9 % в год. Купонные платежи, которые выплачиваются дважды в год, будут реинвестированы под 10 % в год. Определить совокупную доходность облигации к концу инвестиционного горизонта.

Задано:

P_N = 100 000;P_M= 81 400;m = 2; r_cp = 0,075;r_reinv= 0,1;r_ytm = 0,09;СР= 3 750.

Будущие денежные потоки этой облигации включают:

а) 40 купонных платежей в течение инвестиционного горизонта (20 лет) по 3 500 руб.

б) доход от реинвестирования купонных платежей под 10 % в год

в) номинальную цену облигации к концу инвестиционного горизонта.

Купонные платежи и доход от реинвестирования купонных платежей равны:

= 452 999 руб.

Итого денежных потоков, генерируемых облигацией за 7 лет:

452 999 + 100 000 = 552 999 руб.

Определяем полную доходность облигации в расчете на полугодие:

(552 999 /81 400)^1/40– 1 = 0,049 или 4,9 %.

В пересчете на год полная доходность облигации равна: 4,9 × 2 = 9,8 %.

В сравнении с предыдущим примером общая доходность возросла на 1,7 % и составила 9,8 %, что выше показателя доходности к сроку погашения облигации (9 %). Это обусловлено более высокой ставкой рефинансирования купонных платежей (10% >9 %).

Совокупный доход для облигации, продаваемой до наступления срока ее погашения

В рассмотренных выше примерах мы исходили из предположения, что инвестор владеет облигацией до наступления срока ее погашения. Можно ли рассчитать показатель полной доходности облигации, если инвестор решает держать ее в течение периода, который меньше срока обращения облигации? Мы покажем, что расчеты по определению полной доходности облигации к сроку ее досрочной продажи выполнить несложно. Для этого нам необходимо несколько скорректировать процедуру расчета полной доходности бонда, которую мы использовали в предыдущих примерах этого раздела.

1. Общая сумма будущих денежных потоков определяется с учетом:

а) купонные платежи учитываются только до конца инвестиционного горизонта;

б) доход от реинвестирования купонных платежей также определяется с учетом завершения инвестиционного горизонта;

в) учитывается ожидаемая цена облигации к окончанию инвестиционного горизонта.

Если расчет первых составляющих дохода не вызывает особых трудностей, расчет ожидаемой цены облигации к сроку завершения инвестиционного горизонта вызывает ряд небольших проблем. Прежде всего, это связано с ожиданиями инвестора о величине процентных ставок на день продажи облигации. Исходная норма доходности к сроку погашения должна перерассчитываться, поскольку срок обращения облигации уменьшится на величину инвестиционного горизонта. С учетом этих корректировок ожидаемая цена облигации к концу инвестиционного горизонта может определяться по следующей формуле:

(2)

где P_IH– ожидаемая цена облигации к концу инвестиционного горизонта, руб.;

СР – купонный доход, выплачиваемый каждые 6 месяцев, руб.;

i – требуемая норма доходности за полугодие, доли ед.;

n– количество периодов (Т × 2);

P_N– номинальная стоимость облигации, руб.

При применении формулы (2) следует помнить, что n– это число периодов до завершения срока обращения облигации начиная с окончания инвестиционного горизонта. Например, инвестиционный горизонт 4 года, а срок обращения облигации - 18лет. Тогда количество периодовnбудет равно 28 [(18 – 4)×2}.

Приведенная стоимость купонных платежей в формуле (2) определяется из выражения:

.

А теперь рассмотрим несколько примеров по расчету полной доходности облигации, когда инвестиционный горизонт меньше срока обращения облигации.

Пример 7.4. Определение совокупной доходности облигации при инвестиционном горизонте меньше срока обращения облигации

Инвестор решает купить 8% купонную облигацию за 82 824 руб. (при номинале 100000 руб.). Срок обращения облигации – 20 лет, инвестиционный горизонт 3 года. К сроку продажи облигации инвестор предполагает, что доходность к сроку погашения облигации будет равна 7% в год. Купонные платежи, которые выплачиваются дважды в год, будут реинвестированы под 6 % в год. Доходность к сроку погашения облигации 10 % в год.

Определить совокупную доходность облигации к концу инвестиционного горизонта.

Задано:

P_N = 100 000;P_M = 82 824;m= 2;r_cp= 0,08;r_reinv= 0,06;r_ytm1 = 0,1;r_ytm2= 0,07;СР= 4 000.

Будущие денежные потоки этой облигации включают:

а) 6 купонных платежей в течение инвестиционного горизонта (3 года) по 4 000 руб.

б) доход от реинвестирования купонных платежей под 6 % в год

в) ожидаемую цену облигации к концу инвестиционного горизонта.

