2.3 Закон Гука при растяжении. Модуль упругости (Юнга).

При растяжении (сжатии) бруса , то есть при его деформации внутри возникают напряжения. Было установлено, что в упругой стадии работы материала напряжение и деформация связаны прямой пропорциональной зависимостью. Эта зависимость носит название закон Гука.

σ=Eε-для материала! (2.2) ε-относительная продольная деформация

Δl- абсолютное удлинение(укорочение), l-первоначальная длинна, l₂-длинна после нагрузки

Коэффициент пропорциональности зависимости 2.2 Е называется модулем упругости(Юнга). Модуль упругости так же как и напряжение выражается в Па. Он является физической константой, характеризующей жесткость материала. Чем больше Е, тем меньше деформируется материал при одном и том же усилии.

М одуль упругости определяется экспериментальными испытаниями материала на растяжение.

tgφ-σ/ε=Е

4.5 Момент инерции простых сечений.

1 ° Прямоугольник. Вычислим моменты инерции сечения относительно оси х₀, проходящей через центр тяжести параллельно основанию.

(4.10) Следовательно,

(4.10’)

З а dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA=bdy, тогд

2° Квадрат. Из полученных для прямоугольника формул для квадрата с h=b=a

(4.11)

3° Прямоугольный треугольник.

4° Равнобедренный треугольник.

(4.13)

(4.13’)

5° Круг.

О пределим полярный момент относительно центра круга: . За dA примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dρ, т.е. dA=2πρdρ; тогда Следовательно,

Найдем . Для круга имеем

№10

2.4 Коэффициент поперечной деформации. (Пуассона)

По аналогии с продольной деформацией отношение

ε_х=-(Δb/b) ε_у=-(Δh/h) (2.4) представляет собой поперечную деформацию, где Δb и Δh характеризуют абсолютное изменение поперечных размеров Брусов по осям Ох и Оу. Поперечная деформация изотропного материала по всем напряжениям одинаковая.

ε_х=ε_у=ε^’

При растяжении она будет отрицательна, происходит сужение стержня, при сжатии положительная, происходит расширение стержня. Отношение ν=ε^’/ε (2.5) называется коэффициентом поперечной деформации Пуассона.

Коэффициент Пуассона - безразмерная величина, определяющаяся экспериментально. Для различных материалов значение коэффициента Пуассона колеблется от 0 до 0.5.

4.4 Моменты инерции площади сечения.Если элементарные площадки dA умножить на квадраты расстояний до некоторой оси и просуммировать эти произведения по всей площади сечения, то получится геометрическая характеристика, называющаяся осевым моментом инерции:

Интеграл произведений элементарных площадок на квадрат расстояний до начала координатной системы представляет собой полярный момент инерции:

Полярный момент инерции связан с осевыми моментами зависимостью:

Интеграл произведений элементарных площадей на расстояние до двух взаимно перпендикулярных осей называется центробежным моментом инерции. (4.8) В зависимости от знаков координат центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

О севые и полярные моменты инерции могут быть только положительными (т.к. в их уравнения координата входит в квадрате). Единицей момента инерции является единица длины в четвертой степени. Если взаимно перпендикулярные оси х и у или одна из них является осями симметрии для фигуры, то относительно таких осей центробежный момент инерции равен нулю. Действительно, для симметричной фигуры всегда можно выделить два элемента ее площади, которые имеют одинаковые ординаты у и равны, но противоположные по знаку абсциссы х.

Составляя сумму произведений хуdA для таких элементов, т.е. вычисляя интеграл получим 0.

№11