Краткие теоретические сведения

В соответствии с теоремой Котельникова сигнал S(t) с ограниченным спектром можно представить рядом

. (П3.1)

Дискретные значения S(nt) сигнала берутся через интервалы t = 1/2f_m, где f_m – максимальная частота в спектре сигнала S(t). По существу, ряд (П3.1) является ещё одной реализацией обобщенного ряда Фурье

, (П3.2)

где роль коэффициентов разложения C_n выполняют выборки S(nt), а базисных функций – функции отсчёта

. (П3.3)

Последовательность выборок S(nt) на временной оси можно назвать спектром Котельникова (по аналогии с частотным спектром Фурье и спектром Уолша). Процедуру дискретизации сигнала можно представить как умножение колебания S(t) на периодическую (с периодом T_Д) последовательность y_Т(t) весьма коротких прямоугольных импульсов длительности t_и :

, (П3.4)

где

. (П3.5)

Внимание. В формулах (П3.1) и (П3.5) используется одна и та же буква "n" для обозначения номера спектральной составляющей: частотной в ряде Фурье (П3.5) и временной - в ряде Котельникова (П3.1).

Такое перемножение равносильно амплитудной модуляции сигналом S(t) множества гармонических колебаний вида

. (П3.6)

При этом каждый раз происходит расщепление спектра S(j) исходного сигнала S(t) на две равные (по величине) части и разнесение этих половинок по шкале частот в окрестность точек  n₁. Итоговый спектр приобретает форму

. (П3.7)

Итак, спектр S_Т(j) дискретизованного сигнала S_Т(t) представляет собой набор квазипериодических спектральных копий S[j(  n₁)] исходного сигнала, повторяющихся через период ₁=2 / Т_Д, но убывающих с весом (A₀t_и / T_Д)sinc(nt_и / T_Д). Только при t_и  0, когда, спектр дискретного сигнала становится практически периодическим

. (П3.8)

если шаг дискретизации T_Д  t = 1/2f_m., то копии S[j(  n₁)] не перекрываются (благоприятная ситуация). Копии примкнут друг к другу при T_Д = t (критическая позиция), а при T_Д  t они пересекутся (недопустимая ситуация).

Восстановление сигнала S(t) из его дискретного образа S_Т(t) выполняется при помощи ФНЧ с частотой среза _ср  _m. В этом случае из спектра (П3.7) выделяется только его центральная копия (при n = 0):

(П3.9)

Это слагаемое суммы (П3.8), как и другие, несет в себе всю информацию о колебании S(t).

Лучше всего выделять спектр (П3.9) идеальным ФНЧ с передаточной функцией K_ид(j) с частотой _ср = _m . При этом исходный сигнал S(t) восстанавливается без искажений, если T_Д  t (в случае же T_Д  t искажения неизбежны из-за указанных выше спектральных накладок).

Для реального ФНЧ с передаточной функцией K_реал(j) существует только одна возможность неискаженного восстановления сигнала: T_Д  t, то есть когда

. (П3.10)

Отсюда максимальный (допустимый) шаг дискретизации

. (П3.11)

Повышение этого значения вызовет втягивание соседних копий спектра S[j(₁)] под АЧХ реального фильтра и приведет к искажению сигнала даже в отсутствии спектральных накладок. На практике, из-за вытянутых "хвостов" АЧХ реального фильтра, рекомендуется выбирать шаг T_Д в 2 ... 5 раз меньше t.

ряд Котельникова для модулированных колебаний:

, (П3.12)

где t_м – интервал дискретизации модулированного колебания, определяемый шириной его узкополосного спектра f₂ – f₁ = 2f₀,

, (П3.13)

A(nt_м)– отсчёты огибающей, пропорциональной модулирующему сигналу S(t);

(nt_М) – отсчёты фазы.

Ряд (П3.12) отличается от ряда (П3.1), в основном, наличием высокочастотного сомножителя cos[₀t+(nt_м)]. Что касается функции отсчета

, (П3.14)

то её особенность состоит в определении частоты ₀=2f₀, а, следовательно, и интервала дискретизации t_м. Так, при амплитудной модуляции полигармоническим сигналом S(t) с верхней частотой в спектре _m, которая определяет значение полуширины спектра АМ колебания ₀=_АМ=_m=2F_m, интервал дискретизации, согласно (П3.13),

. (П3.15)

Следовательно, при дискретизации АМ колебаний интервал t_АМ равен интервалу дискретизации t для модулирующей функции S(t).

В случае же угловой модуляции, где ширина спектра 2_O = 2_д = 2m_m (m–индекс модуляции), интервал дискретизации

, (П3.16)

то есть интервал требуется сократить в m раз. Это является следствием расширения спектра при угловой модуляции.

Импульсная характеристика идеального ФНЧ определяется в виде

(П3.17)

где t_з – время задержки, находится из ФЧХ фильтра:  ()=t_з.

Дополнив полученное выражение до sin (x)/x, получим

(П3.18)

Смещение возбуждающего дельта -импульса на nt найдет следующее отражение в отклике (П3.18)

(П3.19)

Функция (П3.19) совпадает по форме с функцией отсчёта sinc[_m(t–nt)] ряда (П3.1). Отсюда делаем вывод (теперь уже с временной точки зрения) о возможности использования идеального ФНЧ для синтеза сигнала по алгоритму (П3.1). Действительно, заменяя дельта-импульс с единичной площадью реальной выборкой с площадью S(nt)t_и и учитывая _ср = _m =  / t, импульсную характеристику (П3.19) можем принять за n-е слагаемое U_n(t) выходного сигнала S_(t):

. (П3.20)

сумма слагаемых U_n(t) составляет выходной сигнал идеального ФНЧ

(П3.21)

Перечислим операции, которые реализует идеальный ФНЧ при синтезе сигнала:

- "генерирует" (создает) функции отсчёта вида g_n(t);

- умножает выборки S(nt) на функции отсчёта (свойство линейности), образуя n-е слагаемые;

- складывает, (накладывает друг на друга) эти слагаемые, (инерционность фильтра), при "короткой памяти" фильтра слагаемые будут выстраиваться друг за другом.

Естественно, реальный ФНЧ вносит погрешность в синтез сигнала, причем в той мере, в какой его импульсная характеристика отличается от идеальной.

погрешность синтеза в лабораторной работе оценивается как относительное среднеквадратическое отклонение S_(t) от S(t):

. (П3.22)

Она вычисляется компьютером. В программе заложен расчет погрешности, связанный только с искажениями формы исследуемого сигнала S_ (t).

Приложение П3.2