Купонные платежи и доход от реинвестирования купонных платежей равны;

= 25 874 руб.

Ожидаемая цена облигации к концу инвестиционного горизонта находим следующим способом.

а) находим приведенную величину купонных платежей, генерируемых облигацией в последующие 17 лет при принятой ставке доходности к сроку погашения 7 % в год:

= 78 803 руб.

б) приведенная стоимость номинала облигации к концу срока обращения:

= 31 048 руб.

в) ожидаемая цена облигации через три года:

78 803 + 31 048 = 109 851 руб.

Итого денежных потоков, генерируемых облигацией за 20 лет:

25 874 + 109 851 = 135 725 руб.

г) находим полную доходность облигации в расчете на полугодие:

(135 725/82 840)^1/6– 1 = 0,0858 или 8,58 %.

В пересчете на год полная доходность облигации равна: 8,58 × 2 = 17,16 %.

Пример 7.5. Определение совокупной доходности облигации при инвестиционном горизонте меньше срока обращения облигации

Инвестор решает купить 8,5 % купонную облигацию за 81 600 руб. (при номинале 100 000 руб.). Срок обращения облигации – 18 лет, инвестиционный горизонт 4 года. К сроку продажи облигации инвестор предполагает, что доходность к сроку погашения облигации будет равна 9 % в год. Купонные платежи, которые выплачиваются дважды в год, будут реинвестированы под 7 % в год. Определить совокупную доходность облигации к концу инвестиционного горизонта.

Задано:

P_N = 100 000;P_M= 81 600;m= 2;r_cp = 0,085;r_reinv= 0,07;r_ytm= 0,09;СР= 4 250.

1. Будущие денежные потоки этой облигации включают:

а) 40 купонных платежей в течение инвестиционного горизонта (20 лет) по 4 250 руб.

б) доход от реинвестирования купонных платежей под 7 % в год

в) номинальную цену облигации к концу инвестиционного горизонта.

Купонные платежи и доход от реинвестирования купонных платежей равны:

= 38 470 руб.

2. Ожидаемая цена облигации к концу инвестиционного горизонта находим следующим способом.

а) находим приведенную величину купонных платежей, генерируемых облигацией в последующие 17 лет при принятой ставке доходности к сроку погашения 9 % в год:

= 66 907 руб.

б) приведенная стоимость номинала облигации к концу срока обращения:

= 29 157 руб.

в) ожидаемая цена облигации через четыре года:

66 907 + 29 157 = 96 064 руб.

3. Итого денежных потоков, генерируемых облигацией за 8 периодов (4 года):

38 470 + 96 064 = 134 534 руб.

Находим полную доходность облигации в расчете на полугодие:

(134 534/81 600)^1/8 – 1 = 0,0645 или 6,45 %.

В пересчете на год полная доходность облигации равна: 6,45 × 2 = 12,9 %.

Пример 7.6. Определить полную доходность облигации при досрочной ее продаже

Предположим, что инвестор имеет 6-летний инвестиционный горизонт. Он приобретает 13-летнюю 9%-ую облигацию с выплатами купонного дохода 2 раза в год по номиналу 100 000 руб. Его ожидания следующие:

1) Первые 4 купонных платежа реинвестируются до окончания инвестиционного периода под 8% годовых.

2) Последние 8 купонных платежей реинвестируются до окончания инвестиционного периода под 10% годовых.

3) Требуемая доходность к сроку погашения 7-летней облигации на момент окончания инвестиционного периода составляет 10,6%

Задано:

P_N=P_М=100 000;T=13;T_удер= 6;r_c= 0,09;r_ytm= 0,106;r_реинв1 = 0,08;r_реинв2= 0,1;m=2.

Шаг 1. Определяем все будущие доходы от облигации

1) Купонный доход 4 500 руб. каждые 6 месяцев в течении 6 лет

2) Доходы от реинвестирования первых 4-х купонных выплат под 4,00% в полугодие

3) Доходы от реинвестирования последних 8-ми купонных выплат под 5,00% в полугодие

4) Ожидаемая стоимость бонда по окончании инвестиционного периода (6 лет)

Полный доход = ?

1. Купонный доход + доход от реинвестирования 4-х купонных платежей определим так:

СР= 4 500;m= 2;r = 0,04 (0,08/2);n= 4.

= 19 109 руб.

2. Реинвестируя эту сумму на 4 года (8 периодов) под 8% в год мы получим:

FV= 19 109×(1 + 0,04)⁸ = 26 152 руб.

3. Купонные платежи и доход от реинвестирования за последние 8 периодов равны:

СР= 4 500;m= 2;r= 0,05 (0,1/2);n= 8 (4×2).

= 42 971 руб.

Итого за 12 периодов инвестор получит купонный доход и доход от реинвестирования купонных платежей:

26 152 + 42 971 = 69 123 руб. последние 8 платежей

После окончания инвестиционного горизонта (6 лет) до окончания срока обращения облигации остаются 7 лет. При предполагаемой ставке доходности облигации к сроку погашения (оставшиеся 7 лет) 10,6 % приведенная стоимость купонных платежей будет равна:

СР= 4 500;r_ytm= 0,053 (0,106/2);n= 14 (7×2).

Приведенная стоимость номинала облигации равна:

Итого приведенная величина будущих денежных потоков, генерируемых облигацией, в оставшиеся 7 лет составит:

43 702 + 48 525 = 92 231 руб.

Полученное значение выражает ожидаемую цену облигации по окончании инвестиционного периода.

Итого будущая величина всех денежных потоков, генерируемых облигацией, равна:

69 123 + 92 231 = 161 354 руб.

Шаг 2.

Определяем полную доходность облигации:

или 4, 07 % за полугодие.

В пересчете на год полная доходность облигации равна: 4,07 × 2 = 8,14 %.

Определение полной доходности для отзывных облигаций

Показатель полной доходности может использоваться для оценки доходов и для отзывной облигации. В случае, когда срок отзыва меньше инвестиционного горизонта, то можно определить доходы от купонных платежей и от их реинвестирования, а также отзывную стоимость облигации к первому сроку отзыва. Эти денежные средства могут быть реинвестированы до окончания инвестиционного горизонта. Полученная сумма лежит в основе расчета полной доходности облигации к сроку окончания инвестиционного горизонта. Этот подход покажем на следующем примере.

Пример 7.7.Инвестор решает купить 11 % купонную облигацию за 115, 5 (номинал 100 000 руб.). Срок обращения облигации – 15 лет, доходность к сроку погашения облигации будет равна 9,4 % в год. По условиям выпуска эта облигация может быть отозвана через три года по цене 105 500 руб. Доходность облигации к сроку ее отзыва равняется 7,6 %.

Поскольку доходность облигации к сроку отзыва меньше в сравнении с доходностью к сроку ее погашения, инвестор при определении стоимости облигации в качестве ставки дисконтирования может использовать 7,6 % (доходность к сроку отзыва), что сделает эту облигацию более привлекательной.

Тем не менее, предположим, что инвестиционный горизонт инвестора равен пяти годам, то есть он больше периода обращения облигации до срока ее отзыва. Также учтем, что купонные платежи, которые выплачиваются дважды в год и будут реинвестированы под 7 % в год. Определить полную доходность облигации к к сроку ее отзыва..

1. Определяем все будущие денежные потоки, генерируемые облигацией.

а) купонные доходы в сумме 5 500 руб каждые шесть месяцев в течение трех лет;

б) доход от реинвестирования купонных платежей под 7 % в год;

в) доход от реинвестирования средств, полученных при отзыве облигации под 7% в год.

Купонные доходы и доход от реинвестирования купонных платежей к концу третьего года определяются так:

исходные данные: СР= 5 500;r_реинв= 0,035 (0,07/2);m= 2;n= 6.

= 36 026 руб.

При отзыве облигации через три года инвестор будет иметь денежные средства в сумме:

36 026 + 105 500 = 141 526 руб.

Эта сумма реинвестируется сроком на два года (до конца инвестиционного горизонта) под 7% в год:

141 526 × (1 +0,035)⁴ = 162 401 руб.

Таким образом, сумма денежных потоков, полученных инвестором в течение горизонта инвестирования (5 лет), будет равна 162 401 руб.

2. На следующем шаге определяется полная доходность облигации за период (6 месяцев):

= 0,0347 или 3,47 % за период.

В пересчете на год полная доходность облигации будет равна:

r = 3,47 × 2 = 6,94 %.

Сравнение доходности купонных и дисконтных облигаций

При оценке доходности двух облигаций на основе ставки доходности к сроку погашения не всегда можно получить верный результат. Менеджер не облагаемого налогом портфеля с ценными бумагами иногда сталкивается с необходимостью определения доходности купонных облигаций и облигаций, по которым доход обеспечивается в виде дисконта при покупке облигаций.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 7.8. Менеджер не облагаемого налогом портфеля с ценными бумагами рассматривает вариант покупки двух облигаций: облигации с купонным доходом 12 % в год по номинальной цене (100 000 руб.) и бескупонной облигации по цене 59,1. Обе облигации имеют срок обращения 5 лет и по качеству – одинаковы. По купонной облигации купонный доход выплачивается дважды в год. Менеджер портфеля планирует обе облигации держать до срока погашения.

Для бескупонной облигации доходность к сроку погашения (r_ytm)будет равна:

591 = 1000/(1 + r_ytm/2)^2×5

Решим это уравнение относительно r.

