2. Случайные переменные

2.1 Понятие случайной переменной

2.2 Математическое ожидание и дисперсия

2.3 Моменты

5Понятие случайной переменной

Определив понятие вероятности и выяснив ее главные свойства, перейдем к рассмотрению одного из важнейших понятий теории вероятностей – понятия случайной переменной.

Допустим, что в результате производимого эксперимента могут наступать различные случайные события, причем наступлению каждого из них можно поставить в соответствие некоторое однозначное определенное действительное число. Каждому из этих чисел соответствует вероятность, а именно – вероятность определенного события. В зависимости от того, какое из возможных элементарных событий наступит, мы будем иметь дело с различными действительными числами. Переменная, которая принимает различные числовые значения, сопряженные с определенными вероятностями, называется случайной переменной.

Один из простейших примеров случайной переменной – число очков, выпадающее при игре в кости. Эта переменная может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, причем все эти значения равновозможны. В самом деле, из предыдущей главы известно, что вероятность выпадения 6 очков для n=1, 2,..., 6 равняется 1/6.

Рассмотрим также следующий пример. Предположим, что для целей социологического исследования необходимо произвести отбор в случайном порядке 100 из 5000 рабочих данного предприятия. Предположим далее, что в нашем распоряжении находятся папки личных дел этих 5000 лиц и отбор производится путем извлечения в случайном порядке 100 папок. Извлечение личного дела именно данного работника, – разумеется, случайное событие. Если после такого отбора мы начнем устанавливать возраст отобранных лиц, то вследствие случайного характера отбора группы этот возраст будет случайной переменной. В данном примере наблюдаемый возраст рабочего определяется случаем, и возникает возможность вычислить вероятность того, что наблюдаемый возраст будет колебаться в некоторых границах.

Важное понятие представляет собой распределение случайной переменной. Если известна совокупность возможных значений случайной переменной и вероятности того, что случайная переменная примет то или иное из этих значений (или же вероятности того, что переменная принимает значение в определенных границах), то известно и распределение этой случайной переменной.

Можно различать случайные переменные двух основных классов, а именно, дискретные (прерывные) случайные переменные и непрерывные случайные переменные.

5.1Дискретные случайные переменные

Случайная переменная дискретна, если совокупность возможных ее значений конечна, или, по крайней мере, поддается счислению. Предположим, что случайная переменная X может принимать значения x₁, х₂,..., х_n и что вероятности, с которыми переменная X принимает эти значения, соответственно равны p₁, p₂,…, p_n. Заметим, что должно соблюдаться равенство:

, (2.1)

где суммирование распространяется на все возможные значения случайной переменной. В самом деле, сумма в левой части равенства (2.1) составляет вероятность того, что случайная переменная примет значение или x₁, или х₂, или х₃ и так далее, причем такая возможность полностью охватывает все значения переменной. Но поскольку достоверно, что случайная переменная, безусловно, примет какое–либо из своих возможных значений, эта сумма должна равняться единице.

Распределение дискретной случайной переменной можно представить двояко. Во-первых, это можно сделать в форме таблицы. В колонках (столбцах) такой таблицы помещают рядом возможные значения случайной переменной и соответствующие им вероятности. Например, в табл. 2.1 представлено распределение такой случайной переменной, как число очков, выпадающее при выбрасывании кости.

Таблица 2.1 – Распределение вероятностей выпадения числа очков при выбрасывании кости

Число выпадающих очков	1	2	3	4	5	6
Вероятность	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Второй способ, особенно удобный при различных аналитических действиях над случайными переменными, состоит в записи распределения случайной переменной с помощью аналитической формулы (например: биноминальное распределение).