Частные производные
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если существуют конечные пределы
и
,
то их называют частными производными
функции f
в точке
соответственно по переменным х
и у
и обозначают
,
; 
, 
.
Если
частные производные функции f
существуют в каждой точке множества
,
то говорят, что функция f
имеет
частные
производные на множестве Е.
Производные
и
называют
частными
производными
первого порядка.
Для вычисления частной производной (или ) обычно пользуются известными формулами и правилами дифференцирования функции одной переменной, считая все переменные, кроме переменной х (соответственно у), фиксированными (постоянными).
Аналогично определяют и обозначают частные производные трёх и более переменных.
Частные
производные первого порядка функции
двух переменных имеют вполне определённый
геометрический смысл. Рассмотрим
поверхность, являющуюся графиком функции
и возьмём на этой поверхности некоторую
точку А
.
Проведём через эту точку сечение
поверхности плоскостью Q,
параллельной координатной плоскости
yOz.
Уравнение плоскости Q
имеет вид
.
Эта плоскость пересекает поверхность
по некоторой кривой
.
Кривая
является плоской (так как она лежит в
плоскости Q)
и лежит на поверхности. Во всех точках
этой кривой координата х
постоянна (
).
Поэтому уравнение кривой
получится, если в уравнении поверхности
положить
:
.
Рис. 1
Производная
этой функции, вычисленная при
,
совпадает с частной производной по у
от функции двух переменных
в точке
и совпадает с угловым коэффициентом
касательной к кривой АВ
в точке А
(
).
Таким образом частная производная по
переменной у
функции
,
вычисленная в точке
,
равна угловому коэффициенту касательной
в точке А
к плоской кривой АВ:
.
Проводя
сечения поверхности плоскостью Р,
параллельной координатной плоскости
хОz
и повторяя предыдущие рассуждения,
можно убедиться в том, что частная
производная по переменной х
функции
,
вычисленная в точке
,
равна угловому коэффициенту касательной
в точке А
к плоской кривой АВ,
получающейся в пересечении поверхности
с плоскостью Р
.
Полный дифференциал функции двух переменных.
Дифференцируемость функции
Полным приращением функции
z
=
называется
разность
.
Функцию
называют дифференцируемой
в точке
,
если существуют числа А и В такие, что
приращение
функции f
в точке
представимо в виде
,
,
-
бесконечно малая высшего порядка по
сравнению с
.
Если
функция
дифференцируема в точке
,
то главную часть полного приращения,
линейную относительно приращений
и
функцию
,
называют дифференциалом
(точнее,
полным
дифференциалом первого порядка)
функции
в точке
и обозначают
.
Дифференциалом
независимой переменной х
или у
называют её приращение, т.е. по определению
полагают
и
.
Если функция f дифференцируема в каждой точке множества , то её называют дифференцируемой на множестве Е. Аналогично определяются понятия дифференцируемости и дифференциала для функций трёх и более переменных.
Теорема
1.
Если функция
дифференцируема в точке
и
=
её дифференциал в этой точке, то в точке
существуют частные производные функции
f,
причём
=
,
.
Таким образом, в каждой точке, где справедливо равенство
, , дифференциал функции f
может
быть вычислен по формуле
или
.
Теорема 2. Для дифференцируемости функции в некоторой точке достаточно, чтобы частные производные функции f были непрерывны в этой точке.
Функцию, частные производные которой непрерывны на некотором множестве, называют непрерывно дифференцируемой на этом множестве.
Полный дифференциал функции имеет
применение в приближенных вычислениях.
При достаточно малых
для дифференцируемой функции имеет
место приближенное равенство
или
Если
в последнее приближенное равенство
вместо
и
подставить
соответствующие развёрнутые выражения,
то получим
+
,
откуда
+
.