- •Основные условные обозначения в математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Основы теории вероятностей
- •1Предмет и метод математической статистики
- •2Понятие случайного события
- •3Вероятность случайного события
- •4Основные теоремы теории вероятностей
- •4.1Сложение вероятностей
- •4.2Умножение вероятностей
- •4.3Вычисление вероятностей
- •Случайные переменные
- •5Понятие случайной переменной
- •5.1Дискретные случайные переменные
- •5.2Непрерывные случайные переменные
- •6Математическое ожидание и дисперсия
- •7Моменты
- •Дискретные распределения
- •8Биномиальное распределение и измерение вероятностей
- •9Распределение редких событий (Пуассона)
- •Основные модели теоретических распределений
- •10Прямоугольное (равномерное) распределение
- •11Нормальное распределение
- •12Логарифмически нормальное распределение
- •Распределения параметров выборки
- •13.1Проблема Беренса–Фишера
- •15Χ2–распределение
- •Основы математической статистики
- •16Средние величины
- •16.1Общие свойства средних величин
- •17Средняя арифметическая
- •17.1Средний ранг (непараметрическая средняя)
- •17.2Взвешенная средняя арифметическая
- •17.3Средняя квадратическая
- •17.4Мода
- •17.5Медиана
- •18Средняя геометрическая
- •19Средняя гармоническая
- •Разнообразие значений признака
- •20Стандартное (среднеквадратическое) отклонение
- •20.1Число степеней свободы
- •20.2Коэффициент вариации
- •20.3Лимиты и размах
- •20.4Приближенные значения μ и
- •20.5Нормированное отклонение
- •21Проверка выпадов (артефактов)
- •22Средняя и сигма суммарной группы
- •23Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
- •Графическое представление распределений
- •24Вариационный ряд
- •25Гистограмма и вариационная кривая
- •26Кумулята
- •27Достоверность различия распределений
- •27.1Критерий χ2 (хи квадрат)
- •27.2Критерий λ (лямбда)
- •27.3Критерий по асимметрии и эксцессу
- •Нормальное распределение
- •28Генеральная совокупность и выборка
- •29Репрезентативность
- •30Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
- •31Доверительные границы
- •Оценка генеральных параметров
- •32Общий порядок оценки
- •32.1Оценка средней арифметической
- •32.2Оценка средней разности
- •32.3Недостоверная и достоверная оценка средней разности
- •32.4Оценка разности генеральных средних
- •33Критерий достоверности разности
- •34Репрезентативность при изучении качественных признаков
- •35Достоверность разности долей
- •Парная корреляция
- •36Коэффициент корреляции
- •37Ошибка коэффициента корреляции
- •37.1Достоверность выборочного коэффициента корреляции
- •37.2Доверительные границы коэффициента корреляции
- •37.3Достоверность разности двух коэффициентов корреляции
- •38Уравнение прямолинейной регрессии
- •39Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
- •Частная и множественная линейные корреляции и регрессии
- •40Частный коэффициент корреляции
- •41Множественный коэффициент корреляции
- •42Линейное уравнение множественной регрессии
- •Криволинейная корреляция и регрессия
- •43Корреляционное отношение
- •44Свойства корреляционного отношения
- •45Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
- •46Критерий линейности корреляции
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •47Сущность и метод дисперсионного анализа
- •47.1Результативный признак
- •47.2Фактор
- •47.3Градации факторов
- •47.4Градации комплекса
- •47.5Дисперсионный комплекс
- •47.6Статистические влияния
- •47.7Факториальное влияние
- •47.8Случайное влияние
- •47.9Общее влияние
- •48Однофакторный дисперсионный комплекс
- •Многофакторный дисперсионный анализ
- •49Многофакторный дисперсионный комплекс
- •50Преобразования
- •51Универсальное использование дисперсий
- •51.1Показатели силы влияний
- •51.2Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
- •51.3Предельные значения показателей силы влияния
- •51.4Достоверность влияний
- •Классификация
- •52Дискриминантный анализ
- •52.1Постановка задачи, методы решения, ограничения
- •52.2Предположения и ограничения
- •52.3Алгоритм дискриминантного анализа
- •53Кластерный анализ
- •53.1Методы кластерного анализа
- •53.2Алгоритм кластерного анализа
- •Литература
- •Приложение. Основные формулы и определения
- •2 46019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
31Доверительные границы
Определять величину ошибок репрезентативности необходимо для того, чтобы выборочные показатели использовать еще и для нахождения возможных значений генеральных параметров. Этот процесс называется оценкой генеральных параметров.
