- •Основные условные обозначения в математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Основы теории вероятностей
- •1Предмет и метод математической статистики
- •2Понятие случайного события
- •3Вероятность случайного события
- •4Основные теоремы теории вероятностей
- •4.1Сложение вероятностей
- •4.2Умножение вероятностей
- •4.3Вычисление вероятностей
- •Случайные переменные
- •5Понятие случайной переменной
- •5.1Дискретные случайные переменные
- •5.2Непрерывные случайные переменные
- •6Математическое ожидание и дисперсия
- •7Моменты
- •Дискретные распределения
- •8Биномиальное распределение и измерение вероятностей
- •9Распределение редких событий (Пуассона)
- •Основные модели теоретических распределений
- •10Прямоугольное (равномерное) распределение
- •11Нормальное распределение
- •12Логарифмически нормальное распределение
- •Распределения параметров выборки
- •13.1Проблема Беренса–Фишера
- •15Χ2–распределение
- •Основы математической статистики
- •16Средние величины
- •16.1Общие свойства средних величин
- •17Средняя арифметическая
- •17.1Средний ранг (непараметрическая средняя)
- •17.2Взвешенная средняя арифметическая
- •17.3Средняя квадратическая
- •17.4Мода
- •17.5Медиана
- •18Средняя геометрическая
- •19Средняя гармоническая
- •Разнообразие значений признака
- •20Стандартное (среднеквадратическое) отклонение
- •20.1Число степеней свободы
- •20.2Коэффициент вариации
- •20.3Лимиты и размах
- •20.4Приближенные значения μ и
- •20.5Нормированное отклонение
- •21Проверка выпадов (артефактов)
- •22Средняя и сигма суммарной группы
- •23Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
- •Графическое представление распределений
- •24Вариационный ряд
- •25Гистограмма и вариационная кривая
- •26Кумулята
- •27Достоверность различия распределений
- •27.1Критерий χ2 (хи квадрат)
- •27.2Критерий λ (лямбда)
- •27.3Критерий по асимметрии и эксцессу
- •Нормальное распределение
- •28Генеральная совокупность и выборка
- •29Репрезентативность
- •30Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
- •31Доверительные границы
- •Оценка генеральных параметров
- •32Общий порядок оценки
- •32.1Оценка средней арифметической
- •32.2Оценка средней разности
- •32.3Недостоверная и достоверная оценка средней разности
- •32.4Оценка разности генеральных средних
- •33Критерий достоверности разности
- •34Репрезентативность при изучении качественных признаков
- •35Достоверность разности долей
- •Парная корреляция
- •36Коэффициент корреляции
- •37Ошибка коэффициента корреляции
- •37.1Достоверность выборочного коэффициента корреляции
- •37.2Доверительные границы коэффициента корреляции
- •37.3Достоверность разности двух коэффициентов корреляции
- •38Уравнение прямолинейной регрессии
- •39Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
- •Частная и множественная линейные корреляции и регрессии
- •40Частный коэффициент корреляции
- •41Множественный коэффициент корреляции
- •42Линейное уравнение множественной регрессии
- •Криволинейная корреляция и регрессия
- •43Корреляционное отношение
- •44Свойства корреляционного отношения
- •45Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
- •46Критерий линейности корреляции
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •47Сущность и метод дисперсионного анализа
- •47.1Результативный признак
- •47.2Фактор
- •47.3Градации факторов
- •47.4Градации комплекса
- •47.5Дисперсионный комплекс
- •47.6Статистические влияния
- •47.7Факториальное влияние
- •47.8Случайное влияние
- •47.9Общее влияние
- •48Однофакторный дисперсионный комплекс
- •Многофакторный дисперсионный анализ
- •49Многофакторный дисперсионный комплекс
- •50Преобразования
- •51Универсальное использование дисперсий
- •51.1Показатели силы влияний
- •51.2Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
- •51.3Предельные значения показателей силы влияния
- •51.4Достоверность влияний
- •Классификация
- •52Дискриминантный анализ
- •52.1Постановка задачи, методы решения, ограничения
- •52.2Предположения и ограничения
- •52.3Алгоритм дискриминантного анализа
- •53Кластерный анализ
- •53.1Методы кластерного анализа
- •53.2Алгоритм кластерного анализа
- •Литература
- •Приложение. Основные формулы и определения
- •2 46019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
12Логарифмически нормальное распределение
Случайная переменная Y имеет логарифмически нормальное распределение с параметрами μ и σ, если случайная переменная X = lnY имеет нормальное распределение с теми же параметрами μ и σ. Зная характер связи между переменными X и Y, можем легко построить график плотности вероятности случайной переменной с логарифмически нормальным распределением (Рисунок 4.2).
