2 Неоклассическая задача потребления.
В этом параграфе мы будем изучать поведение потребителя, стесненного бюджетными ограничениями. Будем предполагать, что каждый товар имеет некоторую цену, а потребитель обладает определенной суммой денег, тратя которые на приобретение товара, он стремится к максимизации своей функции полезности.
Считаем, что
область определения
ф-ции полезности совпадает с
,
а сама эта функция имеет непрерывные
частные производные по каждому аргументу
в тех точках, в которых эти производные
имеют смысл.
Величину
называют предельной полезностью
-го
товара в наборе
.
Из аксиомы ненасыщения следует, что
предельные полезности неотрицательны.
Мы потребуем выполнения несколько более
сильного условия, считая все предельные
полезности положительны. Пусть
- сумма денег, которой располагает
потребитель. Допуская определенную
вольность речи, будем называть ее
капиталом. Пусть далее
- это вектор цен, где
- цена
-го
товара. Будем считать, что
(
).
Бюджетное ограничение, отражающее то
обстоятельство, что общие расходы
потребителя не могут превышать его
капитала, запишется в виде:
или
Множество
- допустимое множество потребителя.
Множество
- бюджетная линия.
Неоклассическая
задача потребления заключается в
выборе такого набора
из допустимого множества
,
которое является самым предпочтительным,
т.е. для всех остальных наборов
выполняется соотношение
.
В терминах функции полезности задача формулируется следующим образом:
Задача (1) является задачей
нелинейного программирования с
функциональными ограничениями типа
неравенств, и в частности - задачей
выпуклого программирования, если
- вогнутая функция. Такие задачи
исследуются в курсе "Методы оптимизации".
Известное из курса МА классическое правило множителей Лагранжа справедливо для задач с ограничениями типа равенств и к задаче (1) непосредственно применяться не может. Тем не менее, как сейчас будет показано, этот результат оказывается полезным и в данном случае. Прежде всего заметим, что (1) имеет решение, т.к. допустимое множество потребителя представляет собой компакт. Из аксиомы ненасыщения следует, что решение лежит на бюджетной линии. Т.о. (1) эквивалентна следующей задаче:
Пусть
- решение (2), а значит и (1).
,
- это n-вектор, компоненты
которого с индексами из множества
фиксированные и равны 0. Легко видеть,
что
будет точкой локального максимума в
следующей задаче :
Составим функцию Лагранжа для этой задачи:
Согласно
классическому правилу множителей
Лагранжа существует число
,
что
.
Эти равенства эквивалентны следующим
(3):
Т.к.
предельные полезности и цены положительны,
то из (3) получаем
Т.о. предельные полезности приобретаемых товаров в оптимальном наборе пропорциональны ценам товаров. Этот факт был подмечен довольно давно. Некоторые экономисты пытались использовать его для обоснования того, что цены определяются предельными полезностями. Разумеется, связь между ценами и полезностью товаров существует, но не такая прямая, и трактовать (3) т.о. некорректно. При выводе данной формулы мы считали, что цены заданы, а потребитель подстраивается под них при достижении своей цели.