(1 + r_ytm/2)¹⁰= 1000/591

(1 + r_ytm/2) = (1,69204)^0,1

Откуда: r_ytm= 10,8 %.

Поскольку для бескупонной облигации отсутствует доход от реинвестирования купонных платежей, полная доходность такой облигации будет также равна 10,8 %.

Для купонной облигации, купленной по номиналу, полная доходность будет равна как купонной доходности, так и ставке доходности к сроку ее погашения, то есть 12 %. В этом случае встает вопрос о ставке, по которой должны реинвестироваться купонные платежи, чтобы обеспечивалась полная доходность. Обычно эту ставку называют равновесной ставкой рефинансирования.

Предположим, что инвестор вместо покупки купонной облигации решил вложить свои средства в покупку бескупонной облигации с доходностью к сроку погашения 10,8 %. Полугодовая ставка доходности к сроку погашения облигации составит 5,4 %. Очевидно, что 100 000 руб., вложенные в бескупонную облигацию обеспечат инвестору получение через 10 периодов денежные средства в сумме:

100 000 × (1 + 0,054)¹⁰= 169 202 руб.

Инвестору будет безразличен выбор между облигациями, если купонная облигация обеспечит ему получение к концу срока ее погашения 169 202 руб. И если это так, то купонная облигация за время владения ею должна принести инвестору:

а) 10 купонных платежей по 6 000 руб каждые полгода в сумме:

10× 6 000 = 60 000 руб.;

б) доход от реинвестирования купонных платежей;

в) номинальную стоимость облигации (100 000 руб.)

Таким образом, доход от реинвестирования купонных платежей будет равен:

169 202 – 100 000 – 60 000 = 9 202 руб.

Следовательно, сумма купонных платежей и дохода от их реинвестирования составит:

60 000 + 9 202 = 69 202 руб.

Используя формулу (1), которая применялась нами выше для расчета купонного дохода и дохода от реинвестирования купонных платежей, можем найти ставку рефинансирования из следующего выражения:

.

Решая это уравнение относительно r, находим, что полугодовая равновесная ставка рефинансирования купонных платежей равна 3,14 %. В пересчете на год эта ставка равна 6,28 %.

Таким образом, у портфельного менеджера есть база для выбора облигации. Если купонные платежи можно реинвестировать по ставке выше 6, 28 % в год, то следует покупать купонную облигацию свыше заданными параметрами. Если же ставка рефинансирования купонных платежей будет ниже 6,28 %, то тогда менеджер должен приобрести дисконтную облигацию. Если же ставка рефинансирования равна 6,28 %, то менеджер может покупать любую из рассмотренных облигаций, поскольку обе облигации обеспечат одинаковую полную доходность.

Мы предполагали, что менеджер управляет свободным от налогообложения портфелем. Если купонные доходы облагаются налогом, то при анализе условий приобретения облигаций необходимо учесть налоговую ставку.

Резюме

В разделе 6 нашего курса лекций мы рассмотрели три основных потенциальных источников денежного дохода от владения облигацией. Мы также показали существенную роль дохода от реинвестирования купонных платежей в общем доходе, генерируемого облигацией. В этом разделе курса лекций мы исследовали еще один показатель доходности облигации, который занимает более важное место в сравнении с показателем доходности облигации к сроку ее погашения. Этот показатель называется полной доходностью облигации и часто используется инвесторами при принятии решения о покупке облигаций.

Почему этот показатель предпочтительнее доходности к сроку погашения? Это обусловлено тем, что показатель доходности к сроку погашения представляет собой так называемую обещанную доходность облигации, которую можно получить, если:

а) инвестор владеет облигацией до наступления срока ее погашения;

б) все купонные платежи реинвестируются по ставке, равной показателю доходности к сроку погашения облигации.

Доход от реинвестирования купонных платежей может составлять существенную часть дохода, получаемого от владения облигацией. Если же купонные платежи будут реинвестироваться по ставке ниже показателя доходности к сроку погашения, то облигация принесет меньший доход. В этом разделе мы показали, что инвестор может исходить из предположения, что ставка рефинансирования может быть иной, чем ставка доходности к сроку погашения, исходя из своих ожиданий. Поэтому показатель полной доходности облигации следует рассчитывать исходя из ожиданий инвестора величины ставки рефинансирования купонных платежей.

В этом разделе мы показали методы расчета показателя совокупной доходности облигации при условии, когда инвестиционный горизонт инвестора, то есть период владения облигацией, будет меньше срока обращения облигации.

Кроме того в разделе мы показали также метод расчета полной доходности для отзывных облигаций. Все рассмотренные методы расчета показателя совокупной доходности облигаций проиллюстрированы соответствующими примерами.