Рисунок 4.2 – Кривые плотности логарифмически нормального распределения при различных значениях параметров μ и σ
Если случайная переменная X имеет функцию плотности вероятности, определяемую формулой (4.6), и если X = lnY, то:
, откуда имеем для у > 0:
(4.14)
Из определения следует, что случайная переменная, подчиняющаяся логарифмически нормальному распределению, может принимать только положительные значения. Как показано на рисунке 4.2, кривые функции f(y) имеют левостороннюю асимметрию, которая тем сильнее, чем больше значения параметров μ и σ. Каждая кривая имеет один максимум и является определенной для всех положительных значений у.
Вычисление математического ожидания и дисперсии случайной переменной с логарифмически нормальным распределением не составляет особых трудностей:
(4.15)
(4.16)
(4.17)
Путем подстановок и ввода новых переменных в интегралах 4.15 и 4.16 получим:
(4.18)
(4.19)
Вообще, для исчисления вероятности того, что случайная переменная Y с логарифмически нормальным распределением и плотностью f(y, μ, σ), примет значение в интервале (а, b), следует взять интеграл:
(4.20)
Однако на практике удобнее воспользоваться тем, что логарифм случайной переменной Y имеет нормальное распределение. Вероятность того, что а ≤ Y ≤ b равнозначна вероятности того, что lnа ≤ lnY ≤ lnb.
Пример
Вычислим вероятность того, что случайная переменная с логарифмически распределением μ = 1, σ = 0,5, примет значение в интервале (2, 5). Имеем:
Из таблиц логарифмов находим ln2 = 0,6932 и ln5 = 1,6094.
Обозначив lnY = X, можем написать:
Причем случайная переменная X подчинена нормальному распределению со средним значением μ = 1 и стандартным отклонением σ = 0,5. Теперь искомую вероятность нетрудно вычислить по таблицам интегральной функции нормального распределения:
Вопросы для самоконтроля
Определение прямоугольного распределения.
График плотности вероятности случайной переменной с прямоугольным распределением
Основополагающее значение прямоугольного распределения.
Математическое ожидание и дисперсия случайной переменной в прямоугольном распределении.
Роль нормального распределения в математической статистике.
Что такое нормальное распределение и как оно связано с биномиальным?
График плотности вероятности случайной переменной с нормальным распределением.
Какими статистическими параметрами может быть задано нормальное распределение?
Почему нормальное распределение является непрерывным?
Уравнение нормальной кривой.
Что такое нормированное отклонение?
Уравнение кривой нормального распределения в нормированной форме.
Какими значениями μ и σ характеризуется нормальная совокупность в нормированной форме?
Какая доля данных выборки укладывается в пределах ±1σ, ±2σ, ±3σ?
Что показывает таблица нормального интеграла вероятностей?
Уравнение логарифмически нормальной кривой.
График плотности вероятности случайной переменной с логарифмически нормальным распределением.
Какие необходимо выполнить преобразования, чтобы из логарифмически нормального распределения получить нормальное распределение?
Какими статистическими параметрами задается логарифмически нормальное распределение?