- •Магнитогорск, 2011 Основные сведения об авторах
- •3. Требования к результатам освоения дисциплины:
- •Основные операции над множествами.
- •Функция.
- •Критерий существования предела числовых последовательностей на языке бесконечно малых числовых последовательностей
- •II Замечательный предел
- •V Замечательный предел .
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Часть 1
- •Основные понятия
- •Понятие функции двух переменных
- •Предел и непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные
- •5. Производная по направлению и градиент
- •Частные производные функций, заданных неявно
- •Дифференцирование сложных функций
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •11. Условный экстремум
- •12. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Индивидуальное домашнее задание и разбор типовых заданий
- •Решение задачи 1.11
- •Решение задачи 2.11
- •Решение задачи 3.11
- •Решение задачи 4.11
- •Решение задачи 5.11
- •Решение задачи 6.11
- •Решение задачи 7.11
- •Решение задачи 8.11
- •Область g
- •Решение задачи 9.11
- •Вопросы к тематическому коллоквиуму
- •Список использованной литературы
Формула Тейлора
Пусть функция двух переменных z = непрерывна вместе со всеми своими частными производными до (n+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки (a,b). Тогда представим эту функцию в виде суммы многочлена п-го порядка по степеням (х-а) и (у-b) и некоторого остаточного члена. В рассматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора:
где остаточный член представлен в форме Лагранжа
В других обозначениях эта формула прозвучит так:
Или же через полные дифференциалы различных порядков:
Частный случай формулы Тейлора получаем при , что носит название формулы Маклорена.
Пример. Найти приращение, получаемое функцией при переходе от значений х=1, у=2 к значениям .
Решение
Искомое приращение можно найти, применяя формулу
Вычислим предварительно последовательные частные производные и их значения в данной точке (1; 2):
|
|
Все дальнейшие производные тождественно равны нулю. Подставляя найденные результаты в исходную формулу, получим:
Экстремум функции нескольких переменных
Говорят, что функция z = имеет максимум в точке , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё выполняется неравенство .
Аналогично говорят, что функция z = имеет минимум в точке , если для всех точек , достаточно близких к точке и отличных от неё выполняется неравенство .
Максимум или минимум функции называется её экстремумом.
Аналогично определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.
Теорема 1 (Необходимые условия экстремума).
Если функция z = достигает экстремума при , , то каждая частная производная первого порядка или обращается в нуль при этих значениях аргументов, или не существует.
Точки, в которых дифференцируемая функция z = может достигать экстремума, называются стационарными точками и находятся путём решения системы уравнений:
Данная система эквивалентна одному уравнению .
В общем случае необходимые условия позволяют отыскать критические точки, т.е. подозрительные на экстремум (стационарные точки и точки из области определения функции, в которых частные производные не существуют). Не всякая «подозрительная» точка оказывается точкой экстремума. Для исследования функции в таких точках установим достаточные условия экстремума функции двух переменных.
Теорема 2 (Достаточные условия экстремума).
Пусть в некоторой области, содержащей точку , функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно; пусть, кроме того, точка является критической точкой функции , т.е. .
Обозначим: . Составим определитель .
Тогда: 1) если то функция имеет экстремум в точке , а именно максимум, если А < 0 (или C < 0), и минимум, если А > 0 (или C > 0);
2) если то экстремума в точке нет;
3) если то вопрос о наличии экстремума функции в точке остаётся открытым.
11. Условный экстремум
В простейшем случае условным экстремумом функции называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что её аргументы связаны уравнением (уравнение связи).
Чтобы найти условный экстремум функции при наличии соотношения , составляют так называемую функцию Лагранжа
,
где - неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений
с тремя неизвестными , из которой можно определить эти неизвестные.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
для испытуемой системы значений , полученной при решении исходной системы при условии, что .
А именно, функция имеет условный максимум, если , и условный минимум, если . В частности, если определитель для функции в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции , если А < 0 (или C < 0), и условный минимум, если А > 0 (или C > 0).