Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Пусть функция y= определена в окрестности точки .
Приращение функции
в точке
называют
,
где
- приращение независимой переменной x
в точке
.
Функция
называется дифференцируемой в точке
,
если ее приращение в этой точке может
быть представлено в виде
,
где А – константа,
- бесконечно малая функция при
,
- приращение независимой переменной x
в точке
.
Производной функции
в точке
называют конечный предел
и обозначают
(по Коши) или
(по Лейбницу).
Замечание. Нахождение производной функции называют ее дифференцированием.
Механический смысл производной.
Пусть пройденный точкой путь S
есть некоторая функция времени t,
т. е.
.
Тогда, если обозначить
- путь, пройденный точкой за время
,
то
- средняя скорость движения за промежуток
времени
,
а
есть мгновенная скорость движения.
Таким образом, производная пути по времени есть мгновенная скорость движения.
Геометрический смысл производной
Производная функции
в точке
равна тангенсу угла наклона касательной
графика функции в этой точке к оси Ox.
Df:
Дифференциалом функции y=
(x)
в точке
называют главную линейную относительно
приращения аргумента часть приращения
функции в этой точке. Обозначают
дифференциал функции как
,
где
.
С помощью
можно приближено вычислить значение
функции по формуле:
.
Это получено следующим образом.
.
Так как для дифференцируемой функции
,
то
Подставим и получим
.
Пример:
1)
Вычислить приближенно
.
,
;
х0=32;
; y(x0)=2;
;
.
Геометрический смысл дифференциала функции
Так как
,
а
,
то
.
Тогда
из прямоугольного треугольника BDE
DE=BE
=
=DE.
Это
означает, что дифференциал функции в
точке равен приращению ординаты
касательной графика этой функции при
переходе от точки с абсциссой х0
к точке с абсциссой
.
Критерий дифференцируемости функции в точке
Для того чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно чтобы эта функция имела производную в этой точке.
Доказательство:
Необходимость.
Дано: - дифференцируема в точке .
Доказать:
- имеет производную в точке
.
Так как - дифференцируема в точке , то по определению:
,
где
,
- б/м функция при
.
По
определению
означает, что
=
.
Значит
.
Достаточность:
Дано: .
Доказать: .
Доказательство:
По
определению
.
На основании критерия существования
предела функции на языке бесконечно
малых можно утверждать:
.
Преобразуя
последнее, получим
,
где
- б/м функция при
.
Если далее обозначить
,
то получим
,
что по определению означает
дифференцируемость функции в точке
.
Теорема о непрерывности дифференцируемой функции
Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в ней.
Доказательство:
Так как дифференцируема в точке , то по определению:
, где , - б/м функция при .
.
Последнее же по одному из определений означает непрерывность функции в точке.
Замечание. Из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцировать в этой точке
Пример:
.
Т.е.
непрерывна
в точке
,
но производной не имеет.
Правила дифференцирования функций
Если и имеют производную в точке , то:
10
20
30
40
при
Доказательство:
10
обозначим
(что и требовалось доказать).
20
Обозначим через
Найдём
По определению:
.
Таким
образом,
.
(что и требовалось доказать)
Таблица производных элементарных функций.
1.
9.
2.
10.
3.
11.
4.
12.
5.
13.
6.
14.
7.
15.
8.
Таблица производных простейших элементарных функций дана для соответствующих областей определения этих функций.
Покажем справедливость формул лишь для некоторых функций.
1.
,
.
2.
3.
4.
.
Производная обратной функции
Пусть
дифференцируема в
и
,
Тогда
в
,
,
существует обратная функция
и такова что
.
Доказательство:
По
определению:
.
На основании данной теоремы найдем производные:
,
,
,
.
1.
,
т.к.
(
).
2.
,
т.к.
(
).
3.
,
(
).
Производная сложной функции.
Пусть равенствами
и
образована сложная функция
,
причем
- дифференцируема в точке
,
а
дифференцируема в точке
.
Тогда
.
Доказательство:
=
=
.
Здесь
в силу непрерывности функции
при
,
.
Замечание.
Если
Пример:
1.
2.
.
Локальные экстремумы функции
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки .
Df:
Точка
- называется точкой локального минимума
функции
,
если
(проколотая)
.
Df:
Точка
- называется точкой локального максимума
функции
,
если
(проколотая)
Df: Точка - локального максимума или минимума функции называется точкой локального экстремума функции .
Th: Ферма:
Если
функция y =
(x)
дифференцируема в точке
и имеет в ней локальный экстремум, то
.
Доказательство:
Пусть в точке имеет локальный минимум, т.е.
Так как дифференцируема в точке
.
Th:
Ролля. Если функция y=f(x)
непрерывна на отрезке
, дифференцируема в промежутке
и
,
то
.
Доказательство:
Так как
непрерывна на отрезке
,
то по 2-й теореме Вейерштрасса
,
где
- точная нижняя граница, а
- точная верхняя граница.
а) Пусть
точная верхняя и точная нижняя грани
достигаются на концах отрезка. Например
,
. Тогда из условия Th Ролля
следует
.
б) Пусть
точная верхняя грань функции
достигается внутри
.
Т.е.
точка
- точка локального максимума.
Тогда
по Th Ферма
.
Th: Лагранжа
Если
функция y=f(x)
непрерывна на
и дифференцируема в
,
то
Доказательство:
1) Построим вспомогательную функцию
.
F(x) непрерывна на и дифференцируема в .
.
2)
Вычислим значения функции
(х)
на концах
.
по Th Ферма
(что и требовалось доказать)
Th:
Коши. Если f(x)
и g(x)
непрерывны на
и дифференцируемы в
,
причем
,
то
,
в которой выполняется равенство
.
Доказательство:
Построим вспомогательную функцию:
.
Она непрерывна на
,
дифференцируема в
.
Вычислим значения функции F(x) на концах отрезка.
по Th Ферма существует точка
,
.
Правило Лопиталя
Если
и
- бесконечно малые при
,
дифференцируемы в
и существует конечный предел
,
то
.
Доказательство:
Пусть
существует конечный предел
.
Рассмотрим
(что и требовалось доказать).
Замечание.
На основании теоремы о связях б/м и б/б
величин правило Лопиталя справедливо
и при раскрытии неопределённости вида
.
Пример:
(По правилу Лопиталя).
Условие постоянства функции в интервале
Th:
Если функция имеет в некотором интервале
тождественно равную
производную, то она постоянна в этом
интервале.
Доказательство:
Пусть дифференцируема в . Тогда она и непрерывна там.
Возьмём
произвольные
.
Тогда
непрерывна на
и дифференцируема там же
по Th Лагранжа
.
Так как
(по условию теоремы), то
В силу
произвольности выбора
и
из
.
Условие монотонности функции в интервале
Th:
Для того чтобы дифференцируемая функция
в интервале была невозрастающей
(неубывающей) необходимо и достаточно,
чтобы
из этого интервала выполнялось условие
.
Доказательство:
Необходимость:
Дано: - дифференцируемая и неубывающая функция в интервале (а;в).
Доказать:
.
От
противного предположим,
.
Тогда по определению производной можно
записать
.
По определению это означает, что
и таких, что
.
После преобразований последнее преобразуется к виду
Так как
произвольно, то его можно взять таким,
что
.
Тогда
.
С учетом этого будет выполняться
Пусть
теперь для определенности
.
Тогда из предыдущего неравенства следует
.
.
Но по условию из невозрастания функции
должно
следовать
.
Полученное противоречие опровергает
предположение, что
.
Значит такого
не существует. Следовательно
.
Что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается случай с
Достаточность:
Дано:
.
Доказать: что неубывающая функция.
Возьмём
произвольно на
,
тогда
- непрерывна на
и дифференцируема там же. По Th Лагранжа
.
Так как
или
для.
Это же означает по определению, что неубывающая функция.
