12. Наибольшее и наименьшее значения функции

Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой области, достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в точке границы области.

Индивидуальное домашнее задание и разбор типовых заданий

Задача 1. Найти и изобразить область определения функции:

Решение задачи 1.11

Задание: Найти и изобразить область определения функции

.

Решение

Заданная функция определена при условии

, что равносильно системе

.

Поскольку числитель и знаменатель первого неравенства представляют собой суммы квадратов, то неравенство выполняется для всех пар (x; y), кроме (-2;0) и (2;0), в которых числитель или знаменатель обращаются в 0.

Решением второго неравенства является часть плоскости xOy, находящаяся под прямой y=x.

Итак, областью определения функции является следующее множество:

. Изобразим его.

Рис.2 Область определения функции

Рис.3 Графическая интерпретация функции

Задача 2. Выяснить вопрос: будет ли функция непрерывна в точке (0;0) по каждому из аргументов в отдельности? Будет ли она непрерывна по совокупности аргументов?

2.1 = 2.2 = 2.3 = 2.4 = 2.5 =

2.6 = 2.7 = 2.8 = 2.9 = 2.10 = 2.11

Решение задачи 2.11

Задание: Выяснить вопрос: будет ли функция непрерывна в точке (0;0) по каждому из аргументов в отдельности? Будет ли она непрерывна по совокупности аргументов?

Решение

Функция непрерывна в точке по аргументу х, если она в этой точке определена и для фиксированного значения существует предел функции по переменной, равный значению функции в этой точке.

Аналогично определяется непрерывность функции двух переменных по второму аргументу у.

Функция непрерывна в точке по совокупности аргументов, если в этой точке она определена и двойной предел функции равен значению функции в этой точке.

Для исследования непрерывности данной функции в точке по аргументу х зафиксируем аргумент у и, положив у=0, найдём:

.

Так как в данной точке (0;0) рассматриваемая функция не определена, то доопределим её, руководствуясь соображениями непрерывности.

Положим значение функции в данной точке (0;0) равным найденному значению предела: . При таком доопределении функции она будет непрерывной в точке (0;0) по первому аргументу.

Зафиксируем аргумент х, положив х=0. Найдём:

.

Положив , мы получим функцию , непрерывную в точке (0;0) по второму аргументу у.

Итак, доопределив данную функцию в данной точке так, как указано выше, мы получили функцию, непрерывную в точке (0;0) по каждому из аргументов в отдельности.

Покажем, что данная функция в точке (0;0) не будет непрерывной по совокупности аргументов. Для этого достаточно показать, что данная функция в точке (0;0) не имеет двойного предела. Для этого можно использовать два приёма.

1. Покажем, что для двух различных путей подхода к точке (0;0) мы получим различные значения предела данной функции. В самом деле, приближаясь к точке (0;0) по прямым , получим:

.

Полученный результат свидетельствует о том, что в рассматриваемой точке не существует предела данной функции, так как для различных значений k

2. Воспользуемся полярными координатами, положив , тогда при любом фиксированном значении будет

и, следовательно, при любом стремлении будет и .

Т.о., при различных значениях будут различными предельные значения , но это и означает, что данная функция в точке (0;0) не имеет предела. Следовательно, данная функция не является непрерывной в точке (0;0) по совокупности аргументов.

Итак, функция , будучи непрерывной в точке (0;0) по каждому аргументу в отдельности, не является в этой точке непрерывной по совокупности аргументов.

Задача 3. Найти частные производные первого и второго порядков, частные дифференциалы первого и второго порядков для заданных функций. Записать полный дифференциал функции первого порядка.

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11