Область g

Рис. 7

1) Для функции найдём условные экстремумы относительно уравнения связи .

Задачу можно решить методом исключения. Выразим из уравнения связи переменную х: . Тогда, подставив найденное значение в выражение для z, сведём задачу к исследованию функции на наибольшее и наименьшее значения на отрезке .

.

, если или .

Оба найденных значения принадлежат заданному отрезку.

;

Так как , то в точке функция имеет минимум, .

Так как , то в точке функция имеет максимум, .

Это означает, что в точках (3;0) и (1;2) функция имеет условные экстремумы, и эти точки также принадлежат области G.

2)Исследуем поведение функции на границе области .

Подставив значение в выражение для функции z, исследуем полученную функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

,

, если или .

Оба найденных значения принадлежат заданному отрезку.

;

Так как , то в точке функция имеет минимум, . Так как , то в точке функция имеет максимум, .

Это означает, что в точках (4;0) и (4; ) функция имеет условные экстремумы, и эти точки также принадлежат области G.

3) Исследуем поведение функции на границе области .

Подставив значение в выражение для функции z, исследуем полученную функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке .

,

, если .

Найденное значение принадлежит заданному отрезку.

, значит, в точке функция имеет максимум.

Это означает, что в точке (2,5;7) функция имеет условный максимум, причём , и эта точка также принадлежит области G.

Итак,

1) безусловный экстремум функции принадлежит заданной области и .

2) значения функции в точках условного экстремума:

, , , ,

.

3) значения функции в точках пересечения линий, задающих область:

, ,

Наибольшее значение функции в области G : .

Наименьшее значение функции в области G : .

Задача 9. Найти частные производные и сложной функции ,

если: 9.1 , где , ;

9.2 , где , ;

9.3 , где , ;

9.4 , где , ;

9.5 , где , ;

9.6 , где , ;

9.7 , где , ;

9.8 , где , ;

9.9 , где , ;

9.10 , где , ;

9.11 , где , .

Решение задачи 9.11

Задание: Найти частные производные и сложной функции = , если , .

Решение

Имеем: = =

= = = = = ;

= =

= = = = =0.

Вопросы к тематическому коллоквиуму

1. Дайте определение функции двух, трех, п переменных.

2. Что называется областью определения функции двух переменных? Как графически иллюстрируется функция двух переменных?

3. Дайте определение повторных пределов функции в точке .

4. Что называется двойным пределом функции в точке ? Какие эквивалентные определения двойного предела двух переменных в точке вы знаете?

5. Если повторные пределы функции в данной точке существуют и равны, следует ли отсюда существование двойного предела функции в этой точке? Сформулируйте обратное утверждение.

6. Дайте определение непрерывности функции в точке по совокупности аргументов. Как определяется непрерывность функции по каждому аргументу в отдельности?

7. Следует ли из непрерывности функции в точке по каждому аргументу в отдельности её непрерывность в этой точке по совокупности аргументов? Верно ли обратное утверждение?

8. В чем состоит теорема о непрерывности сложной функции?

9. Какая область называется связной?

10. Какими свойствами обладает функция , непрерывная в связной области? Какими свойствами обладает функция, непрерывная в замкнутой ограниченной области ?

11. Что называется частной производной функции по переменной х? Что называется частной производной той же функции по переменной у?

12. Каков геометрический смысл частных производных?

13. В каком случае функция является сложной? В чем заключается теорема о дифференцировании сложной функции? При каких условиях она имеет место?

14. Сформулируйте определение функции, дифференцируемой в точке.

15. Сформулируйте и докажите условия дифференцируемости функции.

16. Будет ли дифференцируемой функция, имеющая конечные частные производные?

17. Будет ли дифференцируемой функция, имеющая непрерывные частные производные?

18. Что называется полным дифференциалом функции двух переменных?

19. Каков геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?

20. На чем основано применение дифференциала для приближенных вычислений приращения функции?

21. Как находится абсолютная и относительная погрешность в приближенных вычислениях?

22. В чем заключается закон сохранения формы (инвариантность формы) дифференциала первого порядка?

23. Дайте определение частных производных высших порядков для функции двух переменных.

24. В чем заключается теорема о смешанных производных функции ? При каком условии смешанные производные второго порядка в данной точке равны?

25. Дайте определение дифференциала второго порядка функции . Как определяется дифференциал п-го порядка?

26. Всякое ли уравнение определяет переменную у как функцию от переменной х? Каковы те условия, когда неявная функция определяется таким уравнением?

27. Будут ли условия, определяющие единственную непрерывную неявную функцию, удовлетворяющую уравнению , необходимыми или достаточными?

28. Каковы те условия, при которых неявная функция, определяемая уравнением , будет дифференцируемой?

29. Как дифференцируется неявная функция?

30. Дайте определение касательной плоскости к данной поверхности в данной на ней точке. Каково уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением в данной точке ?

31. Дайте определение нормали к поверхности, заданной уравнением в данной на ней точке ?

32. Каково уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в случае неявного задания функции?

33. Если функция дифференцируема в точке , то будет ли поверхность в соответствующей точке иметь касательную плоскость? Сформулируйте обратное утверждение. Верно ли оно?

34. Запишите формулу Тейлора для функции , разложенной по целым степеням h и k.

35. Дайте определение максимума и минимума функции двух переменных.

36. Каково необходимое условие существования экстремума функции двух переменных?

37. В чем состоит геометрический смысл необходимого условия?

38. сформулируйте достаточное условие существования экстремума функции двух переменных.

39. Что называется условным экстремумом? В чем заключается правило множителей Лагранжа?

40. Как находится наибольшее (наименьшее) значение функции в области ?

41. Примеры многомерных функций, используемых в экономике.

42. Экономический смысл частных производных.

43. Дифференциальные свойства функции полезности.

44. Задача оптимизации выбора потребителя.

45. Функции спроса.