Необходимые условие экстремума функции
Th: Если функция в точке имеет локальный экстремум, то ее производная в этой точке равна 0 или не существует. (Доказательство основывается на Th Ферма).
Df: Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции.
Df: Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными.
Первое достаточное условие экстремума функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и является критической для .
Если при переходе через точку производная функции меняет знак
с “+” на “- “ , то в точке имеет локальный максимум.
2) Если при переходе через точку производная функции меняет знак
с “-” на “+“ , то в точке имеет локальный минимум.
3) Если при переходе через точку производная не меняет своего знака, то в точке у функции нет экстремума.
Доказательство 1:
Возьмем из рассматриваемой окрестности
и
рассмотрим
.
На этом отрезке можно применить к
функции
теорему Лагранжа. Из нее следует, что
Так как
левая часть равенства здесь отрицательна,
то
(*)
2)
Возьмем теперь из рассматриваемой
окрестности
и
рассмотрим
.
На этом отрезке можно применить к функции
теорему Лагранжа. Из нее следует, что
Так как левая часть равенства здесь отрицательна, то и здесь (**)
Неравенства же (*) и (**) являются условием того, что точка является точкой локального максимума для функции .
План нахождения экстремума функции
Найти
критические точки функции (найти те
точки, в которых
или не существует). Проследить за
переменной знака производной функции
при переходе в положительном направлении
оси
через критические точки.
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Существование наибольшего и наименьшего значений непрерывной на отрезке функции вытекает из второй теоремы Вейерштрасса.
Алгоритм же их нахождения следующий:
Найти критические точки функции.
Отобрать из них те точки, которые принадлежат данному отрезку.
Вычислить значение функции в отобранных критических точках и на концах отрезка.
Выбрать из всех найденных значений функции наибольшее и наименьшее.
Обозначение:
.
Производные высших порядков и их применение
Df:
Пусть функция
имеет в некоторой окрестности точки
производную
.
Тогда второй производной функции
в точке
называется производная от производной
этой функции, вычисленная в точке
.
Обозначение:
(по
Коши);
(по
Лейбницу).
Df:
Производной
-го
порядка от функции
в точке
называется производная от производной
-го
порядка вычисленная в точке
.
Обозначение:
(по Коши);
Замечание. Производные второго и более порядков называются производными высших порядков.
Второе достаточное условие локального экстремума функции в точке
Пусть
вторая производная функции
непрерывна в точке
и
.
Тогда, если
,
то точка
является точкой локального максимума,
а если
то точка
является точкой локального минимума.
Доказательство:
Пусть и, кроме того, .
По
теореме о сохранении знака непрерывной
функции в окрестности точки, имеем:
.
Отсюда
следует, что
убывающая в
.
Исследуем в .
а) Возьмём произвольно левее , тогда
что
точка
- точка максимума
на основании первого достаточного
условия экстремума функции.
Направление выпуклости графика функции.
Df: График функции в промежутке называется выпуклым вверх, если все его точки располагаются не выше любой касательной к графику функции в этом интервале.
D
f:
График функции
в промежутке
называется выпуклым вниз если все его
точки располагаются не ниже любой
касательной к графику функции в этом
интервале
Достаточное условие выпуклости графика функции.
Пусть дважды дифференцируема в .
Th:
Если
,
то график функции в
имеет выпуклость вверх (вниз).
Доказательство:
Пусть
1.Выберем
произвольную точку
.
2.
Проведём касательную l
к графику функции
в его точке
. 
.
3. Возьмем
произвольную точку
для
сравнения ординат графика функции
и касательной. Вычислим в ней значения
(на касательной).
(на графике функции)
Оценим
.
На основании теоремы Лагранжа
.
С учетом последнего
.
Далее,
по Th Лагранжа
.
Таким
образом,
.
Это по определению означает, что график
функции имеет выпуклость вверх.
Аналогично
доказывается, что при
- график функции
имеет выпуклость вниз.
Функции многих переменных