Гармонический анализ и синтез сигналов

1. Цель работы

Основной целью лабораторной работы является усвоение и углубление знаний, полученных в лекционном курсе РТЦиС о разложении (спектральном анализе) сигналов в ряд Фурье по тригонометрическому базису, о синтезе (восстановлении) сигналов по их спектру.

Поскольку работа является первой в этой компьютерной лаборатории, то ставится также задача освоения интерфейса программы, приобретения навыков работы в подобной лаборатории.

Литература: [1, c. 17…27; 2, c. 27…38; 5, c. 16…24;

6, c. 12…16; 9, c. 9…20; 14, c. 36…50].

2. Домашняя работа

А. Подготовка к лабораторной работе

2.1. Нарисуйте структурные схемы анализатора спектра и синтезатора сигнала. Приведите соответствующие алгоритмы.

2.2. Вычислите коэффициенты a_n, b_n, амплитуды А_n и фазы _n для нулевой, первой и второй гармоник заданного сигнала прямоугольной формы (прил. П1.3).

2.3. Запишите формулу (1.17) для вычисления погрешности анализа _а и найдите эту погрешность при аппроксимации заданного сигнала прямоугольной формы суммой трех членов ряда, найденных в предыдущем подпункте.

Б. Обработка результатов лабораторной работы

и составление отчета

2.4. включите в отчет результаты домашней работы, все распечатки и записи, полученные при выполнении лабораторной работы.

2.5. Выполните все требуемые в лабораторной работе вычисления и сравнения, проведите краткое обсуждение результатов, ответьте на поставленные вопросы по каждому из 11 пунктов работы, по ходу их выполнения.

2.6. Вычислите погрешность _а по результатам спектрального анализа сигналов с

заданными параметрами (экспериментальные данные) с включением гармоник от 0 до n_maкс :

- прямоугольного сигнала со скважностью Q > 2;

- треугольного и пилообразного сигналов.

Номер высшей гармоники n_maкс задан в прил. П1.3. Сравните вычисленные значения _а с погрешностями, полученными в лаборатории.

2.7. В заключительной части отчета сделайте обобщающие выводы и суждения относительно основных положений спектральной теории сигналов, нашедших подтверждение в лабораторной работе, а именно:

- связь между длительностью импульса и шириной его спектра;

- влияние разрывов временной функции на сходимость ряда Фурье;

- подтверждение равенства Парсеваля;

- влияние гармоник на формирование вершины и фронта (среза) прямоугольных импульсов;

- лепестковый (групповой) характер спектра и его проявление при синтезе сигналов прямоугольной формы;

- подтверждение свойств ортогональности и полноты базисной системы;

- другие моменты, замеченные пытливым исследователем - автором отчета.

3. Работа в компьютерном классе

А. Меандр

3.1. В режиме анализа спектра ("механизм формирования коэффициентов ряда Фурье") ознакомьтесь с процедурой получения коэффициентов a_n, b_n, амплитуд А_n и фаз _n гармоник при времени задержки t_з = 0. При изменении номера гармоники n (1,15) обратите внимание на эволюцию подынтегральных произведений s(t)cosn₁t и s(t)sinn₁t .

Попробуйте визуально проинтегрировать (усреднить) эти произведения и обнаружить совпадение, хотя бы приближенное (с точностью до знака), ваших результатов с вычисленными компьютером коэффициентами а_n, b_n, а как следствие и со значениями А_n и _n.

3.2. Установите заданное значение t_з. Убедитесь, что коэффициенты a_n, b_n и фазы

_n стали иными, а амплитуды гармоник А_n остались прежними. Выведите на принтер и распечатайте содержимое экрана при n=15.

Выполните здесь еще два наблюдения.

Первое. в положении n = 15 переберите t_з  (-0,5; 0,5) мс и понаблюдайте за изменением фазовой спектрограммы (n). Запишите значения ₁₅, а₁₅, b₁₅ для t_з= -0,5; 0,25; 0; 0,25; 0,5 мс.

Второе. в положении n = 1 или n = 3 измените постоянное смещение U_о в пределах U_о  (-E, E). Обратите внимание на существенное изменение подынтегральных произведений, но неизменность (!) коэффициентов а_n и b_n, кроме а₀ /2.

3.3. В режиме синтеза сигнала при заданном значении t_з ознакомьтесь с процедурой синтеза (восстановления) меандра, изменяя n  (1,14). При этом на дисплее будут демонстрироваться и крайние ситуации: для n = 0 и n = 15. Обратите внимание на фазировку гармоник (в соответствии с фазовым спектром), на характер изменения вершины и фронта импульсов, на снижение погрешности синтеза при увеличении числа слагаемых в ряде Фурье. Не упустите из виду и дефект Гиббса. Выведите на принтер содержимое экрана для n = 4 (или n = 5).

Б. Импульсы прямоугольной формы со скважностью Q > 2

3.4. Для заданной скважности Q при t_з = 0 выполните пошаговый (n (1,15)) спектральный анализ. Обратите внимание на лепестковый характер спектра.

При n=15 дополнительно рассмотрите следующее.

