2. Независимость производственного процесса от масштаба.

Предположим, имеется одинаковых заводов, выпускающих один и тот же продукт. Пусть построили еще один такой завод и наняли для него требуемую рабочую силу. В результате и объем фондов по выпуску данного продукта, и численность занятых увеличится в раз. Понятно, что и выпуск продукта увеличится во столько же раз. Перейдем к макропеременным.

Приведенный пример наводит на мысль о справедливости следующего утверждения: если и фонды, и рабочая сила изменить в одно и то же число раз, то при прежней технологии выпуск изменится во столько же раз. Это свойство производственного процесса называется независимостью от масштаба. Смысл такого названия станет понятен, если учесть, что изменения в раз факторов производства можно рассматривать просто как изменение масштаба (единицы измерения).

Сформулированное свойство иногда вызывает возражения. Если необходимо сделать 2-3 уникальные детали, то их можно сделать вручную. Но если понадобятся тысячи, то проще и дешевле, построив специальный завод, выпускать их на конвейере. При этом выпуск увеличится в большее число раз, чем затраты факторов производства. Этот пример, однако, не совсем корректен, ибо построение завода в данном случае означает изменение технологии и в конечном счете производственной функции. Статистика, как правило, подтверждает справедливость предположения независимости от масштаба. Мы будем считать это предположение выполнено. Независимость о масштаба формулируется следующим образом.

Это означает, что производственная функция является однородной первой степени (линейно однородной). Заметим, что функция Кобба-Дугласа и функция с постоянной эластичностью замены (см. параграф 1.9) этим свойством обладают.

Свойство независимости от масштаба позволяет вместо использовать их отношение количество фондов, приходящееся на единицу рабочей силы, называемое фондовооруженностью(капиталовооруженностью). Полагая в (5) , получаем:

Обозначим . В силу (6)

- выпуск продукта на единицу рабочей силы

То есть, средняя производительность труда

Таким образом, функция характеризует зависимость производительности труда от фондовооруженности.

Из свойств производной функции (см. 1.9) следует, что - возрастающая вогнутая функция (будем считать дважды непрерывно дифференцируема ), в каждой точке , .

Для производной функции, описывающей экономическую систему в целом, естественным выглядит предположение , которая является отражение того, что без фондов или рабочей силы выпуск продукта невозможен. Тогда .

Следовательно, при достаточно больших функция растет медленнее, чем линейная.

Обычно также предполагают, что

т.е. при достаточно малых функция растет быстрее, чем линейная. Это предположение является отражением того, что увеличение фондовооруженности при достаточно малых ее значениях приводит к значительному росту производительности труда. В дальнейшем будем считать, что условие (10) выполнено.

3. Модель Салоу.

Для математического исследования динамической модели, построенной в п.7, перейдем к относительным переменным:

Производительность труда и фондовооруженность были введены в рассмотрение в предыдущем пункте. Величина есть потребление на одного рабочего (удельное потребление). Если считать, что потребление полностью совпадает (в денежном выражении) с общей массой заработной платы, то . Величина представляет собой долю произведенного продукта, вкладываемого в расширение производства и называется нормой (долей) накопления.

Как отмечалось в параграфе 1, для замыкания однопродуктовой макроэкономической модели, надо, в частности задать закон . На семинарских занятиях мы выяснили, что при отсутствии войн, эпидемий, притока или оттока беженцев и других потрясений население с течением времени стабилизируется. Сделав такое допущение, можем считать, что численность населения изменяется с постоянным темпом, т.е. по экспоненциальному закону. То же самое можно сказать и о численности активного населения, так как оно составляет фиксированную долю от численности населения в трудоспособном возрасте.

Предположим, что экономика развивается в условиях полной занятости или с постоянным уровнем безработицы. Тогда и численность занятых будет изменяться с постоянным темпом роста. Под темпом роста непрерывной величины понимают отношение . Если , то . Будем считать, что речь идет о росте в буквальном понимании этого слова, т.е. . В силу (4) уравнение (2) может быть записано в виде:

отсюда

разделив обе части на , с учетом (12) будем иметь

Используя (8), приходим к дифференциальному уравнению, описывающему модель Саллоу:

из (4) и (11) следует

c учетом этого равенства получаем другую форму:

Если задана норма накопления , то по решению уравнения (16) можно легко найти макропеременные описывающие поведение экономической системы. Действительно, поскольку , то .

Вычислив по (8) и (15) производительность труда , предельное потребление , можно получить и остальные макроэкономические переменные: