- •Магнитогорск, 2011 Основные сведения об авторах
- •3. Требования к результатам освоения дисциплины:
- •Основные операции над множествами.
- •Функция.
- •Критерий существования предела числовых последовательностей на языке бесконечно малых числовых последовательностей
- •II Замечательный предел
- •V Замечательный предел .
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Часть 1
- •Основные понятия
- •Понятие функции двух переменных
- •Предел и непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные
- •5. Производная по направлению и градиент
- •Частные производные функций, заданных неявно
- •Дифференцирование сложных функций
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •11. Условный экстремум
- •12. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Индивидуальное домашнее задание и разбор типовых заданий
- •Решение задачи 1.11
- •Решение задачи 2.11
- •Решение задачи 3.11
- •Решение задачи 4.11
- •Решение задачи 5.11
- •Решение задачи 6.11
- •Решение задачи 7.11
- •Решение задачи 8.11
- •Область g
- •Решение задачи 9.11
- •Вопросы к тематическому коллоквиуму
- •Список использованной литературы
Основные операции над множествами.
Объединение множеств.
Объединением множеств А и В или их суммой называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В ( ).
Примеры:
Пресечение множеств.
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из множеств А и В ( ).
Примеры: Ø=Ø.
Произведение множеств.
Множество всех упорядоченных пар (а,b), a , называется произведением множеств А и В: ( ).
Примеры: Если , то Ф - прямоугольник, представляющий собой произведение отрезков и (рис.1)
y
d
c
0 a b x
Рис.1
Разность множеств.
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат А и не принадлежат В. Обозначается как
Примеры: Ø; .
Замечание: Если В А, то разность А и В называется дополнением множества В до множества А.
Мощность множества.
Пусть А и В – множества.
Определение: Правило , которое соотносит каждому элементу a А один и только один элемент , причем каждый элемент соотнесен одному и только одному элементу a А, называется взаимно-однозначным соответствием между множествами А и В.
Определение: Если между множествами А и В можно установить взаимнооднозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны или что они имеют одинаковую мощность.
Понятие мощности для конечных множеств имеет смысл одинаковой их численности.
Счетные и несчетные множества.
Определение: Всякое множество А, эквивалентное множеству натуральных чисел, называется счетным.
Определение: Множество, не эквивалентное множеству натуральных чисел, называется несчетным.
Примеры: Множество Q-счетное множество.
Множество R-несчетное множество.
Множество I-несчетное множество,(I=R\Q).
Функция.
Определение: Пусть даны непустые множества А и В. Если каждому элементу х из А ставится в соответствие по закону f один и только один элемент у из В, то говорят, что на множестве А задана функция f со множеством значений в В.
Можно записать в виде , где х – аргумент, или у – значение функции f.
Множество А называется областью определения функции. - множество значений функции, причем может совпадать со множеством В или быть его частью.
Пример 1.
Для функции область определения, следуя понятию арифметического корня, определяется решением неравенства , т. е. А=[-1;1]. Множество значений функции =[0;1], являющееся частью множества .
Пример 2.
Для функции областью определения является (0;125).
Пример 3.
Для функции y=cos5x-1,5 множеством значений является [-2,5;-0,5].
Числовая последовательность
Df: Числовой последовательностью называют любую числовую функцию, определенную на множестве всех натуральных чисел.
Обозначают числовые последовательности так:
или , или .
Df: Выражения f(n ) и an называют общим членом числовой последовательности или переменной.
Df: Число α называют пределом числовой последовательности (переменной an), если
.
Предел числовой последовательности обозначают как .
Бесконечно малые и большие последовательности
Df: Последовательность называется бесконечно малой, если .
По определению предела это означает ( ).
Df: Последовательность называется бесконечно большой, если .
А
Классификация бесконечно малых последовательностей
Df: Бесконечно малые последовательности и называются эквивалентными, если . Обозначается это как ~ .
Df: Бесконечно малые последовательности и - называются бесконечно малыми одного порядка малости, если
( ) и .
Df: Б/м называется бесконечно малой более высокого порядка малости, чем бесконечно малая , если .
Th: Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими переменными
Если αn - бесконечно малая переменная, и , то является бесконечно большой переменной.
Доказательство:
Т.к. по условию - бесконечно малая числовая последовательность, то
Построим
Возьмём произвольно .
Возьмем .
Т.к. .
Тогда в совокупности получаем, что
, т.е. при . А это означает по определению, что βn – есть бесконечно большая переменная.
Свойства бесконечно малых числовых последовательностей.
10 .Сумма, разность и произведение бесконечно малых числовых последовательностей есть бесконечно малая числовая последовательность.
20 .Произведение бесконечно малой числовой последовательности на ограниченную числовую последовательность является бесконечно малой числовой последовательностью.
30 .Произведение б/м числовой последовательности на константу есть б/м числовая последовательность.
40. Если бесконечно малые , и , то
Доказательство 10
Пусть и - б/м числовые последовательности.
Покажем, что - б/м числовая последовательность.
Действительно, т.к. и , то ,
.
Выберем . Тогда одновременно выполняется:
и .
Сложим
Таким образом, , т.е. - бесконечно малая.
Доказательство 20
Пусть - б/м числовая последовательность, а - ограниченная числовая последовательность.
Покажем - б/м числовая последовательность.
Действительно
Т.к. - ограниченная, то по определению означает .
Построим .
Оценим, , т.к. .
Для ( в том числе и для ) .
Это означает, что . А это в свою очередь значит, что числовая последовательность - бесконечно малая числовая последовательность.
Доказательство 30
Пусть - б/м числовая последовательность и .
Докажем - б/м числовая последовательность.
Очевидно, - ограниченная числовая последовательность.
А тогда на основании свойства 20 - б/м числовая последовательность.
Доказательство 40