II Замечательный предел

III Замечательный предел .

IV Замечательный предел .

Обозначим . Тогда и .

Теперь .

V Замечательный предел .

Таблица эквивалентных бесконечно малых (при х )

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Примеры применения замечательных пределов:

1) .

2) .

3) .

4) .

Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в некоторой точке .

Говорят, что непрерывна в точке , если выполняется хотя бы одно из условий:

1. Пусть функция задана на множестве А. Функция называется непрерывной в точке , если существует конечный предел

2. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности выполняется

3. Функция называется непрерывной в точке , если где

4. Функция называется непрерывной в точке , если существуют конечные пределы: .

5. Функция называется непрерывной в точке , если выполняется

Перечисленные условия эквивалентны.

Свойства функций непрерывных в точке

1⁰ Если и непрерывны в точке , то , непрерывны в .

2⁰ Если и непрерывны в точке и , то непрерывна в этой же точке.

3⁰ Если непрерывна в точке и ( ,) то ( ).

Доказательство:

Так как непрерывна в точке , то , или (раскроем модуль) . Так как и произвольно мала, т о можно сделать. Тогда получаем, что .

Точки разрыва функции

Пусть функция определена хотя бы в проколотой окрестности точки .

Определение: Точка называется точкой разрыва функции , если функция не обладает свойством непрерывности в ней.

Определение: Точка называется точкой устранимого разрыва функции , если существуют конечные пределы .

Определение: Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют конечные пределы .

Определение: Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции равен или вовсе не существует.

Примеры: 1) точка разрыва второго рода.

- точка разрыва функции второго рода.

3) ; - точка устранимого разрыва.

4) - точка разрыва функции второго рода

5) число точек разрыва функции, заданной на отрезке , график которой имеет вид

y

a b

0 x

равно 3. Это точки разрыва функции первого рода.

Определение: Функция называется непрерывной на отрезке , если эта функция непрерывна во внутренних точках отрезка, справа на левом конце и слева на правом конце отрезка.

Свойства функций непрерывных на отрезке

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке , то она принимает на этом отрезке значения своих точной верхней и точной нижней граней.

Первая теорема Больцано – Коши

Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения противоположных знаков, то в интервале найдется такая точка , что .

Вторая теорема Больцано – Коши.

Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает различные значения А и В, то , такое что .

Примеры :

1. Среди отрезков непрерывности функции выделить тот, на котором выполняется условие первой теоремы Больцано – Коши: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

2. Какому из промежутков принадлежит действительный корень уравнения : 1) ; 2) ; 3) .

Класс функций, состоящий из многочленов, показательных функций, тригонометрических функций и обратных к ним, а также функций, получающихся из перечисленных выше с помощью четырех арифметических действий и суперпозиции (образование сложной функции), примененных конечное число раз называется классом элементарных функций. (Б.М.Э., с 978)

Элементарные функции непрерывны в своих областях определения.