- •Основные условные обозначения в математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Основы теории вероятностей
- •1Предмет и метод математической статистики
- •2Понятие случайного события
- •3Вероятность случайного события
- •4Основные теоремы теории вероятностей
- •4.1Сложение вероятностей
- •4.2Умножение вероятностей
- •4.3Вычисление вероятностей
- •Случайные переменные
- •5Понятие случайной переменной
- •5.1Дискретные случайные переменные
- •5.2Непрерывные случайные переменные
- •6Математическое ожидание и дисперсия
- •7Моменты
- •Дискретные распределения
- •8Биномиальное распределение и измерение вероятностей
- •9Распределение редких событий (Пуассона)
- •Основные модели теоретических распределений
- •10Прямоугольное (равномерное) распределение
- •11Нормальное распределение
- •12Логарифмически нормальное распределение
- •Распределения параметров выборки
- •13.1Проблема Беренса–Фишера
- •15Χ2–распределение
- •Основы математической статистики
- •16Средние величины
- •16.1Общие свойства средних величин
- •17Средняя арифметическая
- •17.1Средний ранг (непараметрическая средняя)
- •17.2Взвешенная средняя арифметическая
- •17.3Средняя квадратическая
- •17.4Мода
- •17.5Медиана
- •18Средняя геометрическая
- •19Средняя гармоническая
- •Разнообразие значений признака
- •20Стандартное (среднеквадратическое) отклонение
- •20.1Число степеней свободы
- •20.2Коэффициент вариации
- •20.3Лимиты и размах
- •20.4Приближенные значения μ и
- •20.5Нормированное отклонение
- •21Проверка выпадов (артефактов)
- •22Средняя и сигма суммарной группы
- •23Скошенность (асимметрия) и крутизна (эксцесс) кривой распределения
- •Графическое представление распределений
- •24Вариационный ряд
- •25Гистограмма и вариационная кривая
- •26Кумулята
- •27Достоверность различия распределений
- •27.1Критерий χ2 (хи квадрат)
- •27.2Критерий λ (лямбда)
- •27.3Критерий по асимметрии и эксцессу
- •Нормальное распределение
- •28Генеральная совокупность и выборка
- •29Репрезентативность
- •30Ошибки репрезентативности и другие ошибки исследований
- •31Доверительные границы
- •Оценка генеральных параметров
- •32Общий порядок оценки
- •32.1Оценка средней арифметической
- •32.2Оценка средней разности
- •32.3Недостоверная и достоверная оценка средней разности
- •32.4Оценка разности генеральных средних
- •33Критерий достоверности разности
- •34Репрезентативность при изучении качественных признаков
- •35Достоверность разности долей
- •Парная корреляция
- •36Коэффициент корреляции
- •37Ошибка коэффициента корреляции
- •37.1Достоверность выборочного коэффициента корреляции
- •37.2Доверительные границы коэффициента корреляции
- •37.3Достоверность разности двух коэффициентов корреляции
- •38Уравнение прямолинейной регрессии
- •39Ошибки элементов уравнения прямолинейной регрессии
- •Частная и множественная линейные корреляции и регрессии
- •40Частный коэффициент корреляции
- •41Множественный коэффициент корреляции
- •42Линейное уравнение множественной регрессии
- •Криволинейная корреляция и регрессия
- •43Корреляционное отношение
- •44Свойства корреляционного отношения
- •45Ошибка репрезентативности корреляционного отношения
- •46Критерий линейности корреляции
- •Однофакторный дисперсионный анализ
- •47Сущность и метод дисперсионного анализа
- •47.1Результативный признак
- •47.2Фактор
- •47.3Градации факторов
- •47.4Градации комплекса
- •47.5Дисперсионный комплекс
- •47.6Статистические влияния
- •47.7Факториальное влияние
- •47.8Случайное влияние
- •47.9Общее влияние
- •48Однофакторный дисперсионный комплекс
- •Многофакторный дисперсионный анализ
- •49Многофакторный дисперсионный комплекс
- •50Преобразования
- •51Универсальное использование дисперсий
- •51.1Показатели силы влияний
- •51.2Ошибка репрезентативности основного показателя силы влияния
- •51.3Предельные значения показателей силы влияния
- •51.4Достоверность влияний
- •Классификация
- •52Дискриминантный анализ
- •52.1Постановка задачи, методы решения, ограничения
- •52.2Предположения и ограничения
- •52.3Алгоритм дискриминантного анализа
- •53Кластерный анализ
- •53.1Методы кластерного анализа
- •53.2Алгоритм кластерного анализа
- •Литература
- •Приложение. Основные формулы и определения
- •2 46019, Г. Гомель, ул. Советская, 104
17Средняя арифметическая
Средняя арифметическая, обладая общими свойствами средних величин, имеет свои особенности, которые можно выразить следующими формулами:
, (6.2)
т. е. сумма центральных отклонений равна нулю.
