15Χ2–распределение

Многие фактические распределения соответствуют моделям теоретических распределений (нормальное, биномиальное, Пуассона) Однако, на практике существуют распределения, сильно отличающиеся от нормального. Для оценки степени расхождения или степени согласия между численностями фактического и теоретического распределений вводятся статистические критерии согласия, например критерий χ² . Этот критерий применяется для решения задач статистического анализа, например для проверки гипотез: о независимости двух принципов, положенных в основу группировки результатов наблюдений из одной совокупности; об однородности групп в отношении некоторых определяемых характеристик; о согласии теоретической и экспериментальной кривых численностей. Критерий χ² может называться как критерием согласия, так и критерием независимости, критерием однородности. Закон распределения χ² (хи–квадрат) открыл К. Пирсон. Кривая распределения, полученная из функции хи–квадрат:

(5.4)

где f – фактические и F – теоретические частоты численности объектов выборки. Ее вид в сильной степени зависит от числа степеней свободы. Для малого числа степеней свободы ν кривая асимметрична (рисунок 5.3), но с увеличением ν асимметрия уменьшается и при ν = ∞ кривая становится нормальной гауссовой.

Распределение χ², так же как и t–распределение, частный случай F – распределения при ν₁ = ν и ν₂ = ∞.

Рисунок 5.3 – Дифференциальное (слева) и интегральное (справа) χ²–распределение

Вопросы для самоконтроля

1. В каких случаях предпочтительнее использовать t-распределение Стьюдента, а не нормальное распределение?

2. Какие величины необходимо оценивать для использования t-распределения Стьюдента?

3. В чем суть проблемы Беренса–Фишера?

4. Чем численно выражается F-распределение для двух независимых выборок из общей совокупности переменных?

5. От каких характерных величин случайных переменных зависит F-распределение?

6. На какие вопросы может ответить значение критерия χ² при статистической обработке экспериментальных данных?

6. Основы математической статистики

6.1 Средние величины

6.2 Средняя арифметическая

6.3 Средняя геометрическая

6.4 Средняя гармоническая

16Средние величины

Из всех групповых свойств наибольшее теоретическое и практическое значение имеет средний уровень, измеряемый средней величиной признака.

Средняя величина признака – понятие очень глубокое, появившееся в науке и практике только на определенном этапе развития человеческого мышления. Всякая средняя величина обладает тремя основными свойствами: срединным положением, абстрактностью (отвлечение от реально существующего разнообразия) и единством суммарного действия.

Средняя величина признака определяется различными способами в зависимости от объектов наблюдения, изучаемых признаков и целей исследования. Поэтому имеется не одна, а несколько средних: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя гармоническая, мода, медиана.

Основной показатель – средняя величина – широко используется и в науке, и в практике. При изучении растений, животных, микроорганизмов и человека расчет средних показателей составляет основу обработки первичных материалов.

Средние размеры особей служат для характеристики видов, разновидностей, сортов, пород и других биологических групп; средние показатели физиологических процессов характеризуют интенсивность различных сторон обмена, силу действия биологических агентов и медицинских препаратов.

В производстве средние показатели используются для оценки работы отдельных специалистов, хозяйств, областей.

Средняя величина какого-нибудь признака определяется для того, чтобы получить характеристику этого признака для всей изучаемой группы в целом.

(6.1)

В зависимости от объекта наблюдения и от поставленных целей используются в биологии не одна, а несколько средних величин: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя квадратическая, средняя гармоническая. Кроме того, для характеристики биологических групп иногда употребляются мода и медиана.