Часть 1

Дифференциальное исчисление

ПРОГРАММА РАЗДЕЛА

Понятие функции многих переменных ФМП).

Определение функции многих переменных. Способы задания функции многих переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня. Некоторые многомерные функции, используемые в экономике.

Непрерывность ФМП.

Предел в евклидовом пространстве. Повторный предел. Вычисление предела. Непрерывность ФМП в точке, непрерывность в области. Точки (линии) разрыва. Свойства функций, непрерывных в связной области.

Производные и дифференциалы ФМП.

Частные производные первого порядка. Частные производные высших порядков. Геометрический смысл частных производных. Экономический смысл частных производных.

Дифференцируемость ФМП. Полный дифференциал первого порядка. Геометрический смысл полного дифференциала. Дифференциалы высших порядков.

Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявных функций. Замена переменных.

Производная в данном направлении. Градиент функции.

Формула Тейлора для ФМП.

Дифференциальные свойства функции полезности.

Касательная плоскость. Нормаль к поверхности.

Экстремум ФМП.

Определение экстремума ФМП. Необходимые условия экстремума. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области. Задача оптимизации выбора потребителя. Функции спроса.

Основные понятия

1. Понятие функции двух переменных

Пусть дано множество , и пусть каждой точке поставлено в соответствие число ; тогда говорят, что на множестве определена числовая функция двух переменных.

Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторой буквой, например , и пишут , .

Множество называют областью определения функции.

Точку - аргументом, её координаты - независимыми переменными.

Функцию, которая может быть задана с помощью конечного числа арифметических операций и композиций элементарных функций одного переменного от переменных , называют элементарной функцией двух переменных.

Под функцией, заданной формулой понимают функцию, областью определения которой являются все значения аргумента, для которых эта формула имеет смысл и результатом каждой операции, указанной в формуле, является действительное число.

Графиком функции двух переменных , называют множество всех точек , пространства .

Аналогично можно определить понятие функции трёх и более переменных.

Уровнем (с-уровнем, ) функции , , называют множество точек , удовлетворяющих уравнению . Уровни функции двух переменных часто называют линиями уровня, уровни функции трёх переменных – поверхностями уровня.

2. Предел и непрерывность функции двух переменных

Дадим определение предела функции двух переменных на двух языках: на языке последовательностей (по Гейне) и на языке окрестностей (по Коши).

Определение предела функции (определение по Гейне)

Пусть область определения функции содержит окрестность точки , кроме быть может самой точки .

Число а называют пределом функции в точке , если для любой последовательности точек , , сходящейся к , числовая последовательность сходится к а.

Определение предела функции (определение по Кош).

Число а называют пределом функции в точке , если для каждого числа существует такое число , что для всех , удовлетворяющих условию , где , выполняется неравенство .

Определения Коши и Гейне равносильны.

Если число а является пределом функции в точке , то пишут или или

Чтобы показать, что не существует, достаточно указать две кривые, проходящие через точку , по которым пределы функции в точке имеют разные значения.

Для функции многих переменных можно рассматривать так называемые повторные пределы. В случае функции двух переменных можно рассматривать два повторных предела в точке :

и

Функцию , определённую в окрестности точки , называют непрерывной в точке , если

Функцию называют непрерывной в области , если она непрерывна в каждой точке области .

Нарушение условий непрерывности для функции может происходить как в отдельных точках (изолированная точка разрыва), так и в точках, образующих одну или несколько линий (линии разрыва), а иногда и более сложные геометрические образы.