Например, для значений 1; 4; 5; 5; 5 средняя арифметическая μ = 4.
Центральные отклонения будут следующие:
1–4 = –3, 4–4 = 0, 5–4 = +1, 5–4 = +1, 5–4 = +1,
а сумма центральных отклонений: –3+0+1+1+1 = 0.
Это свойство средней арифметической используется для проверки правильности ее расчета: если оказалась неравной нулю, значит, допущена ошибка в вычислениях.
Если к каждому значению признака прибавить постоянную величину a (или ее вычесть), то средняя арифметическая из измененных вариантов будет равна средней арифметической из первоначальных вариантов, увеличенных (или уменьшенных) на величину a. Например, если в разбираемом примере к каждой из первоначальных вариантов 1; 4; 5; 5; 5 прибавить 3, то для полученных величин 4; 7; 8; 8; 8 среднее μ = 7 на 3 больше первоначальной средней μ = 4. Если в этой группе из каждого значения вычесть, например, 1, то для уменьшенных значений 0; 3; 4; 4; 4 средняя μ = 3 будет на 1 меньше первоначальной средней μ = 4.
, (6.3)
Таким образом, если каждое значение умножить на постоянное число a, то средняя арифметическая из измененных вариантов будет точно в a раз больше первоначальной средней арифметической. Если в разбираемом примере все значения 1; 4; 5; 5; 5 умножить на 10, то для полученных увеличенных вариантов (10; 40; 50; 50; 50) средняя арифметическая μ = 40 ровно в 10 раз больше той, которая получена для неувеличенных вариантов (μ= 4).
Если a равно дробному числу, то каждое значение, а также и каждая средняя будут уменьшены во столько же раз. Если в разбираемом примере все значения умножить на 1/5, то средняя арифметическая из уменьшенных вариантов (0,2; 0,8; 1; 1; 1) μ = 0,8 в 5 раз меньше средней арифметической, полученной для неизменных значений (μ = 4).
Пример
Три параллельных определения содержания гемоглобина в крови у одного и того же животного в одно и то же время, проведенные тремя разными лаборантами, дали такие результаты: 75; 80; 70. Наиболее вероятное содержание будет равно средней арифметической из параллельных проб:
Пример
На восьми парных опытных делянках получены следующие отклонения урожая нового сорта кукурузы от стандарта (в пересчете на гектар): +6; +3; –2; –3; +5; 0; –3; +2 ц. Среднее отклонение урожая нового сорта, полученное в проведенном сортоиспытании, будет равно средней арифметической из отдельных разностей:
В некоторых случаях при вычислении средней арифметической общая сумма значений признака делится не на число вариантов, а на другие величины. Так бывает, например, при расчете среднего удоя на одну фуражную корову.
Среднюю из относительных величин можно рассчитывать двумя способами: как среднее отношение и как отношение средних (отношение сумм).
Пример
Четыре повторных посева одного сорта сахарной свеклы при анализах на сахаристость дали следующее содержание сахара (в %): 16; 14; 13; 17. Средняя сахаристость сорта, полученная в данном испытании:
.
В данном случае получено среднее отношение.
Пример
На мясокомбинате за сутки переработано 300 голов крупного рогатого скота. Требуется определить фактический средний выход мяса.
Для этой цели суммарный вес всех туш (в кг) относят к сумме приемных живых весов переработанной группы скота. Оказалось, что первая сумма , вторая сумма . Средний выход в данном случае рассчитывается как отношение сумм:
.