- •Магнитогорск, 2011 Основные сведения об авторах
- •3. Требования к результатам освоения дисциплины:
- •Основные операции над множествами.
- •Функция.
- •Критерий существования предела числовых последовательностей на языке бесконечно малых числовых последовательностей
- •II Замечательный предел
- •V Замечательный предел .
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Часть 1
- •Основные понятия
- •Понятие функции двух переменных
- •Предел и непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные
- •5. Производная по направлению и градиент
- •Частные производные функций, заданных неявно
- •Дифференцирование сложных функций
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •11. Условный экстремум
- •12. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Индивидуальное домашнее задание и разбор типовых заданий
- •Решение задачи 1.11
- •Решение задачи 2.11
- •Решение задачи 3.11
- •Решение задачи 4.11
- •Решение задачи 5.11
- •Решение задачи 6.11
- •Решение задачи 7.11
- •Решение задачи 8.11
- •Область g
- •Решение задачи 9.11
- •Вопросы к тематическому коллоквиуму
- •Список использованной литературы
5. Производная по направлению и градиент
Пусть в пространстве задан единичный вектор , где , где - углы между направлением и соответствующими координатными осями.
Производной функции f в точке по направлению вектора называют предел .
Производную функции f по направлению вектора обозначают . Производная функции f по направлению вектора характеризует скорость изменения функции в направлении вектора .
Градиентом дифференцируемой функции называют вектор . Этот вектор обозначают . Градиент функции показывает направление, в котором скорость роста функции максимальна.
Частные производные функций, заданных неявно
Пусть функция задана уравнением , , непрерывна в некоторой окрестности точки , Частная производная непрерывна в точке и . Тогда в некоторой окрестности точки существует единственная непрерывная функция такая, что , удовлетворяющая уравнению . Если, кроме того, частные производные и непрерывны в точке , то в точке существуют все частные производные функции , причём .
Пример. Найти в точке (1;1) частные производные функции , заданной неявно уравнением
Из уравнения найдём значение функции в данной точке . Функция = равна нулю в точке (1,1,2) и непрерывна в её окрестности, а её частные производные , , также непрерывны, причём . Частные производные функции находим по указанным формулам.
Так как , , , то частные производные функции в этой точке равны ,
Дифференцирование сложных функций
Пусть задана функция , где , и пусть функции , и дифференцируемы. Тогда производная функции вычисляется по формуле: . В этом случае функцию можно рассматривать как сложную функцию от переменной . И последняя формула носит название формулы для вычисления полной производной .
Если задана функция , где , и функции и дифференцируемы, тогда производная функции вычисляется по формуле: . Здесь также функцию можно рассматривать как сложную функцию от переменной . носит название полной производной функции (в отличие от частной производной ).
Пусть задана функция , где , и пусть функции , и дифференцируемы. Тогда частные производные функции по переменным u и v вычисляются по формулам:
; .
Частные производные и дифференциалы высших порядков
Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от её частных производных первого порядка.
Обозначения частных производных второго порядка:
, , , .
Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков. Например:
, .
Так называемые «смешанные» производные с одинаковым набором переменных дифференцирования в том случае, если они непрерывны, отличаются друг от друга лишь последовательностью дифференцирования и равны между собой. Например,
= .
Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от её полного дифференциала первого порядка, то есть . Аналогично определяется дифференциал третьего и высших порядков: или .
Если х и у независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:
;
.
Вообще, имеет место символическая формула ,
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
9. Касательная плоскость. Нормаль к поверхности.
Касательной плоскостью к поверхности в точке М (точка касания) называется плоскость, в которой лежат все касательные в точке М к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.
Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано в явной форме z = , где - дифференцируемая функция, то уравнение касательной плоскости в точке поверхности есть
,
где , а X, Y, Z – текущие координаты точки касательной плоскости.
Уравнение нормали имеет вид
,
где X, Y, Z – текущие координаты точки нормали.
В том случае, когда уравнение гладкой поверхности задано в неявной форме и , соответствующие уравнения будут иметь вид: уравнение касательной плоскости
+ +
уравнение нормали
.