Первое. изменяя скважность Q  (2,15), проследите за формированием лепестков спектра. Проверьте, сколько гармоник размещается в одном спектральном лепестке и как это число зависит от скважности.

Второе. установив заданную скважность Q, переберите t_з  (-0,5; 0,5) мс. Убедитесь в правильности изменения дискретных спектрограмм А(n) и (n). На принтер выведите экран анализа с заданными Q, t_з и n=15.

При оформлении отчета вычислите фазы _n для двух-трёх гармоник для заданного t_з, сравните полученные значения с соответствующими фазами на фазовой спектрограмме  (n).

3.5. Выполните синтез сигнала, наблюдая за восстановлением формы импульсов при увеличении числа гармоник n  (1,14). Не упустите из виду механизм формирования вершины импульса, влияние на этот механизм фаз гармоник в лепестках. Распечатайте экран синтеза с заданным Q, t_з, n = n_maкс (см. прил. П1.3).

В. Пилообразные импульсы

3.6. Изучите спектральный состав "типового" сигнала пилообразной формы, когда t_u= Т, (t_u = 1 мс, а t_з = 0, U_о = 0, Е = 1 В). Сравните амплитудный и фазовый спектры с соответствующими спектрами меандра. Попробуйте укоротить импульс, объясните изменения амплитудного спектра, свяжите их с известной теоремой о связи длительности импульса с шириной его спектра.

3.7. В режиме синтеза (опять t_u = 1 мс, t_з = 0) проследите за восстановлением пилообразных импульсов при увеличении n, не упуская из виду фазировку четных и нечетных гармоник. Сравнивая синтез меандра и пилообразного сигнала, объясните причину исчезновения положительного скачка в последнем случае.

Запишите погрешность синтеза _С для n = n_maкс, заданного в прил. П1.3.

Г. Колебания треугольной формы

3.8. Рекомендуется повторить пункты 3.6 и 3.7, но для "типового" импульса треугольной формы: t_u = Т, t_з = 0. Обратите внимание на быструю сходимость ряда Фурье для этого сигнала.

При предельном укорочении импульсов (в практикуме t_u = 0,05 мс) сумма ряда из 15 гармоник приближается к функции вида sin (х)/х. Свяжите полученный результат со спектрограммой этих коротких импульсов. Запишите погрешность синтеза _С для n=15 и n = n_maкс с тем, чтобы позже сравнить её с погрешностью в п. 3.10.

Д. Колебания вида sin (х)/х

3.9. При исследовании этого сигнала рекомендуется получить аргументированные ответы на следующие вопросы.

Как связана функция sin(х)/ х с функцией (t)?

Почему ширина спектра определяется числом полуволн N в сигнале?

Можно ли использовать данный сигнал в качестве испытательного при снятии частотных характеристик линейного четырехполюсника?

3.10. Выполните два дополнительных исследования.

Первое. используя метку, получите (запишите) численные значения функций в фиксированный момент времени и убедитесь, что сумма ряда из n гармоник есть алгебраическая сумма ряда из n-1 гармоник с n-й гармоникой. Рекомендуется использовать графики для n = 14 и n = 15. Измерение лучше выполнить в начале графиков, то есть при t =- 0,5 мс. Кроме того, для измерений следует пользоваться увеличенными окнами (кнопка F5).

Второе. запишите погрешность синтеза сигнала при n=N=15 и сравните ее с погрешностью наиболее короткого импульса треугольной формы (см. п. 3.8). Объясните причину их неполного совпадения. На принтер следует вывести 2 экрана (анализа и синтеза) с заданными параметрами.

Е. Произвольный сигнал

3.11. Выберите из меню пункт "Произвольный сигнал" в режиме синтеза, позволяющий сформировать сигнал из 16 гармоник (n  (0,15)) с любыми амплитудами и фазами (А_n=0…1 В, _n = -…+). В связи с большим объёмом лабораторной работы ограничимся двумя простыми упражнениями (без распечатывания результатов).

Первое. Сложение двух гармоник. Для бригад с четными номерами следует взять 1 и 2-ю гармоники, для нечетных бригад - 1 и 3-ю. Амплитуды лучше взять равными и максимальными, то есть А_n = 1 В. Фазу второй (третьей) гармоники рекомендуется вначале установить нулевой, а затем равной . убедитесь в получении четной (нечетной) результирующей функции и влиянии фазы гармоники на форму сигнала. Меняет ли фаза характер четности (нечетности) функции?

Второе. Сложение двух гармонических колебаний близких частот. Эксперимент рекомендуется провести на гармониках с номерами n = 10…15, причем четные бригады упражняются на парах четных гармоник (с номерами 10 и 12 или 12 и 14), а нечетные - на гармониках 11 и 13 или 13 и 15. Из физики известно, что при этом получаются биения. Определите частоту биений и частоту заполнения (измерьте меткой F6 соответствующие периоды). Теперь предельно сократите частотный интервал между гармониками, то есть возьмите две соседние гармоники (10 и 11 или 13 и 14). Как повлияет сближение частот складываемых колебаний на частоту биений и частоту заполнения?