- •Магнитогорск, 2011 Основные сведения об авторах
- •3. Требования к результатам освоения дисциплины:
- •Основные операции над множествами.
- •Функция.
- •Критерий существования предела числовых последовательностей на языке бесконечно малых числовых последовательностей
- •II Замечательный предел
- •V Замечательный предел .
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Часть 1
- •Основные понятия
- •Понятие функции двух переменных
- •Предел и непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные
- •5. Производная по направлению и градиент
- •Частные производные функций, заданных неявно
- •Дифференцирование сложных функций
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •11. Условный экстремум
- •12. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Индивидуальное домашнее задание и разбор типовых заданий
- •Решение задачи 1.11
- •Решение задачи 2.11
- •Решение задачи 3.11
- •Решение задачи 4.11
- •Решение задачи 5.11
- •Решение задачи 6.11
- •Решение задачи 7.11
- •Решение задачи 8.11
- •Область g
- •Решение задачи 9.11
- •Вопросы к тематическому коллоквиуму
- •Список использованной литературы
Решение задачи 3.11
Задание. Найти частные производные первого и второго порядка для функции . Найти частные дифференциалы первого и второго порядка для заданных функций. Записать полный дифференциал функции первого порядка.
Решение
Найдём , рассматривая как постоянную величину.
= = =
= = =
Найдём , рассматривая как постоянную величину. Функция не изменится, если поменяем местами переменные и .
Следовательно, и .
Соответственно, частные дифференциалы функции первого порядка:
; ,
а полный дифференциал первого порядка
Найдём , , , :
= = = = .
Аналогично = .
= = = 0, = = = 0
Соответственно, частные дифференциалы второго порядка:
= ;
= ;
=0 ;
=0 .
Рис.4 Графическая интерпретация рассматриваемой функции .
Задача 4. Вычислить приближённо значение выражения
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 |
4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 |
Решение задачи 4.11
Задание. Вычислить приближённо значение выражения .
Решение
Введём в рассмотрение функцию . Найдём её приближённое значение в точке М(8,03; 0,98) по формуле
Пусть , , тогда (8; 1)= =1
; ; ;
=1+ ==0,9975.
Задача 5. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к данной функции в точке .
5.1 (4;2;3) 5.2 , (1;2;8) 5.3 , (0;-1;0) 5.4 , (-1;0;0) 5.5 , (5;-4;3) 5.6 , (-3;1;7) |
5.7 , (0,6;0,8;1) 5.8 , (5;0;1) 5.9 , (-2;0;-1) 5.10 , (-1;2;10) 5.11 , (0,6;0,8;1) |
Решение задачи 5.11
Задание. Записать уравнение касательной плоскости и нормали к функции в точке (0,6;0,8;1).
Решение
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке (x ;y ) имеет вид:
уравнение нормали: .
Рис. 5
= = - 0,6
= = - 0,8.
Запишем уравнение касательной:
или .
Запишем уравнение нормали:
или .
Задача 6. Для данной функции найти производную в точке М в направлении вектора , градиент функции в точке М и абсолютную величину градиента в точке М.
6.1 , (1;2), 6.2 , (0,6;0,8), 6.3 , (5;0), 6.4 , (-3;1), 6.5 , (-1;0), 6.6 , (4;2),
|
6.7 , (-2;0), 6.8 , (0;-1), 6.9 , (-1;2), 6.10 , (5;-4), 6.11 , (0,6;0,8), |