4. Сбалансированный рост (ср)

Под Сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором основные макропоказатели растут с постоянным темпом. Применительно к рассмотренной модели это означает, что с постоянным темпом должны возрастать величины . При сделанном в предыдущем параграфе предположении число занятых будет обладать таким свойством. Обозначим через темпы роста первых четырех показателей и сохраним принятое обозначение для темпа роста рабочей силы.

Покажем, что тогда темпы роста всех показателей должны совпадать. В силу (2) и (17) имеем следовательно, учитывая, что получаем, что . Разделив обе части на , из (13) и (17) следует

После дифференцирования по получим формулу

Эта формула справедлива, когда , т.е . Отсюда и из (18) следует, что , что имеет место, когда .

Сопоставляем полученные соотношения с темпами роста. Покажем, что , - темп роста рабочей силы.

Используя линейную однородность производственной функции, получаем формулу выше.

Т.к. , то .

Производственная функция монотонно возрастает по каждому аргументу, поэтому полученное тождество может выполняться тогда и только тогда, когда , т.е при ; Таким образом , что и требовалось доказать.

При СР темпы изменения основных макропоказателей должны быть одинаковы, следовательно при СР норма накопления и фондовооруженность не зависят от времени. Это означает, что траектории СР отвечает решение дифференциального уравнения Салоу (16), имеющего вид . Найдя такое решение, можно определить основные макропеременные:

Покажем, что в рассматриваемой модели для каждой фиксированной постоянной нормы накопления существует единственная траектория СР. Постоянное решение дифференциального уравнения (16), соответствующее СР, обращает левую часть этого уравнения в 0, т.е. является корнем следующего конечного уравнения конечное уравнение, называют такое уравнение алгебраическим, если - полином.

Покажем, что при заданном постоянном значении нормы накопления уравнение (20) имеет в области (только такие значения имеют экономический смысл) единственное решение. Для этого исследуем свойства функции

Т.к. (см. пар. 2), то . В силу (10) , следовательно в некоторой правосторонней окрестности . Из (9) следует , а значит при достаточно больших . Сопоставляя полученные результаты, приходим к тому, что в некоторой точке , обращается в 0. Т.к. , то и при , т.е. строго вогнутая функция. Тогда она не будет иметь положительных нулей, отличных от . Возможный график этой функции изображен на рис.3. При фиксированной постоянной норме накопления уравнения (20) имеет в области единственное решение, т.е. в рассматриваемой модели существует единственная траектория СР.

Замечание Чем больше норма накопления , тем больше фондовооруженность на траектории СР.

g

0

рис. 3

5. Асимптотическое поведение траектории в модели Салоу

Режим сбалансированного роста - это одна из возможных траекторий развития экономической системы. Если данная модель используется для описания реальной экономики, то любая конкретная траектория будет определяться как решение дифференциального уравнения (16) с начальным условием - значение фондовооруженности в начальный момент времени и не обязательно является траекторией сбалансированного роста (ТСР). Вместе с тем, траектории сбалансированного роста играют важную роль среди множества траекторий рассматриваемых моделей: любая траектория с постоянной нормой накопления по прошествии достаточно большого времени неограниченно приближается к траектории сбалансированного роста следовательно режим сбалансированного роста может быть использован для расчетов экономических показателей при достаточно больших значениях времени, независимо от начальных значений этих показателей. С математической точки зрения описанное свойство траекторий моделей выглядит следующим образом: пусть - фиксированное постоянное значение нормы накопления, - фондовооруженность на соответствующей этой норме траектории сбалансированного роста. Пусть - решение дифференциального уравнения (16) с начальным условием , тогда верно:

Докажем это утверждение. Предположим . В предыдущем параграфе выяснили, что правая часть уравнения (16) (функция 21) принимает в области положительные значения, следовательно будет монотонно возрастать, пока её значения принадлежат этой области . Легко видеть, что не покинет область ни при каких (по теореме о существовании и единственности решения дифференциального уравнения). Действительно, допустив противное, будем иметь при некотором , следовательно через точку проходят по меньшей мере два решения и уравнения (16). В силу свойств правая часть уравнения удовлетворяет условиям теоремы о существовании и единственности решения ОДУ следует - монотонно возрастающая ограниченная функция при . Тогда по теореме Вейерштрасса . В силу (16) . Из существования этого предела следует, что он равен 0. В этом можно в частности убедиться, используя формулу конечных приращений. Т.о. наряду с является корнем (20). Как было установлено в предыдущем параграфе, это уравнение имеет в области единственное решение, следовательно , т.е. выполняется соотношение (22). Аналогично доказывается, что если , то является монотонно убывающей функцией, и имеет место соотношение (22). Если , то соотношение (22) опять таки верно. Поведение траекторий уравнения (16) при фиксированном постоянном изображено на рис.4.

Из полученных результатов следует, что постоянное решение в уравнении (16) является устойчивым по Ляпунову, а значит и асимптотически устойчивым. Отметим, что доказано более сильное свойство, чем асимптотическая устойчивость, т.к последнее означает сходимость тех траекторий, начальные значения которых достаточно близки к .

В заключении рассмотрим случай, когда производственная функция является функцией Кома-Дугласа (параграф 1.9). В этом случае . Тогда уравнение (16) будет иметь вид

Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что общее решение уравнения (23) представимо в виде:

где отвечает сбалансированному росту. Значение фондовооруженности, являющегося корнем .

Этот результат естественно совпадает с полученным выше результатом для произвольной линейно-однородной производственной функции.