Оценка генеральных параметров не может быть выражена одним числом: это точное значение параметра остается неизвестным. Но математические методы дают возможность определить, в каких пределах может находиться значение генерального параметра. Практически такая приближенная оценка имеет часто большое значение, например, в метеорологии при прогнозе температуры: «завтра ожидается в Гомеле 15 – 17 градусов тепла».
Оценка генеральных параметров по выборочным данным производится особым способом в форме не одного, а двух значений – минимального и максимального. Эти крайние значения, в пределах которых может находиться искомая величина генерального параметра, называются доверительными границами. Доверительные границы любого генерального параметра определяются по следующему общему правилу.
Генеральный параметр может отличаться от найденного выборочного показателя не более, чем на величину возможной погрешности, определяемой по выборочным данным. Это правило выражается следующими формулами:
или
или
где:
– генеральный параметр;
– выборочный показатель;
– максимальная доверительная граница, или возможный максимум;
– минимальная доверительная граница, или гарантированный минимум;
– возможная максимальная абсолютная погрешность при прогнозе генерального параметра;
t – критерий надежности, или показатель вероятности того, что величина генерального параметра действительно будет находиться внутри найденных доверительных границ;
– показатель точности оценки генерального параметра, или ошибка репрезентативности выборочного показателя.
Для предварительной иллюстрации значения всех элементов определения доверительных границ имеет смысл рассмотреть следующий пример, в котором величины t и берутся уже готовыми.
Пример
Промеры шкурок 100 добытых подряд зайцев и последующий расчет дали следующие выборочные показатели размеров шкурок: n = 100, μ = 800 см2, = 80 см2. Кроме того, были установлены критерий надежности t = 2 (что соответствует первому порогу вероятности безошибочных прогнозов) и стандартная ошибка (показатель точности):
На основе этих данных доверительные границы генеральной средней размера шкурок определятся следующим образом:
;
;
;
не более 800+16 = 816; не менее 800–16 = 784.
Таким образом, искомая средняя размеров заячьих шкурок может быть не более 816 и не менее 784. Эти доверительные границы имеют в данном случае определенный практический смысл.
Планирование общего выхода шкурок при годовом промысле зайцев лучше вести на основе гарантированного минимума. Например, если предполагается добыть 10000 зайцев, то лучше ожидать, что общая площадь полученных шкурок будет:
784 10000 = 7840000 см2.
Все же подсобные мероприятия (расходы по организации промысла, средства доставки, выделка шкурок, складские помещения) лучше планировать из расчета возможного максимума:
816 10000 = 8160 000 см2.
Вопросы для самоконтроля
Что такое совокупность? Примеры различных совокупностей.
Чем отличается выборочная совокупность от генеральной?
Что называется генеральными параметрами?
Перечислить и охарактеризовать основные способы отбора объектов в выборку.
Что называется выборочными показателями?
Дайте определение репрезентативности.
Если репрезентативность выборочных данных может быть выражена в достаточной или в недостаточной степени, то, как можно охарактеризовать оценки генеральных параметров?
Перечислите основные категории ошибок в выборочных и сплошных исследованиях.
В каком случае ошибки репрезентативности могут быть устранены.
На какую величину генеральный параметр может отличаться от найденного выборочного показателя?
Дайте определение и формализацию максимальной и минимальной доверительной границы.
Дайте определение критерия надежности?