41Множественный коэффициент корреляции

Множественный коэффициент корреляции трех переменных – это показатель тесноты линейной связи между одним из признаков (буква индекса перед тире) и совокупностью двух других признаков (буквы индекса после тире):

; (12.6)

; (12.7)

(12.8)

Эти формулы позволяют легко вычислить множественные коэффициенты корреляции при известных значениях коэффициентов парной корреляции r_xy, r_xz и r_yz.

Коэффициент R не отрицателен и всегда находится в пределах от 0 до 1. При приближении R к единице степень линейной связи трех признаков увеличивается. Между коэффициентом множественной корреляции, например R_y-xz, и двумя коэффициентами парной корреляции r_yx и r_yz существует следующее соотношение: каждый из парных коэффициентов не может превышать по абсолютной величине R_y-xz.

Квадрат коэффициента множественной корреляции R² называется коэффициентом множественной детерминации. Он показывает долю вариации зависимой переменной под воздействием изучаемых факторов.

Значимость множественной корреляции оценивается по F–критерию:

, (12.9)

где:

n – объем выборки,

k – число признаков; в нашем случае k = 3.

Теоретическое значение F–критерия берут из таблицы приложений для ν₁ = k–1 и ν₂ = n–k степеней свободы и принятого уровня значимости. Нулевая гипотеза о равенстве множественного коэффициента корреляции в совокупности нулю (H₀:R = 0) принимается, если F_факт. < F_табл. и отвергается, если F_{факт .}≥ F_табл.

42Линейное уравнение множественной регрессии

Математическое уравнение для прямолинейной зависимости между тремя переменными называется множественным линейным уравнением плоскости регрессии. Оно имеет следующий общий вид:

(12.10)

Здесь Y – зависимая переменная, X и Z – независимые переменные, а – общее начало отсчета, b₁ и b₂ – коэффициенты частной регрессии. Коэффициент b₁ показывает, на какую величину увеличивается Y при каждом увеличении на одну единицу X при постоянном значении Z; коэффициент b₂ указывает, на какую величину увеличивается Y при увеличении Z на единицу при постоянном значении X. Поэтому часто используют обозначения b₁ = b_yx-z и b₂ = b_yz-x, принятые для частных коэффициентов корреляции.

Параметры а, b₁ и b₂ вычисляют методом наименьших квадратов, который позволяет найти такое положение плоскости регрессии в пространстве, когда сумма квадратов отклонений эмпирических точек от нее является минимальной:

(12.11)

Установленное уравнением регрессии отношение зависимости коррелируемых признаков принято изображать графически в виде линий и поверхности регрессии. Поверхность регрессии дает четкое представление об эффекте комбинированного влияния изучаемых факторов на результативный признак.

Необходимо подчеркнуть, что математические уравнения для парной и множественной регрессии имеют смысл только в области фактических значений X, Y и Z только тогда, когда корреляционная связь значимо отличается от нуля.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое множественная корреляция?

2. Дайте определение частному коэффициенту корреляции.

3. С какими статистическими характеристиками формально связан частный коэффициент корреляции?

4. Дайте определение ошибке и критерию значимости частной корреляции. Отличен ли он от ошибки и критерия значимости парной корреляции?

5. Какие могут принимать значения частные коэффициенты корреляции?

6. Дайте определение множественному коэффициенту корреляции.

7. С какими статистическими характеристиками формально связан множественный коэффициент корреляции?

8. В каких пределах находятся значения множественного коэффициента корреляции?

9. Дайте определение коэффициента множественной детерминации.

10. По какому критерию оценивается значимость множественной корреляции?

11. Напишите линейное уравнение множественной регрессии.

12. Дайте графическую интерпретацию уравнения множественной регрессии.