- •Магнитогорск, 2011 Основные сведения об авторах
- •3. Требования к результатам освоения дисциплины:
- •Основные операции над множествами.
- •Функция.
- •Критерий существования предела числовых последовательностей на языке бесконечно малых числовых последовательностей
- •II Замечательный предел
- •V Замечательный предел .
- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Часть 1
- •Основные понятия
- •Понятие функции двух переменных
- •Предел и непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные
- •5. Производная по направлению и градиент
- •Частные производные функций, заданных неявно
- •Дифференцирование сложных функций
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Формула Тейлора
- •Экстремум функции нескольких переменных
- •11. Условный экстремум
- •12. Наибольшее и наименьшее значения функции
- •Индивидуальное домашнее задание и разбор типовых заданий
- •Решение задачи 1.11
- •Решение задачи 2.11
- •Решение задачи 3.11
- •Решение задачи 4.11
- •Решение задачи 5.11
- •Решение задачи 6.11
- •Решение задачи 7.11
- •Решение задачи 8.11
- •Область g
- •Решение задачи 9.11
- •Вопросы к тематическому коллоквиуму
- •Список использованной литературы
Решение задачи 6.11
Задание. Для функции найти производную в точке (0,6;0,8) в направлении вектора , градиент функции в точке и абсолютную величину градиента в точке .
Решение
Производная функции в точке М в направлении вектора при условии, что функция дифференцируема, вычисляется по формуле: , где - угол, образованный вектором с осью Ох.
Рис. 6.
=
= = 0,64
= = - 0,48
Косинус и синус угла, образованного вектором с осью Ох, вычисляются по формулам , .
В нашем случае , .
Итак, .
Найдём градиент функции в точке (0,6;0,8) по формуле:
.
.
Найдём абсолютную величину градиента:
,
.
Задача 7. Найти экстремумы функции
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 |
7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 , |
Решение задачи 7.11
Задание: Найти экстремумы функции .
Решение
Найдём частные производные первого порядка
, .
Согласно необходимым условиям экстремума получаем систему уравнений:
Решив эту систему, найдём все стационарные точки: (0;0), (12;0), (0;12), (3;6).
Вычислим производные второго порядка
, , .
А = , В = С =
1) Исследуем на экстремум точку (0;0).
В этом случае .
- требуются дополнительные исследования.
Легко видеть, что в точке (0;0) экстремума нет. В самом деле , а в сколь угодно малой окрестности точки (0;0;0) функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например, >0 при достаточно малом , и <0 при достаточно малом .
2) Исследуем на экстремум точку (12;0).
В этом случае .
- требуются дополнительные исследования.
Легко видеть, что в точке (0;0) экстремума нет. В самом деле , а в сколь угодно малой окрестности точки (12;0;0) функция может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Например,
<0 при достаточно малом , и >0 при достаточно малом .
3) Исследуем на экстремум точку (0;12).
В этом случае , , . - следовательно, в рассматриваемой точке экстремума нет.
4) Исследуем на экстремум точку (3;6).
В этом случае , , .
- экстремум в рассматриваемой точке есть.
<0 – в точке (3;6) функция имеет строгий максимум, .
Задача 8. Для функции, указанной в задаче 6, найти наибольшее и наименьшее значения в области G.
8.1 G: , , 8.2 G: , , 8.3 G: , , 8.4 G: , , 8.5 G: , , 8.6 G: , , |
8.7 G: , , 8.8 G: , , 8.9 G: , , 8.10 G: , , 8.11 G: , , |
Решение задачи 8.11
Задание: Для функции найти наибольшее и наименьшее значения в области G, ограниченной линиями , , .
Решение
По результатам задачи 6, критические точки функции:
(0;0), (0;12), (12;0), (3;6).
Точки (0;0), (0;12), (12;0) точками экстремума не являются.
Точка (3;6) является точкой максимума,
.
Точка (3;6) лежит внутри заданной области.
Исследуем поведение функции на границах области, то есть найдём её условные экстремумы относительно заданных уравнений связи.
Точки пересечения заданных линий: (4;7), (4;-1), (-4;7).
,
,